Teorija skupova

2. kolokvij 3. veljače 2006.

1(0) a) Definirajte sljedeće pojmove: induktivan skup, ordinalni

broj dobro uredenog skupa i kardinalni broj.

b) Iskažite Dedekindov teorem rekurzije.

c) Opišite definiciju skupa cijelih brojeva i aritmetičkih operacija na tom skupu.

2(10) Dokažite (transfinitnom indukcijom) da za svaki ordinal α ≥ 1

vrijedi

1 + ω^{α} = ω^{α} .

3(10) Izračunajte

∑_{i∈ω}(i + 2)^{∏_{j∈ω}(j+1)} .

4(10) Ako je {x, y} tranzitivan skup, je li nužno i x ∪ y tranzitivan? Dokažite ili opovrgnite.

5(10) Bez korištenja aksioma izbora, poredajte po veličini kardinalne

brojeve

ℵ_{0}^{ℶ_{1}} , ℵ_{1}^{ℶ_{0}} , ℶ_{2}^{ℵ_{1}} .

Gdje vrijede stroge nejednakosti, a gdje jednakosti?

6(10) Neka je V vektorski prostor, i x neki njegov element različit od nulvektora. Dokažite da postoji maksimalan potprostor od V koji ne sadrži vektor x.

Rezultati: ponedjeljak, 12:00

Vedran Čačić