Dakle, danas mathematicari uglavnom vjeruju u +ZF+ . Sto bi to znacilo? Danas vise nista jako "metafizicko"... Goedel je jednom zauvijek pokopao teorije prvog reda kao vrhovne sudce u mathu, a +ZF+ je takoder samo jedna od njih... Medutim, postoji nesto sto teoriju skupova (cija je +ZF+ samo jedna aksiomatizacija, kao sto je +PA+ aksiomatizacija aritmetike) cini malo drugacijom od ostalih, a to je vrlo uvjerljivo meta-zakljucivanje... naime, za +PA+ smo se trebali dugo muciti da dobijemo Goedelove teoreme, upravo zato sto +PA+ nije prikladno sredstvo za govor o +PA+ . Jedna od prikladnih teorija bila bi ona u kojoj se relativno prirodno moze definirati "tvrdnja", "dokaz", "formula", "teorija 1. reda", "konzistentnost", itd.
Zahvaljujuci ogromnom impulsu kojeg su mathematici dali Cantor i njegova skola, danas imamo skoro pa cijelu mathematiku izgradenu pomocu skupova... to je uglavnom jako pozitivno - ako si upoznata s osnovama objektno orijentiranog programiranja, znas da je jako dobro imati sve objekte i klase izvedene iz jedne osnovne... dakle, koristeci +ZF+ , relativno jednostavno, bez nekih ingenioznih find&replaceova a la Goedel, mozemo prevesti intuitivne definicije pojmova u one strogo zasnovane matematicki, koristeci nekoliko osnovnih tehnika koje se isto daju jako dobro zapisati pomocu skupova...
a to je ono sto math razlikuje od filozofije, npr. - mogucnost strogog definiranja stvari o kojima pricamo... cak i strogog definiranja logickih principa kojima se rukovodimo prilikom tog pricanja...Dakle, "ZF|-"-svijet za math igra ulogu slicnu kao "stvarni svijet" za fiziku... unutra uvijek mozemo (ili vjerujemo da mozemo) "pogledati" kako stvari "zaista" stoje... Gotovo svaka (:zapravo, "svaka" osim onih koje su specijalno konstruirane kako gornja tvrdnja ne bi univerzalno vrijedila:) math-tvrdnja moze se izreci jezikom +ZF+a ... i to cak ne jako tesko, osim sto je ponekad dugotrajno ako covjek nema zgodne skracenice... :-)
Hm. Dakle, aksiomatizirajmo to kako spada, i imat cemo citav math na dlanu... eh, kad bismo mogli...[:-)] Naravno, po Goedelu, ne mozemo. Standardna +ZF+ aksiomatizacija (dobro, zapravo +ZFC+ , ali to je posebna prica:) sasvim je dovoljna da se u njoj rasprave sve stvari kojima se ikada bavilo 99% matematicara... jer je izbrusena kroz povijest tako da sadrzi upravo ono sto nam "treba"...
ali, i za +ZF+ , naravno, postoji Goedelova recenica... "istinita" recenica koju u +ZF+ ne mozemo dokazati...Hm. OK, vjerujemo mi Goedelu, ali zar nije ono gore oksimoron? Mislim, nismo li se dogovorili da cemo istinitost provjeravati upravo unutar +ZF+ ? Kako nesto moze biti istinito, a ipak nedokazivo u +ZF+ ?
Na meta-razini moze. Stos je u tome da mathematicari uglavnom jako vole zakon iskljucenja treceg (ako nista drugo, na njemu pociva metoda kontradikcije, na kojoj pociva 70% netrivijalnih dokaza, na kojima pociva jako velik dio matha... ok:-?), odnosno, recenica A je istinita, ili je recenica !A istinita.
E pa dobro, kaze Goedel, evo vam recenica H , takva da se u +ZF+ ne moze dokazati ni H , ni !H ... jel se sad slazete s tim da je jedna od njih istinita ali nedokaziva:-?
Odgovor: pa ok... ali to stvarno nije nista posebno... to je samo instancijacija teorema nepotpunosti... Danas i tak i tak nitko vise ne pokusava +ZF+ mehanicizirati... to ne rade kompjuteri, vec ljudi... a taj H je bez sumnje toliko kompliciran (uzevsi u obzir cega sve u +ZF+ ima...), da nam nikad nece zaista u nekim "konkretizacijama" mathematike trebati provjeravanje je li istinit ili nije... davno smo odustali od toga da zelimo svu istinu... sad zelimo samo onaj dio istine koja nas zanima...
"U redu... ali kako znate, uz toliko kompliciranu teoriju, sa hrpom neodlucivih recenica unutra, da neke od njih ipak nisu vrlo jednostavne i cijelo vam vrijeme cuce pod nosom... H mozda jest komplicirana, ali sigurno nije jedina..."
"Pa iskustvo...izgradujemo math na teoriji skupova vec stotinjak godina, i nismo naisli na nista takvog..."
Stos je u tome da _jesu_, samo sto to nisu znali... naime, svaki problem je nerijesen dak mu se ne nade rjesenje, zar ne:-? ako se covjek relativno kratko necim bavi, nema smisla sumnjati u to da nesto nije moguce... samo treba probati sve pristupe...
S vremenom, ipak se izdvojio jedan problem, prilicno jednostavan, kojeg se nikako nije moglo napasti ni sa koje strane...
