Ako je U prazan, jedini element od P(U) je 0 , koji je disjukntan sa samim sobom, pa je relacija refleksivna. Ina~ce, U sadr~zi bar jedan element x , pa P(U) sadr~zi element {x} koji nije disjunktan sa samim sobom, pa relacija nije refleksivna.
Ako je AnB=0 , tad je i BnA=0 (komutativnost presjeka), pa je relacija simetri~cna.
Ako je U prazan, relacija je samo {(0,0)} , pa je tranzitivna. Ako je U neprazan i x neki njegov element, {x} je disjunktan s 0 , a 0 s {x} , ali {x} nije disjunktan s {x} , pa relacija nije tranzitivna.
Zadatak se svodi na linearnu kongruenciju 231x==21(mod1000) , koja ima rje~senje x==91(mod1000) . Ako je x troznamenkast, x je izme~du 0 i 1000 , pa mora biti 91 . No 91 nije troznamenkast, pa zadatak nema rje~senja.
Prvih nekoliko ~clanova je 1,2,4,8,... . Op~ta formula je
an=2n-1. Baza je definicija od a1.
Ako je
an=1+a1+...+an-1
=2n-1,
zbrajanjem te dvije jednakosti dobijemo
an+1=2*2n-1=2n,
~cime je proveden korak indukcije.
Vi~sestruka nulto~cka morala bi zadovoljavati s(a)=s'(a)=0 . Kad se s derivira, dobije se polinom sli~can s-u, samo bez vode~teg ~clana. Dakle, kad oduzmemo te dvije jednakosti, dobijemo da je jedini kandidat za vi~sestruku nulto~cku 0 . No 0 uop~te nije nulto~cka ( s(0)=1 ), pa s nema vi~sestrukih nulto~caka.
Sad nam treba suma recipro~cnih vrijednost~i svih nulto~caka. Kad to
svedemo na zajedni~cki nazivnik, u nazivniku dobijemo produkt svih
nulto~caka, a u brojniku sumu produkata od po n-1 nulto~cke. To su
to~cno posljednja i pretposljednja Vieteova formula, pa je odgovor
((-1)n-1*a1/an) /
((-1)n*a0/an)=.
=-a_1/a_0=-(1/1!)/(1/0!)=-1
Kubiramo (kubiranje je bijekcija na |R ). x+5+2x+8 i 3x+13 se poni~ste, ostanu samo tre~ti korijeni. Izlu~cimo cbrt(x+5)*cbrt(2x+8) , i ostaje nam to~cno lijeva strana po~cetne jedna~gbe, koju zamijenimo desnom. Ponovo kubiramo i dobijemo (x+5)(2x+8)(3x+13)=0 . Rje~senja su -5,-4 i -13/3 .
alfa, beta i gama su strogo izme~du 0 i pi, dakle njihovi kotangensi su dobro definirani, pa time i zadani izraz.
gama=pi-(alfa+beta) , pa je ctg gama=-ctg(alfa+beta) . Upotrijebi li se adicioni teorem za ctg , te zadani izraz transformira kao ctg alfa*ctg beta+ctg gama*(ctg alfa+ctg beta) , skoro sve se skrati/poni~sti, i ostane 1 .
Neka je trapez ABCD (dulja osnovica AB, kra~ta DC). Lako se
vidi (transverzala, i jednakokra~cnost trokuta ACD) da je AC
simetrala kuta DAB. Spustimo osnovicu DC du~z dijagonale DB na
pravac AB , neka to bude BE . Iz sli~cnosti trokut~a ACD i AEC
(jednakokra~cni su, i imaju jednake kutove pri osnovicama)
izlazi |AD|:|AC|=|AC|:|AE| , odnosno manja prema ve~toj osnovici
se odnosi kao ve~ta prema njihovom zbroju. Dakle, njihov omjer
je zlatni rez, (1+sqrt(5))/2 .
Lako se vidi da kutovi deltoida moraju biti alfa, pi/2, pi-alfa i pi/2 tim redom, a stranice uz njih a, b, b, a. Dakle, deltoid je sastavljen od dva sukladna pravokutna trokuta s istom hipotenuzom, s obzirom na koju su simetri~cni. Problem se svodi na konstrukciju tog trokuta. Zadana mu je hipotenuza c (to je zaista dulja dijagonala ~ Tales i ~cinjenica da je promjer najdulja tetiva), i zbroj katet~a a+b (to je polovica opsega deltoida).
To se mo~ze konstruirati ovako: uz stranicu DA duljine a+b konstruiramo u vrhu D kut od pi/4 . Njegov drugi krak presije~cemo kru~znicom s polumjerom c i sredi~stem u A . (*) Dobijemo to~cku B , iz koje spustimo okomicu na DA i no~zi~ste ozna~cimo s C .
Za vidjeti da je ABC tra~zeni trokut, treba primijetiti da trokut DCB ima kutove pi/4, pi/2, pi/4, pa je jednakokra~can. Za diskusiju, treba vidjeti sije~ce li kru~znica u koraku [*] drugi krak kuta u 0, 1, ili 2 to~cke (ako sije~ce u dvije, dobiju se kao dva rje~senja, ali su sukladna) i pada li okomica izme~du to~caka A i D , ~sto se svodi na uvjet (a+b)/sqrt2<=c<a+b , odnosno dulja dijagonala mora biti izme~du (poluzatvoreno) opseg/2sqrt2 i opseg/2 .
Ako se asimptota napi~se u implicitnom obliku bx+ay=0 , normalizira se dijele~ti sve sa sqrt(a2+b2) (~sto je ina~ce jednako e ), i u lijevu stranu se uvrste koordinate to~cke F(e,0) (standardna formula za udaljenost to~cke od pravca), dobije se d=|(b*e+a*0)/e|=|b| , ~sto je jednako b jer je b>0 .
Manja (odsje~cena) i ve~ta (polazna) piramida su o~cito sli~cne. Koeficijent sli~cnosti im je jednak omjeru pobo~cnih visin~a, ~sto je 2:3 (te~ziste dijeli te~zi~snicu, koja je isto ~sto i visina zbog jednakokra~cnosti pobo~ck~i, u omjeru 2:1 od vrha). Dakle, omjer volumen~a je (2:3)3=8:27 , pa manja piramida ima 8/27 volumena ve~te. To zna~ci da donji odsje~cak (krnja piramida) ima 19/27 tog volumena, odnosno omjer je 19:8 u korist krnje piramide.