1. zadatak

grupa A a) Odredite projekciju točke (3, −5, 2) na ravninu y = 4.

odgovor: (3, 4, 2)

b) Napišite jednadžbu tangente na kružnicu x^{2}+y^{2}−4x+12y+23 = 0 u jednoj (bilo kojoj) od njenih točaka s apscisom x = 1.

odgovor: Tangenta u točki (1, −2) ima jednadžbu −x + 4y + 9 = 0, a u

točki (1, −10) jednadžbu x + 4y + 39 = 0.

c) Odredite udaljenost glavnog i sporednog tjemena elipse 7x^{2} +

2y^{2} = 14. odgovor: Udaljenost je d = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 3.

d) Odredite kut između asimptota hiperbole x^{2} − 4y^{2} = 20.

odgovor: Koeficijenti smjerova asimptota su ±\frac{b}{a} = ±\frac{1}{2}, pa je φ = arctg \frac{4}{3}.

Ili: φ = 2 arctg \frac{b}{a}.

e) Napišite jednadžbu parabole kojoj je tjeme T (4, 1), a fokus F (4, −2). odgovor: Kako je \frac{p}{2} = |T F | = 3, jednadžba glasi (x − 4)^{2} = −12(y − 1).

grupa B a) Odredite projekciju točke (−2, 3, 1) na ravninu x = 5.

odgovor: (5, 3, 1)

b) Napišite jednadžbu tangente na kružnicu x^{2}+y^{2}−2x+10y+9 = 0 u jednoj (bilo kojoj) od njenih točaka s apscisom x = 2.

odgovor: (2, −1)… x + 4y + 2 = 0; (2, −9)… −x + 4y + 38 = 0

c) Odredite udaljenost glavnog i sporednog tjemena elipse 3x^{2} +

y^{2} = 15. odgovor: 2\sqrt{5}

d) Odredite kut između asimptota hiperbole 2x^{2} − 7y^{2} = 14.

odgovor: arctg \frac{2\sqrt{14}}{5}

e) Napišite jednadžbu parabole kojoj je tjeme T (−2, −1), a fokus

F (−4, −1). odgovor: (y + 1)^{2} = −8(x + 2)

grupa C a) Odredite projekciju točke (2, −4, −3) na ravninu z = 3.

odgovor: (2, −4, 3)

b) Napišite jednadžbu tangente na kružnicu x^{2}+y^{2}+12x−2y+24 = 0 u jednoj (bilo kojoj) od njenih točaka s ordinatom y = 3.

odgovor: (−3, 3)… 3x + 2y + 3 = 0; (−9, 3)… 3x − 2y + 33 = 0

c) Odredite udaljenost glavnog i sporednog tjemena elipse 5x^{2} +

3y^{2} = 15. odgovor: 2\sqrt{2}

d) Odredite kut između asimptota hiperbole x^{2} − 3y^{2} = 18. odgovor: arctg \sqrt{3} = 60^{∘}

e) Napišite jednadžbu parabole kojoj je tjeme T (1, −3), a fokus

F (−2, −3). odgovor: (y + 3)^{2} = −12(x − 1) grupa D a) Odredite projekciju točke (−2, −1, 3) na ravninu y = −2.

odgovor: (−2, −2, 3)

b) Napišite jednadžbu tangente na kružnicu x^{2}+y^{2}+8x−6y−1 = 0 u jednoj (bilo kojoj) od njenih točaka s apscisom x = 1.

odgovor: (1, 2)… 5x − y − 3 = 0; (1, 4)… 5x + y − 9 = 0

c) Odredite udaljenost glavnog i sporednog tjemena elipse 4x^{2} +

y^{2} = 16. odgovor: 2\sqrt{5}

d) Odredite kut između asimptota hiperbole 3x^{2} − 8y^{2} = 24.

odgovor: arctg \frac{4\sqrt{6}}{5}

e) Napišite jednadžbu parabole kojoj je tjeme T (−2, 3), a fokus

F (−2, 5). odgovor: (x + 2)^{2} = 8(y − 3)

2. zadatak

Odredite zajedničku normalu pravaca

p_{1} … \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{−1} = \frac{z − 2}{1} i p_{2} … \frac{x − 2}{0} = \frac{y + 6}{1} = \frac{z − 6}{−3}

i njihovu međusobnu udaljenost.

Rješenje. Iz jednadžbi danih pravaca vidimo da su P_{1}(−1, 0, 2) i P_{2}(2, −6, 6) redom točke na pravcima p_{1} i p_{2}, a vektori smjera tih pravaca su s⃗_{1} = (2, −1, 1) i s⃗_{2} = (0, 1, −3).

