Ne-uniformna konvergencija

Neprekidna funkcija na kompaktu je uvijek i uniformno neprekidna. Stoga studenti cesto pogresno misle da i niz funkcija koji konvergira (po tockama) mora konvergirati i uniformno ukoliko je domena kompaktna.

Sljedeci primjer pokazuje da to nije tako. Radi se stovise o nizu neprekidnih funkcija koji na kompaktu (segmentu) konvergira neprekidnoj funkciji, ali ta konvergencija ipak nije uniformna.

Definiramo niz funkcija (Subscript[g, n]) sa  (Subscript[g, n])(x) = f((x^n)), gdje je f(x) = (Sqrt[x (1 - x)]).

f[x_] := (Sqrt[x (1 - x)])g[n_, x_] := f[(x^n)]Plot[{g[1, x], g[2, x], g[4, x], g[8, x], g[16, x], g[32, x], 
        g[64, x], g[128, x], g[256, x]}, {x, 0, 1}, 
      PlotRange -> {0, 0.51}, PlotPoints -> 50, 
      PlotStyle ->  Thickness[0.002], ImageSize -> {440, 272}];

Na prethodnoj slici su, zbog preglednosti, prikazani grafovi samo nekih funkcija (Subscript[g, n]), onih za n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256.

Da konvergencija zaista nije uniformna, dokazano je na predavanjima iz Matematicke analize 3 (ili na vjezbama). Animacija sljedeceg niza slika (cmd-Y) daje vizuelnu ilustraciju zasto je to tako.

Table[
      Plot[g[2^n, x], {x, 0, 1}, PlotRange -> {0, 0.51}, 
        PlotPoints -> 50 , PlotLabel -> StringForm["n=``", 2^n], 
        ImageSize -> {440, 272}], {n, 0, 10}];