Pretpostavimo: trisekcija kuta je rjesiva euklidski.
Gore rekosmo: kad bi se mogao svaki kut trisecirati, onda bi mogao i \pi/3 (ovdje je jako bitno da se kut \pi/3 moze konstruirati... naime, kad rjesavamo univerzalne zadatke, ne smijemo koristiti input na neuniverzalan nacin... zvuci zapetljanije nego sto jest:-), ali evo ti jedan zgodan primjer: iako po Galoisovoj teoriji kut \pi/7 nije konstruktibilan u Euklidovom smislu, kut 3\pi/7 se _moze_ euklidski trisecirati... pada li ti mozda na pamet kako:-? :)...
Drugo, ako mozemo konstruirati (npr. siljast) kut, mozemo i njegov kosinus... samo opisemo jedinicnu kruznicu oko vrha kuta, spustimo okomicu iz tocke sjecista s kruznicom jednog kraka na drugi, i uzmemo odsjecak na tom drugom... ok:-?
Dakle, kad se sve zbroji, ispada da bismo morali moci "ab ovo" konstruirati duzinu duljine cos(\pi/9) iz duzine duljine 1 ... (konstruiramo kut od \pi/3 - to valjda znas kako:-? :-) - , triseciramo ga i konstruiramo kosinus... ok:-?)
Dalje: lako (tesko:) je vidjeti da su svi brojevi koje mozemo euklidski konstuirati (malo objasnjenje: "konstruirati broj" je skracenica za frazu "konstruirati duzinu te duljine pomocu duzine duljine 1 ", koju mi se vise ne da pisati... ok:-? :), racionalni ili tzv. kvadradikalno izrazivi - mogu se dobiti od racionalnih pomocu konacno mnogo osnovnih racunskih operacija i vadenja drugog korijena... npr. (2+\sqrt(5))/7 je takav...
Zasto? Ukratko: sve eksplicitne nove tocke koje dobivamo su zapravo sjecista dvaju pravaca, pravca i kruznice, ili dviju kruznica odredenih prethodnim tockama, dakle imaju koordinate koje se iz koordinata prethodnih tocaka mogu dobiti rjesavanjem sustava linearnih i/ili kvadratnih jednadzbi s radikalnim koeficijentima (ok, remember Tolkien's:-? :)... a to se uvijek da rijesiti kvadradikalno (linearne sustave vec pomocu osnovnih racunskih operacija:-), a kvadratni se nizom uvrstavanja svedu na kvadratne jednadzbe, za koje isto znas formulu...(sto uvodi i kvadratne korijene u igru, ok:-?) :) Dakle, koordinate su kvadradikalne... sad je zaista lako vidjeti (formula za udaljenost tocaka pomocu koordinata...:) da su onda i duljine takve... (got this... otprilike:-? :)
To skupa s ovim gore daje: broj cos(\pi/9) je kvadradikalno izraziv... ok:-? Taj broj oznacimo sa r . Ova nit razmisljanja tu zavrsava: r:=cos(\pi/9) je kvadradikalno izraziv.
S druge strane: znas formulu za kosinus trostrukog kuta:-? Ma, nije bitno, idemo je izvest:-) (opet cu odabrati jedan "alternativni" nacin, vjerojatno ovakav izvod nisi jos vidjela:)) :
cos 3x = Re(cos 3x+i sin 3x) = Re e^3ix =
= Re(e^ix)^3 = Re(cos x+i sin x)^3 =
= Re(cos^3 x+3i cos^2 x*sin x-3cos x*sin^2 x-i sin^3 x) =
= cos^3 x-3cos x sin^2 x = cos x*(cos^2 x-3sin^2 x) =
= cos x*(cos^2 x-3*(1-cos^2 x)) = cos x*(4cos^2 x-3) =
= 4cos^3 x-3cos xok, to je to. Ako sad uvrstimo x:=\pi/9 gore (iz Vekyjeve 0..4 tablice znas da je cos(\pi/3)=1/2 ... ok:-? :), dobijemo
1/2 = cos(\pi/3) = cos(3*\pi/9) =
= 4cos^3 (\pi/9)-3cos(\pi/9) = 4r^3-3rDakle (pomnozimo s 2 i prebacimo sve na jednu stranu), r je nultocka polinoma p(x):=8x^3-6x-1 . Sve jasno:-? :-)
E, sad tu dolazi netrivijalni teorem Galoisove teorije, koji kaze: ako polinom 3. stupnja s racionalnim koeficijentima nema racionalnih nultocaka, tada nema ni kvadradikalno izrazivih nultocaka (time ne zelim reci da su mu sve kvadradikalno izrazive nultocke racionalne... moze imati jednu racionalnu, i ostale dvije kvadradikalne... npr.
(x-1)*(x^2-2) ... ok:-?).Taj teorem sigurno necemo dokazivati mailom... :-) ali mozemo ga iskoristiti na polinomu p . Naime, onaj zgodni teoremcic (na cije je koristenje tvoj komentar bio "diiivno:)" :) iz lessona 9 kaze da eventualne racionalne nultocke od p mogu biti samo 1/8, 1/4, 1/2, 1, -1, -1/2, -1/4 i -1/8 ... ok:-?
E sad, komp u ruke, Pascal/Mma/sto_vec_zelis i provjeri da nijedan od ovih brojeva nije nultocka od p ... (dobro, mozes i olovkom i papirom, ali to ti ne bih savjetovao, znas vec zasto
:-> :) (ja upravo provjerih pomocu kalkulatora, naravno - ne ovog u editoru, vec onog kojeg se bojis...:))Dakle, p nema racionalnih nultocaka.
Dakle (po teoremu odozgo) p nema kvadradikalnih nultocaka.
No, r je nultocka od p .
Dakle, r nije kvadradikalno izraziv.
Kontradikcija.
Pretpostavka s pocetka je kriva.
Trisekcija kuta nije rjesiva euklidski.
QED.