Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 3. razred (TP-9)

08.04.2003.

Riješavajte zadatke iz knjige A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepčević: Matematička natjecanja učenika srednjih škola (MMB7).^{1} Zadaci su na ovom papiru poredani po godinama i državama, pa možete sami probati riješiti u 4 sata 4 zadatka^{2}.

SRETAN USKRS!

1. (Hrvatska, ′02) U trokutu ABC kutovi α = ∠BAC i β = ∠CBA su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama \overline{AC} i \overline{BC}, kao bazama, konstruirani su jednakokračni trokuti ACD i BCE s vršnim kutovima ∠ADC = β, odnosno ∠BEC = α. Neka je O središte kružnice opisane trokutu ABC. Dokažite da je |DO| + |EO| jednako opsegu trokuta ABC ako i samo ako je ∠ACB pravi.

2. (Hrvatska, ′02) Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja 2.

3. (Hrvatska, ′02) Na dijagonalama \overline{AB_{1}} i \overline{CA_{1}} bočnih strana ABB_{1}A_{1} i CAA_{1}C_{1} trostrane prizme ABCA_{1}B_{1}C_{1} dane su točke E i F takve da je EF ∥BC_{1}. Nadite omjer duljina dužina \overline{EF} i \overline{BC_{1}}.

4. (Hrvatska, ′02) Na otoku živi n domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja). Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći ⌊\frac{n^{2}}{4} ⌋ različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.

5. (Hrvatska, ′01) U ravnini su dane dvije različite točke O i P. Odaberimo paralelogram ABCD kojemu je točka O središte. Označimo s M i N redom polovišta dužina \overline{AP} i \overline{BP}. Točka Q je presjek dužina \overline{MC} i \overline{ND}. Dokažite da točke O, Q i P leže na istom pravcu i da točka Q ne ovisi o izboru paralelograma ABCD.

6. (Hrvatska, ′01) Dan je trokut ABC takav da je |AC| ≠ |BC|. Neka je M polovište stranice \overline{AB}, α = ∠BAC, β = ∠ABC, φ = ∠ACM, ψ = ∠BCM. Dokažite da je \frac{sin α sin β}{sin(α−β)} = \frac{sin φ sin ψ}{sin(φ−ψ)} .

7. (Hrvatska, ′01) Na ploči su napisani brojevi 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, …, \frac{1}{2001}. Učenik odabire dva broja s ploče, recimo x i y, te izračuna broj x + y + xy, rezultat zapiše na ploču, a x i y obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi 2000 puta.

8. (Hrvatska,′01) Skup S sadrži 100 prirodnih brojeva, od kojih je svaki manji od 200. Pokažite da postoji neprazan podskup T od S takav da je produkt brojeva iz T potpuni kvadrat.

9. (Hrvatska, ′92) Brojevi 1, 2, 7 imaju svojstvo 1 · 2 + 2 = 2^{2}, 1 · 7 + 2 = 3^{2}, 2 · 7 + 2 = 4^{2}. Dokažite da ne postoje četiri različita prirodna broja sa svojstvom da je produkt svaka dva medu njima uvećan za 2 jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

10. (Hrvatska, ′92) Neka su z i w kompleksni brojevi takvi da vrijedi |z| = |w| = |z − w|. Izračunajte (\frac{z}{w} )^{1992}.

11. (Hrvatska, ′92) Dva sukladna pravokutnika postavljena su tako da se njihovi rubovi sijeku u 8 točaka. Dokažite da je površina njihovog presjeka veća od polovine površine svakog od njih.

12. (Hrvatska, ′92) Defektna d × d šahovska ploča je d × d šahovska ploča s uklonjenim jednim kvadratićem (bilo kojim). Dokažite da se svaka defektna 2^{n} × 2^{n}, n ∈ ℕ šahovska ploča može pokriti trionimima, figurama od tri polja u obliku slova L.

13. (BiH, ′02) Prirodni brojevi a i b su takvi da je \frac{a+1}{b} + \frac{b+1}{a} cijeli broj. Pokazati da je najveći zajednički djelitelj brojeva a i b manji ili jednak \sqrt{a + b}.

14. (BiH, ′02) Neka su a_{1}, …, a_{n},b_{1}, …, b_{n},c_{1}, …, c_{n} pozitivni realni brojevi. Dokazati da vrijedi nejednakost (∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}c_{i})^{3} ≤ (∑_{i=1}^{n} a_{i}^{3})(∑_{i=1}^{n} b_{i}^{3})(∑_{i=1}^{n} c_{i}^{3})

15. (BiH, ′02) Neka je r radijus upisane kružnice trokuta △ABC, r_{A} je radijus kružnice koja dodiruje stranice \overline{AB} i \overline{AC} trokuta i upisanu kružnicu izvana, r_{B} i r_{C} definiramo analogno. Dokazati da vrijedi nejednakost r_{A} + r_{B} + r_{C} ≥ r, pri čemu jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut jednakostraničan.

1Imate na kraju knjige popis tako da znate koji zadaci su bili za 3. razred.

2Izbačeni su glupi ili zadaci koje smo već riješavali.

16. (BiH, ′02) Neka je P točka u unutrašnjosti pravokutnog trokuta △ABC sa pravim kutom kod C, takva da je |AP | = |AC|. Neka je M polovište hipotenuze \overline{AB}, a H nožište visine \overline{CH}. Dokazati da je P M simetrala kuta ∠BP H ako i samo ako je ∠CAB = 60^{∘}.

17. (BiH, ′01) Zbroj tri cijela broja x, y, z je 0. Dokazati da je 2x^{4} + 2y^{4} + 2z^{4} kvadrat nekog cijelog broja.

