Raspisivanje o vi~sestrukim nulto~ckama

> Vecina zadataka koju imam je rjesena u 3 koraka,pa ja ne vidim 
> zasto je to tako.
 
No problem, tu smo da raspisemo...
(Samo me zaista zanima, sa statistickog stanovista... 
ovaj dio gradiva si isao na vjezbe redovito? Moje vjezbe?)
 
Ako zaista zelis vidjeti zasto je to tako, okej, ovo nisu vjezbe, pa se
smijem raspisati... ;-)
 
Dakle, kao prvo, po Bezoutovom teoremu, x-alfa dijeli f(x) (kao polinom)
akko je f(alfa)=0 . Kazemo da je alfa nultocka od f . Generalizacija
toga je pojam visestruke nultocke, kad x-alfa dijeli f(x) "nekoliko
puta", odnosno preciznije, (x-alfa)^k dijeli f(x) (kao polinom) za neki
prirodni k .
 
A sad, kakve to veze ima s derivacijama...
Uzmimo za pocetak da (x-alfa)^2 dijeli f(x) (alfa je bar dvostruka
nultocka od f ). To znaci da postoji polinom q(x) takav da 
	f(x)=(x-alfa)^2*q(x) .
To je jednakost koja vrijedi za svaki x , pa je mozemo promatrati kao
jednakost realnih funkcija realne varijable. Ako su funkcije jednake,
jednake su im i derivacije, pa ovo gore mozemo derivirati. Dobijemo:
	f'(x)=2(x-alfa)*q(x)+(x-alfa)^2*q'(x) .
Ocito, ovo je suma dva pribrojnika od kojih je svaki djeljiv s x-alfa, 
pa je i ta suma, f'(x) djeljiva s x-alfa . Po obratu Bezouta, to znaci
da je alfa nultocka i od f' , odnosno f'(alfa)=0 .
 
Takoder, ako vrijedi (x-alfa)^3|f(x) , analogno se vidi da ce f' biti
djeljiv s (x-alfa)^2 , pa ce alfa biti bar dvostruka nultocka od f' ,
sto znaci da ce biti nultocka nje ( f' ) i njene derivacija ( f'' ).
I tako dalje... da (x-alfa)^k|f(x) znaci tocno to da 
funkcije f , f' , f'' , ... , f^(+(k-1)) u alfa poprimaju vrijednost 0 .
 
Dosta o "zasto", idemo sad na "kako" (rijesiti zadatak). :-)
 
> Zad:
> p(x)=x^5-3x^4+5x^3+ax^2+6x+b.
> Treba naci a,b tako da p ima trostruku nultocku.
> Znaci p(x)=p'(x)=p''(x)=0.
 
Right.
 
> e sad kod p''(x) mi smeta a da izvucem nultocke:),
 
Naravno. Inace bi zadatak bio poput drugog na kolokviju, i time
trivijalan. ;-9 :-)
 
No dobro, ono sto si bez sumnje dobio glasi:
	alfa^5-3alfa^4+5alfa^3+a*alfa^2+6alfa+b=0
	5alfa^4-12alfa^3+15alfa^2+2a*alfa+6=0
	20alfa^3-36alfa^2+30alfa+2a=0
Iz ove zadnje ne mozes dobiti alfa lijepo, ali zato mozes dobiti 2a
pomocu alfa. Naravno, 2a=-20alfa^3+36alfa^2-30alfa , i to sad mozes
uvrstiti u drugu. Dobijes
	5alfa^4-12alfa^3+15alfa^2-20alfa^4+36alfa^3-30alfa^2+6=0 ,
	odnosno -15alfa^4+24alfa^3-15alfa^2+6=0 . To mozes podijeliti s
	-3 , pa dobijes 5alfa^4-8alfa^3+5alfa^2-2=0 . 
Khm... tek sam sad vidio... jesi li siguran da u zadatku ne pise
"trostruku _racionalnu_ nultocku"? Ako i ne pise, mislim da treba
pisati. Jer inace smo osudeni na Cardana...
 
No dobro. Anyhow, trazimo racionalne nultocke. Kandidati su 
1,-1,2,-2,1/5,-1/5,2/5,-2/5 . Na 1 vec naletimo na nultocku. Horner
kaze:
	5	-8	5	0	-2
1	5	-3	2	2	0 , 
odnosno preostale su nultocke od 5x^3-3x^2+2x+2=0 . Ovo bi se sad
teoretski moglo rijesiti u potrazi za preostalim nultockama, ali stvarno
mislim da se to u zadatku nije ocekivalo, tim vise sto Cardanovu formulu
nismo sluzbeno radili. U svakom slucaju, nijedan od gornjih brojeva to
ne zadovoljava, pa racionalnih nultocaka sigurno vise nema.
 
Dakle, alfa=1 . Iz toga sad lako izlazi a=-7 , a onda iz prve b=-2 .