Dakle, kao sto smo vec vidjeli, Euklid je (p)opisao algoritme pomocu kojih su se mogle izvoditi odredene konstrukcije. Ono na cemu je inzistirao pri tome, je da se u konstrukcijama koriste samo sestar i ravnalo, i to na strogo odredene nacine: sestar sluzi samo za crtanje kruznica s danim sredistem i jednom tockom, dok ravnalo sluzi samo za povlacenje pravaca (kod Euklida su to bile "crte", koje su glumile pravce, samo sto nisu bile beskonacne - kao sto vjerojatno znas, StariGrci su se grozili beskonacnosti - vec su se mogle produljivati po volji...) s danim dvjema tockama.
Dobro, postojao je i neki "random generator" tocaka, kako bi se mogli rjesavati i zadatci u kojima ih nije zadano dovoljno - npr. raspoloviti kut: nema sanse da ista pocnes sve dok ti je jedina istaknuta tocka vrh kuta... ali to je vec nepotrebno sitnicarenje (na to cak ni Euklid nije obracao pozornost:). Ono sto je bitno je da su tako strogo definirana pravila zahtijevala da se razne "jednostavne" stvari rjesavaju na ultra-zaobilazne nacine - jedan od najboljih primjera je nanosenje dane duzine od dane tocke (ako te zanima kako Euklid to radi, zapisi na papiric:-) - inFact, mozes i sama pokusati. ali zapamti: sestarom smijes samo crtati kruznice, ravnalom samo pravce. U pocetku su ti zadane tocka A i duzina BC. Trebas konstruirati tocku D takvu da bude |AD|=|BC| ).
Svaki klinac to "rijesi" bez muke: zabode sestar u B , rastegne ga do C , zabode ga u A i opise kruzni luk, na kojem proizvoljno odabere tocku D . Sve je super, ali mislim da ti je jasno da to nije igranje po Euklidovim pravilima.
Zasto je Euklid sebi postavio tako stroge zahtjeve? Sluzbeni odgovor je nesto u smjeru pojednostavljivanja opisa geometrije, optimizacije postupka trazenja rjesenja (lakse je traziti ako u svakom trenutku tocno znas sto sve mozes napraviti, i toga nema puno - kuzis:-? :) i slicnih stvari koje danas imaju smisla, ali IMO Euklidu nisu bile ni na kraj pameti.
Moj odgovor je: da bi mu bilo zabavnije:-). Naravno, mentalni zahtjevi su tada veci, a on je bio uvjeren u to da on to moze rijesiti. I upravo u ovom zadnjem pointu lezi zaplet price: Euklidov prvi plan je bio zapravo vrlo specifican: dokazati Pitagorin teorem (to valjda znas sto je:-? :)). No s vremenom, kako je izgradivao sve potrebno, skuzio je da mu treba inFact jako puno toga, i vjerujem da je dosao do ideje da pokusa izvesti "sve" geometrijske konstrukcije (za pocetak, u ravnini:).
Ovo "sve" mozda zahtijeva pojasnjenje. Naravno, konstrukcija ima beskonacno mnogo, i Euklid, iako se nije zelio petljati s beskonacnoscu koja je bila rezervirana za bogove:-), je znao da nema smisla ici ih _sve_ izvoditi. Ono sto je on htio je vjerojatno vrlo blisko onome sto pricasmo malo dolje (tamo negdje kod zakljucka da je Vekyjeva perverznost samo instancijacija opceg zakona...:)) - napraviti osnovne "gradevne blokove" iz kojih se sve konstrukcije mogu sagraditi. Ok?
Prvi problem na kojeg je tu naletio je trisekcija kuta. Naime, osnovni objekti kojima je pripisao svojstvo "kongruentnosti" (sukladnosti), i htio ih "mjeriti" (ovo je dobar materijal za irl pricanje:), bile su mu duzine i kutovi.