18. (BiH, ′01) Neka je (a_{n})_{n∈ℕ} niz prirodnih brojeva zadan sa: a_{1} = 200, a_{2} = 1 i za svaki n ∈ ℕ vrijedi da je a_{n+2} ostatak pri dijeljenju zbroja a_{n} + a_{n+1} sa 102. Odredite ostatak pri dijeljenju broja a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + ⋯ + a_{2001}^{3} sa 9.

19. (BiH, ′01) Tangente u točkama B i C opisane kružnice šiljastokutnog trokuta ABC sijeku se u točki T. Pravac AT siječe stranicu \overline{BC} u točki P, a Q je polovište dužine \overline{AP}.

a) Dokazati da je ctg(∡ABQ) = \frac{a^{2}+b^{2}+3c^{2}}{2ab sin γ}, gdje su a, b, c redom duljine stranica \overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}, a γ unutrašnji kut trokuta ABC kod vrha C.

b) Odrediti sve trokute ABC za koje je kut ∠ABQ maksimalan, a zatim izračunati omjer a : b : c za svaki od tih trokuta.

20. (BiH, ′00) Dokažite da za svaki realni broj x vrijedi nejednakost cos 3x + 4 cos 2x + 8 cos x + 5 ≥ 0.

21. (BiH, ′00) Dana su dva broja p i q, veća od 1. Na stranicama \overline{BC} i \overline{DC} pravokutnika ABCD izabrane su točke P i Q takve da je |BC| = p · |BP | i |DC| = q · |DQ|. Za koju će vrijednost količnika \frac{|AB|}{|AD|} kut ∠P AQ biti najveći?

22. (BiH, ′00) Na šahovskom turniru je sudjelovalo dva puta više majstora nego velemajstora. Svaka dva natjecatelja odigrala su po jednu partiju i nijedna partija nije završila neriješeno. Odnos broja pobjeda velemajstora prema broju pobjeda majstora jednak je \frac{7}{5}. Koliko je šahista sudjelovalo na turniru?

23. (BiH, ′00) Neka funkcija f : ℝ → ℝ zadovoljava jednadžbu f(xf(x) + f(y)) = (f(x))^{2} + y, (x, y ∈ ℝ). a) Dokazati da je f bijekcija.

b) Naći sve funkcije koje zadovoljavaju gornju jednadžbu.

24. (Slovenija, ′98) Dokažite da je broj \frac{a^{5}}{5} + \frac{a^{3}}{3} + \frac{7a}{15} cijeli broj za svaki a ∈ ℤ.

25. (Slo, ′98) Odredite sve polinome p s realnim koeficijentima takve da je (x−8)p(2x) = 8(x−1)p(x) za svaki x ∈ ℝ.

26. (Slo, ′98) U pravokutniku ABCD je |AB| > |AD|. Kružnica sa središtem B i radijusom |AB| siječe pravac DC u točkama E i F.

a) Dokažite da opisana kružnica trokuta EBF dira kružnicu s promjerom \overline{AD}.

b) Neka je diralište točka G. Dokažite da su točke D, G i B kolinearne.

27. (BiH, ′99) Ako je log \frac{a−b}{2} = \frac{1}{2}(log a + log b − log 2), gdje su a i b katete pravokutnog trokuta, odredite kutove △.

28. (BiH, ′99) Neka je a prirodan broj, a S = a+a^{2} +⋯+a^{n}, gdje je n prirodan broj. Dokazati da je S ≡ 1(mod 10) ako i samo ako je a ≡ 1(mod 10) i n ≡ 1(mod 10).

29. (BiH, ′99) Svaka dijagonala konveksnog peterokuta odsijeca od njega trokut jedinične površine. Izračunati površinu tog peterokuta.

30. (Srbija) Ako je 1 < x < y < z, dokazati da je log_{x}(log_{x} y) + log_{y}(log_{y} z) + log_{z}(log_{z} x) > 0.

31. (Srbija, ′97) Is there a positive integer n such that set {n, n + 1, ..., n + 1997} can be represented as union of disjoint sets A_{1},A_{2},…,A_{k}, where k ≥ 2 and multiplies of numbers in all sets are equal.

32. (Srbija, ′97) Polynomial P (x) = x^{6} − 2x^{5} + x^{4} − 2x^{3} + x^{2} − 2x + 1 is given. Prove that exactly four roots of P have moduls equal to 1.

33. (Srbija, ′97) Tetrahedron ABCD is given. Denote volume of ABCD with V. A_{1}, B_{1}, C_{1} are points on edges AD, BD, CD respectively such that barycenter of tetrahedron belongs to plane A_{1}B_{1}C_{1}. Denote volumes of AA_{1}B_{1}C_{1}, BA_{1}B_{1}C_{1}, CA_{1}B_{1}C_{1} with V_{1}, V_{2}, V_{3} respectively. Find minimal value of V_{1} + V_{2} + V_{3}.

34. (Srbija, ′97) Five jars are numbered with 0,1,2,3,4. Jar denoted with 0 is empty and all other contain some number of coins. Jar denoted with i contains R_{i} coins. Two persons are playing a game. They are alternating turns. In each turn a person moves arbitar number of coins (at least one) from any jar into a jar denoted with a smaller number. Person A takes the first turn. Player after whom all the coins are in jar denoted with 0 is the winner. Who has the winning strategy?

35. (Rumunjska) Odredite f : ℕ → ℕ tako da je f(f(n)) + f(n) = 2n + 6, ∀n ∈ ℕ.

36. (Rumunjska) Riješite jednadžbu ⌊\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}⌋ = ⌊\sqrt{4x + 1}⌋.