Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 2. razred (TP-7)

26.03.2002.

Rješavajte zadatke iz knjige A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepčević: Matematička natjecanja učenika srednjih škola (MMB7).^{1} Zadaci su na ovom papiru poredani po godinama i državama, pa možete sami probati riješiti u 4 sata 4 zadatka^{2}.

SRETAN USKRS!

1. (Hrvatska, ′00) Neka je a pozitivan realan broj, a x_{1}, x_{2}, x_{3} realni brojevi takvi da je x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0. Dokažite nejednakost log_{2}(1 + a^{x_{1}}) + log_{2}(1 + a^{x_{2}}) + log_{2}(1 + a^{x_{3}}) ≥ 3.

2. (Hrvatska, ′00) Nad stranicama \overline{AC} i \overline{BC} šiljastokutnog trokuta ABC s vanjske strane konstruirani su kvadrati ACXE i CBDY. Dokažite da se pravci AD i BE sijeku na visini iz vrha C trokuta ABC.

3. (Hrvatska, ′00) Neka su j i k prirodni brojevi. Dokažite da nejednakost ⌊(j + k)α⌋ + ⌊(j + k)β⌋ ≥ ⌊jα⌋ + ⌊jβ⌋ + ⌊k(α + β)⌋ vrijedi za sve realne brojeve α i β ako i samo ako je j = k.

4. (Hrvatska, ′00) U unutrašnjosti kvadrata ABCD stranice duljine 20, dane su točke T_{i}, i = 1, 2, …, 2000, tako da nikoje tri točke u skupu S = {A, B, C, D} ∪ {T_{i} : i = 1, 2, …, 2000} nisu kolinearne. Dokažite da postoji barem jedan trokut, s vrhovima u skupu S, površine manje od \frac{1}{10}.

5. (Hrvatska, ′01) Neka je z kompleksan broj različit od nule, koji zadovoljava jednakost z^{8} = \overline{z}. Koje vrijednosti može poprimiti broj z^{2001}?

6. (Hrvatska, ′01) Kružnica sa središtem O dira stranicu \overline{BC} i produžetke stranica \overline{AB} i \overline{AC} trokuta ABC redom u točkama K, P i Q. Dužine \overline{OB} i \overline{OC} sijeku spojnicu \overline{P Q} redom u M i N. Dokažite da je \frac{|QN|}{|AB|} = \frac{|MN|}{|BC|} = \frac{|MP |}{|CA|}.

7. (Hrvatska, ′01) Neka je N prirodan broj. Dano je N trojki cijelih brojeva r_{j}, s_{j}, t_{j}, za 1 ≤ j ≤ N, takvih da je barem jedan od njih neparan. Pokažite da postoje cijeli brojevi a, b, c takvi da je ar_{j} + bs_{j} + ct_{j} neparan za barem \frac{4N}{7} različitih indeksa j.

8. (Hrvatska, ′01) Neka je P poligon u koordinatnom sustavu u ravnini čija je površina veća od 1. Dokažite da postoje dvije različite točke (x_{1}, y_{1}) i (x_{2}, y_{2}) poligona P takve da su x_{1} − x_{2} i y_{1} − y_{2} cijeli brojevi.

9. (BiH, ′97) Dan je trokut ABC. Neka je D točka na polupravcu BA tako da je |BD| = |BA| + |AC| i neka su K i M točke na polupravcima BA i BC, respektivno, takve da je površina △BCK jednaka površini trokuta △BDM. Naći ∠BKM ako je ∠BAC = α.

10. (BiH, ′97) Dana je nejednadžba \sqrt{a + x} − \sqrt{\frac{a^{2}}{a+x}} < \sqrt{2a + x}, (a je realan parametar).

a) Odredite područje definicije dane nejednadžbe.

b) Riješite danu nejednadžbu za razne vrijednosti parametra a.

11. (BiH, ′97) Neka su a, b, c realni brojevi takvi da su a i 8a + 5b + 2c istog predznaka. Dokazati da tada jednadžba ax^{2} + bx + c = 0, (a ≠ 0), ne može imati oba korijena u intervalu ⟨1, 4⟩.

12. (BiH, ′97) Za prirodan broj n kaže se da je razloživ ako postoje prirodni brojevi a, b, x, y za koje vrijede relacije a + b = n, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. Naći skup svih razloživih brojeva.

