Ako je U prazan, jedini element od P(U) je 0 , koji je disjukntan sa samim sobom, pa je relacija refleksivna. Inače, U sadrži bar jedan element x , pa P(U) sadrži element {x} koji nije disjunktan sa samim sobom, pa relacija nije refleksivna.
Ako je AnB=0 , tad je i BnA=0 (komutativnost presjeka), pa je relacija simetrična.
Ako je U prazan, relacija je samo {(0,0)} , pa je tranzitivna. Ako je U neprazan i x neki njegov element, {x} je disjunktan s 0 , a 0 s {x} , ali {x} nije disjunktan s {x} , pa relacija nije tranzitivna.
Zadatak se svodi na linearnu kongruenciju 231x==21(mod1000) , koja ima rješenje x==91(mod1000) . Ako je x troznamenkast, x je između 0 i 1000 , pa mora biti 91 . No 91 nije troznamenkast, pa zadatak nema rješenja.
Prvih nekoliko članova je 1,2,4,8,... . Opća formula je
an=2n-1. Baza je definicija od a1.
Ako je
an=1+a1+...+an-1
=2n-1,
zbrajanjem te dvije jednakosti dobijemo
an+1=2*2n-1=2n,
čime je proveden korak indukcije.
Višestruka nultočka morala bi zadovoljavati s(a)=s'(a)=0 . Kad se s derivira, dobije se polinom sličan s-u, samo bez vodećeg člana. Dakle, kad oduzmemo te dvije jednakosti, dobijemo da je jedini kandidat za višestruku nultočku 0 . No 0 uopće nije nultočka ( s(0)=1 ), pa s nema višestrukih nultočaka.
Sad nam treba suma recipročnih vrijednostī svih nultočaka. Kad to
svedemo na zajednički nazivnik, u nazivniku dobijemo produkt svih
nultočaka, a u brojniku sumu produkata od po n-1 nultočke. To su
točno posljednja i pretposljednja Vieteova formula, pa je odgovor
((-1)n-1*a1/an) /
((-1)n*a0/an)=.
=-a_1/a_0=-(1/1!)/(1/0!)=-1
Kubiramo (kubiranje je bijekcija na |R ). x+5+2x+8 i 3x+13 se ponište, ostanu samo treći korijeni. Izlučimo cbrt(x+5)*cbrt(2x+8) , i ostaje nam točno lijeva strana početne jednadžbe, koju zamijenimo desnom. Ponovo kubiramo i dobijemo (x+5)(2x+8)(3x+13)=0 . Rješenja su -5,-4 i -13/3 .
alfa, beta i gama su strogo između 0 i pi, dakle njihovi kotangensi su dobro definirani, pa time i zadani izraz.
gama=pi-(alfa+beta) , pa je ctg gama=-ctg(alfa+beta) . Upotrijebi li se adicioni teorem za ctg , te zadani izraz transformira kao ctg alfa*ctg beta+ctg gama*(ctg alfa+ctg beta) , skoro sve se skrati/poništi, i ostane 1 .
Neka je trapez ABCD (dulja osnovica AB, kraća DC). Lako se
vidi (transverzala, i jednakokračnost trokuta ACD) da je AC
simetrala kuta DAB. Spustimo osnovicu DC duž dijagonale DB na
pravac AB , neka to bude BE . Iz sličnosti trokutā ACD i AEC
(jednakokračni su, i imaju jednake kutove pri osnovicama)
izlazi |AD|:|AC|=|AC|:|AE| , odnosno manja prema većoj osnovici
se odnosi kao veća prema njihovom zbroju. Dakle, njihov omjer
je zlatni rez, (1+sqrt(5))/2 .
Lako se vidi da kutovi deltoida moraju biti alfa, pi/2, pi-alfa i pi/2 tim redom, a stranice uz njih a, b, b, a. Dakle, deltoid je sastavljen od dva sukladna pravokutna trokuta s istom hipotenuzom, s obzirom na koju su simetrični. Problem se svodi na konstrukciju tog trokuta. Zadana mu je hipotenuza c (to je zaista dulja dijagonala – Tales i činjenica da je promjer najdulja tetiva), i zbroj katetā a+b (to je polovica opsega deltoida).
To se može konstruirati ovako: uz stranicu DA duljine a+b konstruiramo u vrhu D kut od pi/4 . Njegov drugi krak presiječemo kružnicom s polumjerom c i središtem u A . (*) Dobijemo točku B , iz koje spustimo okomicu na DA i nožište označimo s C .
Za vidjeti da je ABC traženi trokut, treba primijetiti da trokut DCB ima kutove pi/4, pi/2, pi/4, pa je jednakokračan. Za diskusiju, treba vidjeti siječe li kružnica u koraku [*] drugi krak kuta u 0, 1, ili 2 točke (ako siječe u dvije, dobiju se kao dva rješenja, ali su sukladna) i pada li okomica između točaka A i D , što se svodi na uvjet (a+b)/sqrt2<=c<a+b , odnosno dulja dijagonala mora biti između (poluzatvoreno) opseg/2sqrt2 i opseg/2 .
Ako se asimptota napiše u implicitnom obliku bx+ay=0 , normalizira se dijeleći sve sa sqrt(a2+b2) (što je inače jednako e ), i u lijevu stranu se uvrste koordinate točke F(e,0) (standardna formula za udaljenost točke od pravca), dobije se d=|(b*e+a*0)/e|=|b| , što je jednako b jer je b>0 .
Manja (odsječena) i veća (polazna) piramida su očito slične. Koeficijent sličnosti im je jednak omjeru pobočnih visinā, što je 2:3 (težiste dijeli težišnicu, koja je isto što i visina zbog jednakokračnosti pobočkī, u omjeru 2:1 od vrha). Dakle, omjer volumenā je (2:3)3=8:27 , pa manja piramida ima 8/27 volumena veće. To znači da donji odsječak (krnja piramida) ima 19/27 tog volumena, odnosno omjer je 19:8 u korist krnje piramide.