Neka je tražena zajednička normala pravac n. Vektor smjera s⃗_{n} tog pravca dobijemo iz uvjeta okomitosti na s⃗_{1} i s⃗_{2}. Kako je

s⃗_{1} × s⃗_{2} = |\begin{matrix}i⃗ & j⃗ & k⃗ \\ 2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −3 \end{matrix}| = 2i⃗ + 6j⃗ + 2k⃗ = (2, 6, 2),

to možemo uzeti s⃗_{n} = (1, 3, 1).

Neka je π_{1} ravnina koja sadrži pravac p_{1} i ujedno vektor s⃗_{n}. Analogno, neka je π_{2} ravnina koja sadrži pravac p_{2} i vektor s⃗_{n}. Tada pravac n mora ležati u ravninama π_{1} i π_{2}, pa je n = π_{1} ∩ π_{2}.

Nije teško izračunati jednadžbe ravnina π_{1} i π_{2}:

π_{1} … |\begin{matrix}x + 1 & y & z − 2 \\ 2 & −1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}| = 0 ⇔ 4x + y − 7z + 18 = 0,

π_{2} … |\begin{matrix}x − 2 & y + 6 & z − 6 \\ 0 & 1 & −3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}| = 0 ⇔ 10x − 3y − z − 32 = 0.

Sada izračunamo jednadžbu pravca n:

n … \begin{cases}4x + y − 7z + 18 = 0 \\ 10x − 3y − z − 32 = 0 \end{cases} ⇔ \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 14}{3} = \frac{z}{1}

Udaljenost pravaca p_{1} i p_{2} je jednaka udaljenosti točaka T_{1} = p_{1} ∩ n = p_{1} ∩π_{2} i T_{2} = p_{2} ∩n = p_{2} ∩π_{1}. Lako se dobije da je T_{1}(3, −2, 4) i T_{2}(2, −5, 3), pa je d(p_{1}, p_{2}) = d(T_{1}, T_{2}) = \sqrt{11}. □

Malo drugačije rješenje. Kao i u prvom načinu dobijemo vektor smjera s⃗_{n} = (1, 3, 1) pravca n, zatim jednadžbu ravnine π_{1} … 4x+y−7z+18 = 0 i konačno točku T_{2} = p_{2} ∩ π_{1} = (2, −5, 3). Znamo da je točka T_{2} na pravcu n i da je

vektor smjera toga pravca s⃗_{n}, pa je n … \frac{x − 2}{1} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z − 3}{1} (što smo dobili i prvim načinom).

Ako su r⃗_{1} = (−1, 0, 2) i r⃗_{2} = (2, −6, 6) radijvektori nekih dvaju točaka na pravcima p_{1} i p_{2} redom, onda udaljenost među pravcima računamo po sljedećoj formuli

(visina paralelepipeda = \frac{volumen}{povrsina baze}):

d = \frac{|(s⃗_{1}, s⃗_{2}, r⃗_{1} − r⃗_{2})|}{|s⃗_{1} × s⃗_{2}|} = \frac{|s⃗_{n} · (r⃗_{1} − r⃗_{2})|}{|s⃗_{n}|} = \frac{|(1, 3, 1) · (−3, 6, −4)|}{|(1, 3, 1)|} = \frac{| − 3 + 18 − 4|}{\sqrt{1^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{11}.

□

Potpuno drugačije rješenje. Kao i u prvom načinu dobijemo vektor smjera s⃗_{n} = (1, 3, 1) pravca n koji je zajednička normala (okomica) danih pravaca.

Prebacimo li jednadžbe pravaca p_{1} i p_{2} u parametarski oblik vidimo da točke na pravcu p_{1} imaju koordinate (−1 + 2t, −t, 2 + t), t ∈ ℝ, a točke na pravcu p_{2} imaju koordinate (2, −6 + s, 6 − 3s), s ∈ ℝ. Ako je točka A(−1 + 2t, −t, 2 + t) presjek pravaca p_{1} i n, a točka B(2, −6 + s, 6 − 3s) presjek pravaca p_{2} i n, onda su vektori \overrightarrow{AB} i s⃗_{n} kolinearni, pa postoji λ ∈ ℝ takvo da je \overrightarrow{AB} = λs⃗_{n}. Zapišemo li ovo kooordinatno

(3 − 2t, −6 + s + t, 4 − 3s − t) = λ(1, 3, 1),

dobivamo sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

\{ \begin{matrix}3 − 2t & = λ \\ −6 + s + t & = 3λ \\ 4 − 3s − t & = λ. \end{matrix}

Rješenje tog sustava je t = 2, s = 1, λ = −1, pa je A(3, −2, 4), B(2, −5, 3).