13. (BiH, ′98) Naći maksimalnu vrijednost izraza ^{\frac{x^{2}+y^{2}−\sqrt{x^{4}+y^{4}}}{xy}}, (x > 0, y > 0).

14. (BiH, ′98) Funkcija f : ℕ → ℕ zadovoljava uvjete:

(1) f(x · y) = f(x) + f(y) − 1 za sve x, y ∈ ℕ;

(2) Postoji samo konačno mnogo prirodnih brojeva x takvih da je f(x) = 1;

(3) f(30) = 4. Odredite vrijednost f(10800).

15. (BiH, ′98) U pravokutnom trokutu ABC s hipotenuzom |AB| = c, konstruirana je kružnica sa promjerom \overline{CD}, pri čemu je \overline{CD} visina △ABC. Tangente te kružnice koje prolaze točkama A i B diraju kružnicu u točkama M i N i sijeku se u točki K. Naći |MK|.

1Imate na kraju knjige popis tako da znate koji zadaci su bili za 2. razred.

2Izbačeni su glupi ili zadaci koje smo već riješavali.

16. (BiH, ′98) Dokazati da za bilo koje realne brojeve p i q zbroj duljina intervala osi x, na kojima vrijedi nejednakost |x^{2} + px + q| ≤ 2 ne prelazi 4.

17. (BiH, ′99) Riješiti jednadžbu \sqrt{12 − \frac{12}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} − \frac{12}{x^{2}}} = x^{2}.

18. (BiH, ′99) Naći najveću vrijednost razlike x − y ako je 2x^{2} + 2y^{2} = x + y, pri čemu su x i y realni brojevi.

19. (BiH, ′99) Neka je \overline{MN} promjer kružnice opisane oko trokuta ABC koji je okomit na stranicu \overline{AB}. Neka su P i Q projekcije točaka M i N na pravac AC. Dokazati da je |P Q| = |BC|.

20. (BiH, ′99) Gomila dokumenata podijeljena je na n dijelova i dana na čuvanje kod n osoba, od kojih svaka ima telefon. Dokazati da je za n ≥ 4, dovoljno 2n − 4 telefonskih razgovora da bi po njihovom završetku svih n osoba bilo upoznato sa sadržajem svih dokumenata.

21. (BiH, ′00) Neka su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe x^{2} +(1−2m)x+3m−5 = 0, gdje je m realan parametar. a) Odrediti parametar m tako da je x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 17.

b) Naći vezu izmedu rješenja ove jednadžbe koja ne ovisi o parametru m.

c) Dokazati da izraz w = \frac{x_{1}^{2}}{1−x_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{1−x_{2}} ne može primiti ni jednu vrijednost iz intervala ⟨−9 − 2\sqrt{6}, −9 + 2\sqrt{6}⟩.

22. (BiH, ′00) Dva velemajstora su poslije odigranog kola svratili u kafić. Izmedu njih se vodio ovakav razgovor: -Tri osmine turnira su već za nama,- kaže prvi. -Da,- odgovori drugi.- A sudionika je svake godine sve više. Pomisli samo, već je odigrano toliko partija koliko je prošle godine odigrano tijekom cijelog turnira. -Ako se tako nastavi,- nastavlja prvi,- za nekoliko godina na turniru će igrati 30 ljudi. Koliko šahista sudjeluje na turniru?

23. (BiH, ′00) Dijagonale \overline{AC} i \overline{CE} pravilnog šesterokuta ABCDEF podijeljene su točkama M i N tako da je |AM| : |AC| = |CN| : |CE| = λ. Odrediti λ tako da su točke B, M i N kolinearne.

24. (BiH, ′00) Riješiti sustav jednadžbi

⌊\frac{2x + 3}{3}⌋ = \frac{4y − 3}{2}, ⌊\frac{3y − 1}{3}⌋ = \frac{6x + 5}{6}.

25. (BiH, ′01) Riješiti nejednadžbu \sqrt{a − x} + \sqrt{a + x} > a (u skupu ℝ) za sve vrijednosti realnog parametra a.

