Teorija skupova

10. veljače 2006.

(1) Koliko ima:

(a) podskupova od ℤ koji su dobro uredeni standardnim uredajem za cijele brojeve < (odnosno njegovom restrikcijom)?

(b) funkcijâ s ℝ u ℝ koje su klase C^{1} na ℝ^{−} := ⟨−∞, 0⟩, a klase C^{2} na ℝ^{+} := ⟨0, +∞⟩?

(2) Dokažite ili opovrgnite: za proizvoljni skup A,

⋃ ⋃ A^{2} = A

(s A^{2} := A × A je označen Kartezijev kvadrat skupa A).

(3) Izračunajte

∏_{α∈ω+2}(α + 2)^{α+1} .

(4) Bez aksioma izbora izračunajte:

ℵ_{0}^{𝔠} + (𝔠 · ℵ_{1})^{ℵ_{0}} .

Obrazložite sve korake!

(5) Neka je (S, ≺) proizvoljan PUS (parcijalno ureden skup), te x ∈ S neki element koji nije maksimalan. Dokažite: ako u S svaki lanac ima gornju medu, tada u S postoji maksimalni element koji je veći od x.

Rezultati: srijeda, 15. veljače 2006. u 16:00.

Vedran Čačić