Zato je jednadžba pravca n … \frac{x − 2}{1} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z − 3}{1} (uzeli smo točku B), a udaljenost pravaca p_{1} i p_{2} je

d(p_{1}, p_{2}) = d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = |(−1, 3, −1)| = \sqrt{1^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{11}.
□

Kratka rješenja za sve grupe.

grupa  pravci p_{1} i p_{2}  zajednička normala udaljenost p_{1} i p_{2}

A  \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{−1} = \frac{z − 2}{1}
\frac{x − 2}{0} = \frac{y + 6}{1} = \frac{z − 6}{−3} \frac{x − 2}{1} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z − 3}{1}  \sqrt{11}

B  \frac{x + 5}{−1} = \frac{y}{−1} = \frac{z − 3}{2}
\frac{x + 2}{0} = \frac{y − 3}{2} = \frac{z − 4}{−3} \frac{x + 2}{1} = \frac{y − 5}{3} = \frac{z − 1}{2}  \sqrt{14}

C \frac{x − 1}{−3} = \frac{y − 2}{0} = \frac{z − 6}{2}
\frac{x}{2} = \frac{y + 1}{−1} = \frac{z − 3}{−1} \frac{x + 4}{2} = \frac{y − 1}{1} = \frac{z − 5}{3}  \sqrt{14}

D \frac{x − 4}{−3} = \frac{y + 2}{0} = \frac{z + 3}{1}
\frac{x}{1} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z − 3}{−1} \frac{x − 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z − 1}{3}  \sqrt{11}
□

3. zadatak

A Dana je parabola y^{2} = 8x i točka A(−4, 2). Odredite udaljenost fokusa parabole od pravca koji spaja dirališta tangenata povučenih iz točke A na parabolu.

Rješenje: Iz jednadžbe parabole možemo očitati parametar p = 4, a onda je fokus F = (2, 0). Pravac u zadatku je polara točke A s obzirom na parabolu, koja ima jednadžbu y · 2 = 4(x + (−4)), odnosno p_{A} … 2x−y −8 = 0. Uvrštavanjem u formulu za udaljenost točke od pravca, dobivamo

d(F, p_{A}) = \frac{|2 · 2 − 0 − 8|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} .

Može se i postepeno: iz uvjeta tangencijalnosti 2kl = 4 i uvjeta prolaska točkom A, 2 = k · (−4) + l, možemo dobiti jednadžbe tangenata,

t_{1} … y = \frac{x}{2} + 4 i t_{2} … y = −x − 2 .

Kao sjecišta tangenata i parabole dobiju se dirališta, D_{1} = (2, −4) i D_{2} = (8, 8), a onda je polara pravac D_{1}D_{2} … y = 2x − 8. Ostalo kao i gore.

B Parabola je y^{2} = 4x, a točka je A = (−4, 3). Parametar je p = 2, jednadžbe tangenata su y = −1 − x i y = 4 + \frac{x}{4}, dirališta su (1, −2) i (16, 8), polara ima jednadžbu 2x − 3y − 8 = 0, fokus je točka (1, 0), a njihova udaljenost je \frac{6\sqrt{13}}{13}.

C Parabola je y^{2} = 4x, a točka je A = (−6, 5). Parametar je p = 2, jednadžbe tangenata su y = −1 − x i y = 6 + \frac{x}{6}, dirališta su (1, −2) i (36, 12), polara ima jednadžbu 2x−5y −12 = 0, fokus je točka (1, 0), a njihova udaljenost je \frac{10\sqrt{29}}{29}.

D Parabola je y^{2} = 8x, a točka je A = (−1, 1). Parametar je p = 4, jednadžbe tangenata su y = −1 − 2x i y = x + 2, dirališta su (\frac{1}{2}, −2) i (2, 4), polara ima jednadžbu 4x − y − 4 = 0, fokus je točka (2, 0), a njihova udaljenost je \frac{4\sqrt{17}}{17}.

4. zadatak

• Tangenta elipse s diralištem u točki D siječe glavnu os u točki A, a ortogonalna projekcija točke D na tu os je točka B. Ako je O središte elipse, a a duljina glavne poluosi, dokažite da vrijedi |OA|·|OB| = a^{2}.

Rješenje. Postavimo elipsu u Kartezijev koordinatni sustav na standardni način (glavna os na x-osi, a sporedna na y-osi). Tada je jednadžba elipse b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}. Neka su koodinate točke D(x_{0}, y_{0}). Koordinate točke B su očito (x_{0}, 0), a tangenta na elipsu u točki D ima jednadžbu b^{2}x_{0}x+a^{2}y_{0}y = a^{2}b^{2}, pa siječe x-os u točki

A(a^{2}/x_{0}, 0). Sada je |OA| · |OB| = x_{0} · \frac{a^{2}}{x_{0}} = a^{2}. □

• U sporednim tjemenima elipse M i N povučene su tangente koje neku treću tangentu sijeku redom u točkama P i Q. Dokažite da je umnožak |MP | · |NQ| jednak kvadratu duljine glavne poluosi.