26. (BiH, ′01) Visina iz vrha A trokuta ABC presijeca stranicu \overline{BC} u točki D. Kružnica koja dodiruje stranicu \overline{BC} u točki D, presijeca stranicu \overline{AB} u točkama M i N, a stranicu \overline{AC} u točkama P i Q. Dokazati da vrijedi jednakost \frac{|AM|+|AN|}{|AC|} = \frac{|AP |+|AQ|}{|AB|}.

27. (BiH, ′01) Naći sve cijele brojeve x, y, z koji zadovoljavaju sljedeći sustav jednadžbi: x^{3} +y^{3} +z^{3} = x+y +z = 3.

28. (BiH, ′01) U ravnini sa Kartezijevim pravokutnim koordinatnim sustavom je dan paralelogram čiji su vrhovi točke sa cjelobrojnim koordinatama i koji ne sadrži (ni u svojoj unutrašnjosti) nijednu drugu točku sa cijelim koordinatama. Dokazati da je mjerni broj površine danog paralelograma jednak 1.

29. (Srbija, ′80) Odrediti sve cijele brojeve x tako da x^{2} + 3x + 24 bude potpuni kvadrat.

30. (Srbija, ′80) U dani romb ABCD upisana je kružnica. Neka tangenta te kružnice siječe stranice BC i CD u točkama M i N. Dokazati da je površina △AMN stalna.

31. (Srbija, ′80) Stranica kvadrata K ima duljinu 7. Može li se taj kvadrat pokriti sa 8 kvadrata čije stranice imaju duljinu 3,

a) uz uvjet da su stranice tih kvadrata paralelne odgovarajućim stranicama kvadrata K,

b) bez tog uvjeta?

32. (Srbija, ′80) Za prirodne brojeve a_{1}, a_{2}, …, a_{19}; b_{1}, b_{2}, …, b_{21} vrijedi 1 ≤ a_{1} < a_{2} < … < a_{19} < 200, 1 ≤ b_{1} < b_{2} < … < b_{21} ≤ 200.^{3} Dokazati da postoje četiri od tih brojeva a_{i}, a_{j}, b_{p}, b_{q}, pri čemu je a_{i} < a_{j}, b_{p} < b_{q} tako da važi a_{j} − a_{i} = b_{q} − b_{p}.

33. (Srbija, ′82) Odrediti skup S s najmanjim brojem elemenata koji zadovoljava sljedeća svojstva: a) S ⊂ {0, 1, 2, 3, …};

b) 1981 ∈ S;

c) x, y, z ∈ S ⇒ ostatak pri dijeljenju broja x + y + z sa 1982 takoder pripada S.

3U originalu je pisalo a_{19} ≤ 200. Pokažite da tvrdnja zadatka tada ne mora vrijediti.

34. (Srbija, ′82) Kroz ortocentar trokuta ABC konstruiran je pravac. Dokazati da se pravci njemu simetrični u odnosu na stranice trokuta sijeku na kružnici opisanoj oko trokuta ABC.

35. (Srbija, ′82) Dano je k prirodnih brojeva a_{1} < a_{2} < … < a_{k} ≤ n, k > \frac{n+1}{2}. Dokazati da postoje i, r takvi da je a_{i} + a_{1} = a_{r}.

36. (Srbija, ′82) Odrediti realne brojeve a i b tako da je za proizvoljna dva realna broja u i v:

max_{0≤x≤1} |x^{2} − ux − v| ≥ max_{0≤x≤1} |x^{2} − ax − b|.

37. (Slovenija, ′98) Odredite sve prirodne brojeve n koji su jednaki zbroju znamenaka broja n^{2}.

38. (Slovenija, ′98) Odredite sve parove (p, q) realnih brojeva tako da je p + q = 1998 i da jednadžba x^{2} + px + q = 0 ima samo cjelobrojna rješenja.

39. (Slovenija, ′98) Dana je kružnica K s centrom O i dana je točka A izvan kružnice. Pravac AO siječe kružnicu K u B i C, a tangenta kroz A dira kružnicu u D. Izabrana je proizvoljna točka E na pravcu BD tako da D leži izmedu B i E. Kružnica opisana △DCE siječe pravac AO u C i F, a pravac AD u D i G. Dokažite da su pravci BD i F G paralelni.

