Eksponencijalna funkcija  (e^z)

Najprije neka Mathematica izracuna sljedecu celiju:

Needs["Graphics`ComplexMap`"]\(hor[i_] := 
      Table[Graphics[{Hue[0.3*Ceiling[j/12]], \ 
\ \ \ \ \ \ 
            Line[{{0, \((j*Pi)\)/6}, {2, \((j*Pi)\)/6}}]}], {j, i}]; \ 

    vert[i_] := \ 
\ \ \ 
      Table[Graphics[Line[{{\((j*2)\)/8, 0}, {\((j*2)\)/8, \((i*Pi)\)/6}}]], 
        
\ \ \ \ \ \ \ \ \ {j, \ 8}]; \ 

    osi = {Graphics[Line[{{\(-0.1\), 0}, {2.2, 0}}]], \ 
\ \ \ \ \ 
        Graphics[Line[{{0, \(-1\)}, {0, 6*Pi + 1}}]], 
\ \ \ \ \ 
        Graphics[Line[{{\(-0.05\), 2  Pi}, {0, 2  Pi}}]], 
\ \ \ \ \ 
        Graphics[Line[{{\(-0.05\), 4  Pi}, {0, 4  Pi}}]], 
\ \ \ \ \ 
        Graphics[Line[{{\(-0.05\), 6  Pi}, {0, 6  Pi}}]], 
\ \ \ \ \ 
        Graphics[Line[{{1, \(-0.5\)}, {1, 0}}]], 
\ \ \ \ \ 
        Graphics[Line[{{2, \(-0.5\)}, {2, 0}}]], 
\ \ \ \ \ 
        Graphics[Text["2 Pi", {\(-0.1\), 2  Pi}, {0.8, \(-0.2\)}]], 

        \ \ \ \ \ 
        Graphics[Text["4 Pi", {\(-0.1\), 4  Pi}, {0.8, \(-0.2\)}]], 

        \ \ \ \ \ 
        Graphics[Text["6 Pi", {\(-0.1\), 6  Pi}, {0.8, \(-0.2\)}]], 

        \ \ \ \ \ Graphics[Text["1", {1, \(-0.7\)}, {\(-0.2\), 0.5}]], 

        \ \ \ \ \ Graphics[Text["2", {2, \(-0.7\)}, {\(-0.1\), 0.5}]], 

        \ \ \ \ \ Graphics[Text["O", {\(-0.06\), \(-0.7\)}, {0, 0}]]}; \ 
    
grid[i_] := 
      Show[hor[i], vert[i], osi, \ 
\ \ \ \ 
        PlotRange\  -> \ {{\(-0.5\), 2.5}, {\(-2\), 6*Pi + 1}}, \ 
\ \ \ \ 
        DisplayFunction\  -> \ Identity]\)Clear[slikaF, slika]\(slikaF[0] = 
      CartesianMap[Exp, {10, 2}, {0, 0.00000001}, 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Lines -> {8, 2}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        Ticks\  -> \ {{0, \ 1, \ E, \ E^2}, \ {}}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        PlotRange -> {{\(-E^2\) - 1, E^2 + 1}, {\(-E^2\) - 1, E^2 + 1}}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AspectRatio\  -> \ 1, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DisplayFunction\  -> \ Identity, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        AxesLabel\  -> \ {"Re", \ "Im"}]; \ 

    slikaF[i_] := 
      CartesianMap[Exp, {0, 2}, {0, i*Pi/6}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        Lines -> {8, i + 1}, \ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        Ticks\  -> \ {{0, \ 1, \ E, \ E^2}, \ {}}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        PlotRange -> {{\(-E^2\) - 1, E^2 + 1}, {\(-E^2\) - 1, E^2 + 1}}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AspectRatio\  -> \ 1, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DisplayFunction\  -> \ Identity, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        AxesLabel\  -> \ {"Re", \ "Im"}]; \ 

    slika[0]\ \  = slikaF[0]; 

    slika[i_] := {Insert[slikaF[i], Hue[ .3], {1, 1}]}\  /; \ i < 13\)slika[i_] := 
      Join[slika[12], {Insert[slikaF[i - 12], Hue[ .6], {1, 1}]}] /; 
        12 < i < 25slika[i_] := 
      Join[slika[24], {Insert[slikaF[i - 24], Hue[ .9], {1, 1}]}] /; 
        24 < i\(sl[0]\  = 
      ParametricPlot3D[{0, 0, 0}, \ 
\ \ \ \ \ \ \ \ {x, \ 0, \ 2}, 
        \ {y, \ 0, \ \((6*Pi)\)/6}, \ 
\ \ \ \ \ \ \ \ 
        PlotRange\  -> \ {{\(-8\), \ 8}, \ {\(-8\), \ 8}, \ {0, \ 5}}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ PlotPoints\  -> \ {8, \ 7}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ 
        DisplayFunction -> Identity]; 

    sl[i_] := 
\ \ \ \ 
      ParametricPlot3D[{E^x*Cos[y], E^x*Sin[y], \((Sqrt[x]*y)\)/5}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ {x, \ 0, \ 2}, \ {y, \ 0, \ \((i*Pi)\)/6}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ 
        PlotRange\  -> \ {{\(-8\), \ 8}, \ {\(-8\), \ 8}, \ {0, \ 5}}, \ 

        \ \ \ \ \ \ \ \ PlotPoints\  -> \ {8, \ 1\  + \ i}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ 
        DisplayFunction -> Identity]\)

Animacija sljedece serije slika (⌘Y) prikazuje kako (kompleksna) eksponencijalna funkcija f(z) = (e^z) namata dio prvog kvadranta [0, 2]×[0, 6  π]na kruzni vijenac radiusa 1 i (e^(2  )), dakle citav prvi kvadrant na dio ravnine izvan kruga radiusa 1. Drugi kvadrant namata se na krug radiusa 1 bez ishodista .  Analogno se namataju cetvrti i treci kvadrant, samo u negativnom smjeru .

\(\(Table[
      Show[GraphicsArray[{grid[i], 
			\ \ \ \ 
            Show[slika[i], DisplayFunction -> Identity]}, 
          ImageSize -> {613, 180}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ 	
        DisplayFunction -> $DisplayFunction], 

      	\ \ \ \ \ \ \ \ \ {i, 0, 36}]; \)\)

Animacija sljedecih slika ilustrira istu stvar trodimenzionalno, tj. `slojevi' su razmaknuti.

Table[
      Show[GraphicsArray[{grid[i], sl[i]}, ImageSize -> {613, 180}]], {i, 0, 
        36}];

Napomena: Ove animacije zahtijevaju relativno mnogo memorije, pa da bi se mogle obje prikazati treba FrontEndu odnosno MathReaderu staviti na raspolaganje barem 12-15 MB.