Polinomi s cjelobrojnim koeficijentima

[cut/]

> iImam problem,nemrem nikako rije~siti jedan zadatak iz kolokvija,
> veli: "Doka~zite da ne postoji polinom s cijelobrojnim 
> koeficijentima fE Z(x) takav da je  f(1)=2  i f(3)=3.
 
Hm...
Da si isla kod mene na vjezbe, definitivno bi cula nesto sto sam
naglasio i rekao da se pomocu toga moze rijesiti dosta zadataka
s polinomima, a dobije se ovako:
(na vjezbama sam dao jedan nacin kako se moze dobiti. Ne volim
se ponavljati, pogotovo kad je tema zanimljiva, pa cu ovdje dati
malo egzoticniji prikaz:)
 
Neka je f(x)@|Z[x] polinom s cjelobrojnim koeficijentima.
Uzmimo neki fiksni cjelobrojni y i promotrimo polinom g(x):=f(x)-f(y) .
Ocito je y nultocka od g ( g(y)=f(y)-f(y)=0 ), pa je po Bezoutovom
teoremu g(x) djeljiv (kao polinom) s x-y (Jasno ovo?).
Dakle postoji polinom q(x) takav da je g(x)=q(x)(x-y) .
 
E sad isti argument koji smo imali vec nekoliko puta... g je s 
cjelobrojnim koeficijentima, a q se dobije iz g dijeljenjem s
linearnim polinomom - dakle koeficijenti od q se dobiju iz
koeficijenata od g i broja y pomocu Hornerove sheme (nadam se da znas 
kak se to radi). Buduci da je y kao i svi koeficijenti od g cjelobrojan,
a Hornerova shema koristi od operacija samo zbrajanje i mnozenje (sto
cuva cijele brojeve), koeficijenti od q su takoder cjelobrojni.
Za svaki cjelobrojni x (Hornerova shema again), dakle, q(x) je
cjelobrojan.
 
Zakljucak: Ne samo da je g(x) djeljiv kao polinom s x-y , vec je
za svaki cjelobrojan x , _broj_ g(x) djeljiv brojem x-y (jer 
postoji cijeli broj q(x) koji pomnozen s jednim daje drugi).
Sad se samo sjetimo sto je g(x) , i dobijemo zanimljivu tvrdnju:
 
	ako je f(x) polinom s cjelobrojnim koeficijentima,
	te x i y cijeli brojevi,
		tada je f(x)-f(y) djeljivo s x-y .
 
Eto. Nadam se da sad vidis kako se rjesava tvoj zadatak: kad bi bilo 
f(1)=2 & f(3)=3 za neki f s cjelobrojnim koeficijentima, 
bilo bi ( 1 i 3 su cijeli brojevi:) f(1)-f(3) djeljivo s 1-3 . No
f(1)-f(3)=2-3=-1 , sto nije djeljivo s 1-3=-2 (vec zato sto nije 
parno, npr.). Kontradikcija, dakle takav f ne postoji.
 
[cut/]