(Goedel, 1931.)Razvoj matematike u smjeru vece preciznosti doveo je do formalizacije velikih podrucja i grana matematike, kako bi se dokazi mogli provoditi pomocu nekoliko jednostavnih mehanickih pravila. Najobuhvatniji formalni sustavi danas su, s jedne strane, Principia Mathematica Whiteheada i Russella, i, s druge strane, Zermelo-Fraenkelov sustav aksiomatske teorije skupova. Oba sustava su toliko obuhvatni da se sve dokazne metode koje se upotrebljavaju u danasnjoj matematici mogu u njima formalizirati - tj. mogu se svesti na nekoliko aksioma i logickih pravila zakljucivanja. Iz toga bi se cinilo razumnim pretpostaviti da su ti aksiomi i pravila zakljucivanja dovoljni da odluce _sva_ matematicka pitanja koja se mogu formulirati u promatranim sustavima.
U ovom sto slijedi bit ce pokazano da to nije slucaj, vec da, u oba spomenuta sustava, postoje relativno jednostavni problemi teorije obicnih prirodnih brojeva koji se ne mogu rijesiti na bazi danih aksioma.