Teorija skupova

1. kolokvij 13. prosinca 2005.

(1) (0)

a) Definirajte sljedeće pojmove: uredeni par, ekvipotentni skupovi, te minimalni i najmanji element u parcijalno uredenom skupu.

b) Iskažite sljedeće aksiome teorije ZF: aksiom ekstenzionalnosti i aksiom dobre utemeljenosti.

c) Iskažite sljedeće teoreme: Cantor, Schröder, Bernsteinov teorem, te teorem o uredanoj karakteristici skupa racionalnih brojeva.

(2) (10) Koliko ima periodičkih funkcijâ s ℝ u [0, 1]?

(3) (10) Izračunajte (𝔠^{ℵ_{0}})^{ℵ_{0}} + ℵ_{0}^{ℵ_{0}} + ℵ_{0}.

(4) (10) Neka je A ≠ ∅. Ispitajte odnos skupova (koje inkluzije vrijede uvijek, koje ne vrijede nikad,...) (P(A))^{2} i P(A^{2}).

(5) (10) Neka je (A, <) TUS. Dokažite da postoji TUS oblika (B, ⊂), sličan s (A, <).

(6) (10) Koji su od sljedećih skupova, uz standardni uredaj, medusobno slični, a koji nisu? Obrazložite.

ℚ, ℝ, ℝ \ [0, 1⟩

(1) (0)

a) Definirajte sljedeće pojmove: familija skupova, neprebrojiv skup, te dobro ureden skup.

b) Iskažite sljedeće aksiome teorije ZF: aksiom praznog skupa i aksiom beskonačnosti.

c) Iskažite sljedeće teoreme: teorem o fiksnoj točki i Cantorov osnovni teorem teorije skupova.

(2) (10) Koliko ima strogo konveksnih funkcijâ s [0, 1] u ℝ? (Strogo konveksna funkcija je neprekidna funkcija f za koju vrijedi univerzalno f(\frac{x+y}{2}) < \frac{f(x)+f(y)}{2}.)

(3) (10) Izračunajte (2^{𝔠})^{ℵ_{0}} + (𝔠^{ℵ_{0}})^{2} + 𝔠.

(4) (10) Neka je A ≠ ∅. Ispitajte odnos skupova (koje inkluzije vrijede uvijek, koje ne vrijede nikad,...) P(⋂ A) i ⋂ P(A).

(5) (10) Neka je R ⊆ A^{2} simetrična i tranzitivna relacija na A. Dokažite da postoji skup B takav da je R ⊆ B^{2} relacija ekvivalencije na B. (Nije dozvoljeno mijenjati relaciju, već samo skup!)

(6) (10) Koji su od sljedećih skupova, uz standardni uredaj, medusobno slični, a koji nisu? Obrazložite.

[0, 1⟩, [0, +∞⟩, ℚ ∩ [0, +∞⟩

(1) (0)

a) Definirajte sljedeće pojmove: relacija ekvivalencije, prebrojiv skup, te linearno ureden skup.

b) Iskažite sljedeće aksiome teorije ZF: aksiom partitivnog skupa i aksiom para.

c) Iskažite teorem o uredanoj karakteristici skupa realnih brojeva.

(2) (10) Koliko ima monotonih konačnih nizova racionalnih brojeva?

(3) (10) Izračunajte ℵ_{0}^{𝔠} + (ℵ_{0} · 𝔠)^{3}.

(4) (10) Neka je A ≠ ∅. Ispitajte odnos skupova (koje inkluzije vrijede uvijek, koje ne vrijede nikad,...) A i P(⋃ A).

(5) (10) Neka je (A, <) PUS u kojem svaki podskup ima supremum. Dokažite da tada u (A, <) svaki podskup ima i infimum.

(6) (10) Koji su od sljedećih skupova, uz standardni uredaj, medusobno slični, a koji nisu? Obrazložite.

ℙ, ℕ, ℕ^{2}

(ℙ označava skup prostih prirodnih brojeva. Standardni uredaj na ℕ^{2} je antileksikografski.)

(1) (0)

a) Definirajte sljedeće pojmove: particija skupa, konačan i beskonačan skup, parcijalno ureden skup.

b) Iskažite sljedeće aksiome teorije ZF: aksiom unije i aksiom izbora.

c) Iskažite sljedeće teoreme: teorem o invarijantama sličnosti, te Knaster–Tarskijev teorem.

(2) (10) Koliko ima surjekcijâ s ⟨−1, 1⟩ na ℝ?

(3) (10) Izračunajte 3^{𝔠} + (ℵ_{0}^{3})^{ℵ_{0}}.

(4) (10) Neka je A ≠ ∅. Ispitajte odnos skupova (koje inkluzije vrijede uvijek, koje ne vrijede nikad,...) A i ⋃ P(A).

(5) (10) Neka je A skup, i (U(A), ⊂) PUS svih parcijalnih uredaja na A. Dokažite da su maksimalni elementi u (U(A), ⊂) upravo totalni uredaji na A.

(6) (10) Koji su od sljedećih skupova, uz standardni uredaj, medusobno slični, a koji nisu? Obrazložite.

ℚ \ ℤ, 𝔸, ℝ \ 𝔸

(𝔸 označava skup algebarskih realnih brojeva.)