To je hipoteza kontinuuma ... (cula za to:-?) (oznacimo je s CH .) Kako tocno glasi, puno je lakse opisati jednom kad covjek zna kardinalne brojeve, i to budemo jednom raspilili, ali zasad samo recimo "Postoji li neprebrojiv podskup A od |R , koji nije ekvipotentan s |R (specijalno, ne postoji injekcija s |R u A ...) ?"Dakle, najobicnije pitanje iz teorije skupova, i covjek je uvjeren u to da "ili postoji, ili ne postoji, kvragu":-)... dok se ne sjeti da u mathu nema stvarnog svijeta...
Naime, npr. skup |R nema fizikalnu egzistenciju, i teoretski je moguce da svi aksiomi i definicije koje smo o njemu propisali jednostavno nisu dovoljne da zakljucimo ovo gore...Odnosno, slikovitije, moguce je da dvije osobe prihvacaju sve standardne aksiome od |R , i na osnovu toga izgrade u svojim glavama "primjerke" |R-a , tako da u jednom od njih CH vrijedi, a u drugom vrijedi !CH ... mozes to shvatiti jednostavno kao "U specifikaciji |R-a ne pise nista o CH ..." (implementation dependent:) - ok:-?
"Ne postoji dokaz za CH & ne postoji dokaz za !CH " zvuci vrlo negativno... mogli bismo to ici dokazivati kontradikcijom, ali takvi pokusaji nisu urodili plodom... +ZF+ je jednostavno preopcenita... (ovo ima veze s drugim Goedelovim teoremom, kojeg jos nismo radili - ali s obzirom na to da si tek nedavno skuzila sve implikacije prvog (onaj "ne znam sto da kazem pred ovakvom spoznajom:)" ), ovdje necemo zuriti...:)
Puno je bolje ono sto je palo na pamet P. Cohenu , a to je shvatiti gornje dvije tvrdnje u pozitivnom smislu (naravno, "think positive" se i ovdje pokazalo dobrim:).
Naime, u +ZF+ je moguce pricati ne samo o teorijama (1. reda), vec i o njihovim _modelima_ ... sto je model:-? Pa... neka vrsta zatvorenog, samom sebi dovoljnog svijeta, unutar kojeg vrijedi neka teorija (uz prikladne interpretacije)... eg, grubo govoreci, |N_0 je model za +PA+ ... got this:-?Naravno, bilo bi lijepo kad bi u +ZF+ imali model za +ZF+ ... tada bi to zaista bio math-real-world u pravom smislu rijeci... no to ne mozemo imati, opet po drugom Goedelovom teoremu... preciznije, mozemo ga imati (i cijelo vrijeme zapravo vjerujemo da ga ima, jer "u njemu" radimo sav math... ok:-? :) (dobro, opet uz napomenu o +ZFC+ ), ali u samom +ZF+ ne mozemo dokazati njegovo postojanje... iako se u njega opcenito vjeruje... Pa onda, kaze Cohen , iskoristimo to vjerovanje i pretpostavimo (kao formalnu math-pretpostavku) da postoji model od +ZF+ . Zasto? Da bismo emulirali ono na kraju pretpretposljednjeg odlomka (ono s 2 osobe:)...
Naime, krenuvsi od nekog modela za +ZF+ , s njim mozemo izvoditi neke operacije, pazeci pri tom da svi aksiomi od +ZF+ ostanu vazeci, i vidjeti mozemo li na taj nacin dobiti svijet u kojem vrijedi CH , i/ili svijet u kojem vrijedi !CH ... oba puta su napravljena uspjesno, i kao posljedica toga, i danas znamo da je CH _nezavisna_ od +ZF+ ... dakle, (ako je moguce konzistentno izgraditi model za +ZF+ ,) moguce je izgraditi i model za +ZF+& CH , i model za +ZF+& !CH ...
E sad, kakve to veze ima s onim gore:-? ("svi savrseni brojevi su goreindiciranog oblika"...) Naravno, to je tvrdnja o prirodnim brojevima, i moguce ju je izraziti u +PA+ ... bar u principu... ok:-? S obzirom na to da je ne znamo dokazati, dolazi u obzir mogucnost da ima slican status kao i H (konkretno, CH :) u +ZF+ ... pretpostavimo zasad da je tako. Kako bi se to odrazilo na nase "dobro poznate" prirodne brojeve:-?
Hm. Jedino sto mozemo reci je da nam se ni u kojem trenutku ne bi smjelo dogoditi da hipoteza padne... tj. da dobijemo neki savrsen broj koji nije gornjeg oblika... jer bi tada imali jednostavan dokaz da univerzalna tvrdnja ne vrijedi... got this:-? Da je npr. broj 69 savrsen (u aritmetickom smislu:)) (a ocito nije gornjeg oblika:), to bismo bez problema mogli iskazati i dokazati u +PA+ ... ako nista drugo, brute force metodom, jer koristimo samo brojeve od 69 ... ok:-? (otprilike:)
Dakle, sto se dogada: sve provjere daju da tvrdnja vrijedi, a ipak je ne mozemo dokazati... [iva]a^26 !^13[/iva] :-) I kako to onda drugacije nazvati nego "mozda je to slucajno tako" :-?