Jedna od prvih konstrukcija koje se tu namecu je: podijeliti duzinu/kut na nekoliko (prirodan broj:) jednakih dijelova... Duzinu je rijesio relativno jednostavno, pomocu slicnosti trokuta (taj postupak vjerojatno znas:-?), kut je uspio podijeliti na 2 dijela (i samim time dakako na 4, 8 itd... ok:-?), ali na 3 je zapeo. I naravno, ispricao o tome svojim ucenicima, i uskoro se stvar prosirila cijelim helenskim svijetom. Nitko je nije znao rijesiti, ali, ono sto je zanimljivo, nitko nije (dokumentirano:) pomislio da stvar ne mora imati rjesenje...
Tek u 19om stoljecu, dakle par tisuca godina kasnije, Galoisova teorija kvadratnih prosirenja polja napokon je smjestila problem gdje mu je i mjesto - takva konstrukcija je (pricam univerzalno - naravno da se kut od \pi/2 dade trisecirati:) nemoguca. Preciznije, kut od \pi/3 se ne moze trisecirati, odnosno, kut od \pi/9 ne moze se konstruirati ravnalom i sestarom u Euklidovom smislu. Put do toga je dosta naporan, zahtijeva puno netrivijalne algebre i definitivno ga ne bih pricao mailom (mozda ti ispricam outline irl, akko te jaaako zanima:)... ali u svakom slucaju, to je valjda najstariji problem koji je rijesen tako sto mu je (u starogrckom smislu) dokazana nerjesivost...(:-!) :-)
Jos jedna od stvari koje je Euklid htio "mjeriti" bila je povrsina. Treba razumjeti da je to bilo mjerenje u geometrijskom, ne analitickom smislu - dakle, ne pridruzivati likovima brojeve, (kao sto to uglavnom danas radimo, jer iz raznih razloga smatramo racunanje vaznijim od crtanja:), vec npr. nacrtati drugi, geometrijski "jednostavniji" lik (najcesce kvadrat) jednake povrsine kao dani lik. Primijetimo da je to obuhvatniji zadatak od analitickog ako npr. imamo mjerenje duljine: da bismo saznali povrsinu nekog lika (u modernom smislu), "kvadriramo" ga, izmjerimo duljinu stranice tako dobivenog kvadrata, i kvadriramo je (naravno, ovdje je rijec "kvadrirati" upotrijebljena u dva vrlo razlicita znacenja:).
To sve stima za svakakve likove (poligone uglavnom, ali ima ih i krivocrtnih - cula za Heronove polumjesece:-? - ako nisi, papiric...:) - probaj izvesti npr. za proizvoljan trokut...:-) - ali Grci su jako voljeli krugove:-) (skoro ko Iva... [hint][iva personality="plasljiva ofca"] aaa nisu to krugovi:)))) to su... krugovi? :))))[/iva][/hint]:))... a naravno, po Murphyju ili kome vec bogu porasta entropije u Svemiru;-), nisu znali kvadrirati krug.
Dalje se prica nastavlja slicno kao s trisekcijom... Lindenbaum relativno nedavno (pred samo par stotina godina:) dokazuje transcendentnost broja \pi , i time trpa kvadraturu kruga gdje joj je mjesto... (primijeti da kvadratura kruga zahtijeva konstruiranje duzine duljine \sqrt(\pi) , pocevsi od duzine duljine 1 ).
Duplikacija kocke, slicna fora, samo sto je ovo toboze u 3D , i sto ne potjece od Euklida... legenda kaze da su ljudi u Delfima jednom bili pogodeni strasnom kugom. Ocajni, obratili su se Delfskom prorocistu (znas te price, ona strka sa zarezom, "ibis redibis" i te fore:-?), koje je reklo nesto ovog tipa:
Oltar Apolonu (ili kome vec), kojeg ste napravili, u obliku kocke, je premalen. Sagradite novi oltar, dvostruko veci od prethodnog. Ali pazite da bude tocno dvostruko veci.Jesu li se jadni Delci na kraju uspjeli osloboditi kuge, ne znam, ali da su isli prvo raditi tehnicku specifikaciju na papiru, i to po Euklidovim principima, nadrapali bi. Lako je vidjeti da ovaj problem zahtijeva konstruiranje duzine duljine \root_3(2) (pomocu duzine duljine 1 ), (ok:-?) a taj broj je takoder Galoisova teorija o kvadratnim prosirenjima dokazala nekonstruktibilnim u Euklidovom smislu.