5. zadaća

Prvi zadatak

  1. Neka je polinom (2x2−x−3)3 raspisan kao anxn+...+a1x+a0. Odredite n i a6+a4+a2.
  2. Odredite sve polinome p(x)∈ℝ[x] za koje vrijedi
    p(x2+1)−x3+1=x3p(x)  .
  3. Odredite sve polinome f(x)∈ℝ[x] za koje vrijedi
    x2f(x+5)=(x−1)(x−2)f(x)  .
  4. Odredite kvocijent i ostatak pri dijeljenju polinoma
    x9+2x8−x6+x5+3x4−5x+9sax3+2x2−2  .
  5. Odredite ostatak pri dijeljenju polinoma
    x30+2x29−x15−2x14−x6+x2−1sax2+x−2  .
  6. Odredite ostatak pri dijeljenju polinoma
    x28+3x25−x17−5x14−x6−3x2+10sax2−2x+1  .
  7. Odredite, i normirajte, najveću zajedničku mjeru polinomā
    x6−2x5+4x4+4x3+4x2−2x+1ix4+x2+1  .
  8. Ako polinom f(x), s realnim koeficijentima, pri dijeljenju polinomom x2−1 daje ostatak 5x, a pri dijeljenju polinomom x2+1 daje ostatak 5x+4, odredite koji ostatak f(x) daje pri dijeljenju polinomom x4−1.
  9. Ako polinom f(x), s realnim koeficijentima i slobodnim koeficijentom 4, pri dijeljenju polinomom (x−3)2 daje ostatak 2x−1, odredite koji ostatak f(x) daje pri dijeljenju polinomom (x−3)2x.
  10. Neka je n proizvoljan prirodan broj. Odredite kratnost nultočke 1 u polinomu
    (1−xn)(1+x)−2nxn(1−x)−n2xn(1−x)2  .

Drugi zadatak

  1. Odredi koeficijente a,b∈ℝ takve da polinom p(x)=ax17+ax6+bx3+b+8 bude djeljiv polinomom g(x)=(x−1)2.
  2. Dokaži da polinom f(x)=1+x/1!+...+xn/n! nema višestrukih nultočaka.
  3. Neka su p i q prosti brojevi veći od 3, te f polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Može li d:=f(p)−f(q) biti prost broj? Ako ne može, dokažite to. Ako može, nađite sve vrijednosti koje d može poprimati.
  4. Nađite polinom p, čiji su koeficijenti iz skupa {0,1}, za koji je p(2)=27.
  5. Dokažite da, za cijele neparne brojeve m i n, jednadžba x^2+mx+n=0 nema racionalnih rješenjā.
  6. Odredite sve (kompleksne) nultočke polinoma p(x)=x4−12x2−13x−12.
  7. Riješite (u ℂ) jednadžbu
    x4+8x3+19x2+22x+10=0  .
  8. Da li je broj √3+∛7 algebarski? Ako jest, nađite polinom s cjelobrojnim koeficijentima kojem je on nultočka.
  9. Izračunajte zbroj recipročnih vrijednosti nultočaka polinoma p(x)=ax3+bx2+cx+d, ako je poznato da su mu sve nultočke različite. Kako izgleda sličan rezultat za općenit polinom n-tog stupnja sa svim nultočkama različitim?