Elementarna matematika 1

20. veljače 2004.

1. Neka je U proizvoljni skup. Ispitajte svojstva relacije “biti disjunktan s” na P(U).

2. Koji troznamenkasti (prirodni) broj, pomnožen s 231 završava znamenkama 021? (Hint: linearna kongruencija!)

3. Neka je niz (a_{n})_{n} zadan sa

a_{1} := 1
a_{n+1} := 1 + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}.

Napišite prvih nekoliko (dovoljno je 4) članova niza. Iz toga zaključite kako izgleda opća formula. Dokažite je matematičkom indukcijom.

4. Neka je n ∈ ℕ. Ima li polinom

s(x) := ∑_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}

višestrukih nultočaka (u ℂ)?

Ako ih ima, navedite bar jednu i odredite joj kratnost.

Ako ih nema, nadite zbroj recipročnih vrijednostî svih n nultočaka.

5. Riješite jednadžbu

\sqrt[3]{x + 5} + \sqrt[3]{2x + 8} = \sqrt[3]{3x + 13}

(s \sqrt[3]{□} je označen realni treći korijen).

Veky