Danas se izumiteljima glazbene ljestvice uglavnom smatraju stari Grci... ljudi su odavno otkrili da nategnuta struna moze vibrirati, i to (stabilno) na samo odredenoj frekvenciji, koja uglavnom ovisi o duljini zice... nakon dosta isprobavanja i filozofskih rasprava, zakljucili su da covjekovo uho percipira jednaku promjenu u tonu (frekvenciji, danas bismo rekli) kad se duljina zice poveca s 1m na 2m , kao i kad se poveca s 2m na 4m (s "m" je ovdje oznacena neka (relativno mala:) starogrcka mjera za duljinu...), dakle, kad se duljina poveca (ili smanji) dvostruko... taj razmak u tonalitetu su nazvali "oktava".
E sad... kad bi netko svirao samo po jednom tonu u oktavi, to ne bi bas lijepo zvucalo:-)... pa su podijelili oktavu na manje dijelove, 12 "odjeljaka" (koje bismo danas zvali "polutonovi" - znas o cemu pricam:-?).
Glavni problem je tu bio sljedeci: bilo bi idealno kad bi razmaci medu polutonovima bili jendaki, dakle svi jednaki jednoj dvanaestini oktave. No, kakav bi tada morao biti omjer duljina dviju zica ciji se pripadni tonovi razlikuju za jedan odjeljak? Da vidimo:
oznacimo sa l duljinu zice koja proizvodi "srednji a" (440Hz , samo mi treba neki standardni ton za pocetak...:), a sa q trazeni faktor povecanja. Dakle, l*q je duljina zice potrebna za ton b (poluton iznad a), (l*q)*q=l*q^2 za ton h (poluton iznad b, odnosno dva polutona iznad a), l*q^3 za c, l*q^4 za c#,... , l*q^10 za g, l*q^11 za g#, te l*q^12 za a+ (visoki a, dvanaest polutonova, odnosno oktavu iznad srednjeg a). No, vec znamo da nam za a+ treba dvostruko veca zica nego za a, dakle 2*l . So:
l*q^12=2*l => q^12=2 => q=\root_12(2) .Eto. No naravno, Grci k'o Grci, mislili da se sve moze izraziti kao omjer cijelih brojeva (mo's mislit kak' bi te onaj proizvodac citri pogledao kad bi mu rekao "cuj, stari, zelim da mi ova zica bude \root_12(2) puta dulja od ove druge...":-)
o, boze... :)))
aha...
# A jel mogu ja to zaokruzit na 53/50 ?
# Naravno da ne!... aproksimirati Agamemnonovu citru... bijednice!
[censored/ cause="explicit violence"] :-)- oni zele omjere poput 3:2, 8:5 i tome slicno...:), pa su probdjeli mnoge noci (i dane:) pokusavajuci naci najbolje aproksimacije u omjerima malih prirodnih brojeva... Aristotel je cak o tome napisao jedno odeblje poglavlje u "Glazbi", jednoj od 6 njegovih famoznih knjiga... Naravno, njihov ideal je bio nedostizan - \root_12(2) je iracionalan (znas to dokazati:-?)
0# hm, mislim da znam... to su one spike s pretpostavljanjem suprotnog?
a valjda... mislim, ~70% netrivijalnih dokaza u suvremenoj matematici ide kontradikcijom... tako da s tim bas i nisi dala neku korisnu informaciju... :-) No evo ti 2 dokascica malo drugacijeg tipa od standardnog:
((svodenje na nesto sto su znali i stari Grci)) (p/q)^6=p^6/q^6 , dakle, 6. potencija racionalnog broja je racionalan broj. Kada bi \root_12(2) bio racionalan, tada bi dakle i njegova 6. potencija, koja je slucajno:-) sqrt(2) , bila racionalna, sto su vec Pitagorejci znali da nije. QED.
((svodenje na nesto sto ofci jako dobro ide:)) (polinomi) znas za teorem koji kaze:
Ako je reducirani razlomak p/q (p i q su relativno prosti) nultocka polinoma s cjelobrojnim koeficijentima, tada q dijeli vodeci koeficijent, a p slobodni koeficijent polinoma.Ako to znas, gle ovaj cute dokaz::-? root_12(2) je ocito nultocka polinoma (u x) x^12-2=0 . No svaka racionalna nultocka tog polinoma bi, po gornjem teoremu, imala brojnik koji dijeli -2 i nazivnik koji dijeli 1 , dakle, mogla bi biti samo 1 , -1 , 2 ili -2 . Buduci da nijedan od tih brojeva ocito nije nultocka gornjeg polinoma (uvrsti, ako nista drugo:), on nema racionalnih nultocki. Dakle, root_12(2) nije racionalan. QED. :-)