40. (Slovenija, ′98) Proučimo igru za dva igrača. Na početku je dana hrpa od barem dva kamena. Igrač koji je na redu odabire jednu od hrpa i dijeli je na dvije ili tri nove hrpe sa barem jednim kamenom u svakoj. Igrač koji ne može podijeliti nijednu hrpu gubi. Tko će pobijediti ako su oba igrača pametni^{4}?

41. (Rumunjska, ′95, 9.r.) Neka je n prirodan broj, a f(n) broj kvadrata u segmentu [n^{2}, 2n^{2}]. Pokaži da je f ne-padajuća i surjektivna funkcija.

42. (Rumunjska, ′95, 9.r.) Neka je ∠XOY kut mjere α ∈ ⟨0, π/2⟩. Neka je M varijabilna točka na OY i: N ∈ OX takva da je MN ⊥ OX, P ∈ OY takva da je NP ⊥ OM, Q polovište od \overline{ON}, S sjecište NP i MQ i T ∈ OX takva da je ST ⊥ OX.

a) Odredi geometrijsko mjesto točke S;

b) Pokaži da je |SP | = |ST | ako i samo ako je cos 2α + 2 cos α = 1.

43. (Rumunjska, ′95, 9.r.) Through the vertex C of triangle ABC one considers two half-lines: CX parallel to AB and CY parallel to the bisector of ∠BAC, both lying in the half-plane bounded by AC that contains the point B. A variable line passing through B intersects BC in F. Show that EF passes through a fixed point.

44. (Rumunjska, ′95, 9.r.) a) Neka su f_{1}(x) = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} i f_{2}(x) = a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2} dvije kvadratne funkcije za koje je a_{1} · a_{2} < 0. Dokaži da ako se grafovi funkcija ne sijeku, postoje pravci koji ih razdvajaju^{5}.

b) Ako je f_{1}(x) = x^{2} + \frac{25}{4} i f_{2}(x) = −x^{2} + x, nadite sve pravce sa gornjim svojstvom.

45. (Rumunjska, T argoviste, ′95, junior level) Odredi sve prirodne brojeve m, n, k tako da je 2^{m} + 3^{n} = k^{2}.

46. (kao u zad. 45.) Točke (A_{i})_{1≤i≤n} i (B_{j})_{1≤j≤m} dane su u ravnini tako da je |A_{i}B_{j}| = \sqrt{i + j}. Pokaži da točke A_{i} leže na pravcu a, točke B_{j} leže na pravcu b i a ⊥ b.

47. (kao u zad. 45.) Dan je pravac d u prostoru i dvije fiksne točke A i B na d. Odredite geometrijsko mjesto točaka u kojima se diraju dvije varijabilne sfere, čiji je omjer radijusa konstanta k, pri čemu te sfere diraju d u točkama A i B respektivno.

48. (Bjelorusija^{6},′98) Dokažite da je (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{12}^{2})a_{1}^{2}a_{2}^{2} … a_{12}^{2} djeljiv sa 12 za sve prirodne brojeve a_{1}, a_{2}, …, a_{12}.

49. (Bjelorusija, ′98) U jednakokračnom trokutu ABC (|AC| = |BC|) odredene su točke K i L na \overline{AB} takve da je ∠KCL ≤ \frac{1}{2}∠ACB. Dokažite da je |KL| ≤ \frac{1}{2}|AB|.

50. (Bjelorusija, ′98) Neka je S kružnica upisana trokutu ABC koja dira AB u točki K. S dijeli \overline{CK} na dva jednaka dijela. Dokažite da ako je △ABC jednakokračan, onda mu je jedna stranica jedan i pol puta veća od druge.

51. (Bjelorusija, ′98) Neka je f(x, y, z) = 2x^{2} + 2y^{2} − 2z^{2} + \frac{7}{xy} + \frac{1}{z}. Izračunajte realan broj n ako je n = f(a, b, c) = f(b, c, a) = f(c, a, b) za neke u parovima različite realne brojeve a, b i c.

4Naravno, zanemarimo to da igraju glupu igru.

5tj. da postoji pravac koji dijeli ravninu na dva dijela tako da je graf svake funkcije potpuno sadržan u pripadnoj poluravnini 6Ovo su zapravo zadaci sa natjecanja u Minsku, a ne sa bjeloruskog državnog natjecanja.