Rješenje. Postavimo elipsu u Kartezijev koordinatni sustav na standardni način (glavna os na x-osi, a sporedna na y-osi).Tada je jednadžba elipse b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}. Ako su koodinate točke D(x_{0}, y_{0}), onda vrijedi b^{2}x_{0}^{2} + a^{2}y_{0}^{2} = a^{2}b^{2} jer je točka D na elipsi. Tangente u točkama M(0, b) i N(0, −b) na danu elipsu su redom pravci y = b i y = −b. Tangenta na elipsu u točki D ima jednadžbu

b^{2}x_{0}x+a^{2}y_{0}y = a^{2}b^{2}, pa siječe pravac y = b u točki P (\frac{a^{2}(b − y_{0})}{bx_{0}}, b),

a pravac y = −b u točki Q(\frac{a^{2}(b + y_{0})}{bx_{0}}, −b). Sada vrijedi

|MP |·|NQ| = \frac{a^{2}(b − y_{0})}{bx_{0}}·\frac{a^{2}(b + y_{0})}{bx_{0}} = \frac{a^{4}(b^{2} − y_{0}^{2})}{b^{2}x_{0}^{2}} = \frac{a^{2}(a^{2}b^{2} − a^{2}y_{0}^{2})}{b^{2}x_{0}^{2}} = \frac{a^{2}b^{2}x_{0}^{2}}{b^{2}x_{0}^{2}} = a^{2},

pri čemu smo predzadnju jednakost dobili iz činjenice da točka D leži na elipsi. □

Napomena. U druge dvije grupe rješenja su potpuno analogna prethodnima samo što se na potrebnim mjestima zamijeni mala/sporedna (polu)os sa velika/glavna (polu)os i obratno. □

5. zadatak

grupa A Neka je M = [ \begin{matrix}0 & 6 \\ 6 & −5 \end{matrix} ]. Svojstvene vrijednosti matrice M su -9 i

4. Pripadni svojstveni vektori su oblika (−2t, 3t) i (3t, 2t) za t ∈ ℝ. Odaberemo jedinične vektore i⃗′ = \frac{1}{\sqrt{13}}(−2, 3) i j⃗′ = \frac{1}{\sqrt{13}}(−3, −2).

Tada matrica Q = \frac{1}{\sqrt{13}} [ \begin{matrix}−2 & −3 \\ 3 & −2 \end{matrix} ] ima determinantu 1. Uvodimo

novi koordinatni sustav (0; x′y′) s vezom koordinata

[ \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ] = Q [ \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ] .

Iz 6xy + 8y^{2} = 9 dobivamo −9x^{′2} + 4y^{′2} = 36, tj.

\frac{y^{′2}}{9} − \frac{x^{′2}}{4} = 1.

Sada vidimo da je riječ o hiperboli s poluosima a = 3 i b = 2. Koordinate fokusa u koordinatnom sustavu (O; x′, y′) su (0, ±\sqrt{13}). Računanjem

[ \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ] = Q [ \begin{matrix}0 \\ ±\sqrt{13} \end{matrix} ] = \frac{1}{\sqrt{13}} [ \begin{matrix}−2 & −3 \\ 3 & −2 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 \\ ±\sqrt{13} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}±3 \\ ±2 \end{matrix} ]

vidimo da su fokusi točke F_{1}(3, 2) i F_{2}(−3, −2).

Asimptote dane hiperbole su pravci x′ = ±\frac{b}{a}y′ = ±\frac{2}{3}y′. Kako je

[ \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ] = Q^{τ} [ \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ] = \frac{1}{\sqrt{13}} [ \begin{matrix}−2 & 3 \\ −3 & −2 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ] ,

asimptote su pravci

\frac{−2x + 3y}{\sqrt{13}} = ±\frac{2}{3} \frac{−3x − 2y}{\sqrt{13}} ,

tj. y = 0 i y = −\frac{3}{4}x.

grupa B Riječ je o hiperboli s poluosima a = 2 i b = 4. Fokusi hiperbole su

točke F_{1}(4, −2) i F_{2}(−4, 2). Asimptote su pravci y = \frac{3}{4}x i x = 0.

grupa C Riječ je o hiperboli s poluosima a = 1 i b = 3. Fokusi hiperbole su

točke F_{1}(1, 3) i F_{2}(−1, −3). Asimptote su pravci y = −\frac{3}{4}x i y = 0.

grupa D Riječ je o hiperboli s poluosima a = 1 i b = 4. Fokusi hiperbole su

točke F_{1}(4, 1) i F_{2}(−4, −1). Asimptote su pravci y = −\frac{15}{8}x i x = 0.