Teorija skupova

29. studenog 2005.

(1) Koliko ima:

(a) podskupova od ℕ kojima je komplement (u ℕ) konačan?

(b) funkcijâ s ℝ u ℝ koje beskonačno mnogo puta poprimaju vrijednost \sqrt{2}?

(2) Izračunajte

∑_{n∈ω+1} ∑_{k∈ω} n^{k} .

(3) Na skupu ℚ definirajte uredaj ≺, tako da uredajni tip od (ℚ, ≺) bude ω^{∗} + η + ω.

(4) Definirajmo induktivno sljedeći niz kardinalnih brojeva:

ℶ_{0} := ℵ_{0}
ℶ_{n+1} := 2^{ℶ_{n}}

Bez korištenja aksioma izbora dokažite da je, za svaki prirodni n, ℶ_{n}^{2} = ℶ_{n}.

(5) \underline{Klika} u grafu (V, E) je njegov podgraf s bar dva vrha, koji je potpun (tj. postoji brid izmedu svaka dva vrha podgrafa). Dokažite da svaki graf s bar jednim bridom ima maksimalnu kliku.

Podrazumijevaju se jednostavni neusmjereni grafovi (E je simetrična i irefleksivna relacija na V). Na klikama se podrazumijeva uredaj “biti podgraf”.

Rezultati i žalbe: petak, 2. prosinca 2005. u 16:00.

Vedran Čačić