(+PA+) ne govori _o_ dokazivanju aritmetickih tvrdnji, ona govori o prirodnim brojevima... ili mozda ipak... :-? :-)
Glavna stvar koju je ovdje Goedel napravio je da je shvatio da je recenica "(+PA+) govori o...[necemu]" _vrlo_ subjektivna stvar (to vidimo samo mi izvana, (+PA+) to ne vidi)... odnosno da je moguce napraviti jedan fantasticno mocan find&replace koji pokazuje da (+PA+) _moze_ govoriti o samoj sebi...
kod GIM-jezika je to vrlo jednostavno... ako si pazljivo citala, primijetila si da nigdje nisam spomenuo ekvivalent D-a u (+PA+) ... u GIM-jeziku D je upravo ono sto omogucuje da se "izjava" (npr. "I") shvati kao agrument same sebe (npr. "I(I)" )... no treba imati na umu da je GIM-semantika upravo konstruirana kako bi se lako istaknuo taj point... (+PA+) je ipak radena s cisto drugom svrhom:-), tako da je Goedelu trebalo par godina da sve poslozi na prava mjesta... no krajnji rezultat djeluje zacudujuce i dovoljno zanimljivo da daje osjecaj da se takvo sto definitivno isplatilo...
Jednostavno, Goedel je (otprilike) gornjim simbolima, izrazima, recenicama, pa cak i dokazima, pridruzio prirodne brojeve na jedan vrlo uniforman nacin, te izrazio razna logicka zakljucivanja kao odgovarajuce operacije na tim brojevima, koje je (ie, operacije) definirao samo pomocu +, *, = i <= , dakle koristeci se u krajnjoj liniji samo sredstvima (+PA+) ...
Goedel u svom maestralnom djelu (ne, necu navoditi njemacki naslov;) "O formalno neodlucivim tvrdnjama 'Principie Mathematice' i ostalih srodnih sustava" krece od nekih definicija i teoremcica u (+PA+) , koji se gomilaju u pocetku naizgled bez svrhe i reda, da bi nakon 20ak gusto ispisanih stranica kulminirali necim sto covjeka lupi osjecajem slicnim onom kad skuzi da "!ID(!ID)" upravo kaze "Ja nisam ispisiva>:->.", samo puno veceg intenziteta, jer ovdje se ne radi o teorijici koja se da objasniti (pa makar samo ofci;) na 3 ekrana ASCII-teksta, vec se radi o necemu cemu smo bili voljni predati svu matematiku u ruke:-/...
Ljudi na ovo obicno reagiraju sa "Pa kako? Kako je to moguce? Pa nije li matematika samo niz jednostavnih istina i logickih pravila, iz kojih gradimo kompliciranije istine na nacin koji kompjuter moze obavljati..."
NE. To je ono sto je Hilbertov program pokusao... Matematika je puno vise od toga... a ono sto je zanimljivo, je da su stare civilizacije to znale puno bolje od nas... nas je zavaralo to sto imamo mocne kompjutere... i zato neke lekcije moramo uciti ispocetka...