Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 2. razred (TP-6)

17.01.2002.

Zadaci za grupu A. (△4.4.139) Neka je točka T težište trokuta ABC. Ako je |AB| + |T C| = |AC| + |T B|, dokazati da je △ABC jednakokračan. B. (EM1 − 378) Pokažite da je

∑_{k=9}^{n} \frac{1}{(log_{2} 3)(log_{2} 4) … (log_{2} k)} < ∑_{k=9}^{n} \frac{1}{k^{2}}

za sve n ≥ 9. C. (V e6.74) Iz središta pravilnog 25-terokuta povučeni su vektori do svih njegovih vrhova. Koliko je vektora medu njima potrebno odabrati, da bi njihov zbroj imao najveću duljinu? D. (EM15−7.9) Zadano je 50 različitih pozitivnih brojeva a_{1}, a_{2},…, a_{50}. Kako ih treba prenumerirati da bi vrijednost izraza |a_{1} − a_{2}| + |a_{2} − a_{3}| + ⋯ + |a_{50} − a_{1}| bila najveća? X. Dano je n točaka A_{1}, A_{2},…, A_{n} u ravnini. Dokazati da polovišta svih dužina \overline{A_{i}A_{j}}, i ≠ j, odreduju bar 2n − 3 različite točaka.

Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 2. razred (TP-6)

17.01.2002.

Zadaci za grupu A. (△4.4.139) Neka je točka T težište trokuta ABC. Ako je |AB| + |T C| = |AC| + |T B|, dokazati da je △ABC jednakokračan. B. (EM1 − 378) Pokažite da je

∑_{k=9}^{n} \frac{1}{(log_{2} 3)(log_{2} 4) … (log_{2} k)} < ∑_{k=9}^{n} \frac{1}{k^{2}}

za sve n ≥ 9. C. (V e6.74) Iz središta pravilnog 25-terokuta povučeni su vektori do svih njegovih vrhova. Koliko je vektora medu njima potrebno odabrati, da bi njihov zbroj imao najveću duljinu? D. (EM15−7.9) Zadano je 50 različitih pozitivnih brojeva a_{1}, a_{2},…, a_{50}. Kako ih treba prenumerirati da bi vrijednost izraza |a_{1} − a_{2}| + |a_{2} − a_{3}| + ⋯ + |a_{50} − a_{1}| bila najveća? X. Dano je n točaka A_{1}, A_{2},…, A_{n} u ravnini. Dokazati da polovišta svih dužina \overline{A_{i}A_{j}}, i ≠ j, odreduju bar 2n − 3 različite točaka.

Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 2. razred (TP-6)

17.01.2002.

Zadaci za grupu A. (△4.4.139) Neka je točka T težište trokuta ABC. Ako je |AB| + |T C| = |AC| + |T B|, dokazati da je △ABC jednakokračan. B. (EM1 − 378) Pokažite da je

∑_{k=9}^{n} \frac{1}{(log_{2} 3)(log_{2} 4) … (log_{2} k)} < ∑_{k=9}^{n} \frac{1}{k^{2}}

za sve n ≥ 9. C. (V e6.74) Iz središta pravilnog 25-terokuta povučeni su vektori do svih njegovih vrhova. Koliko je vektora medu njima potrebno odabrati, da bi njihov zbroj imao najveću duljinu? D. (EM15−7.9) Zadano je 50 različitih pozitivnih brojeva a_{1}, a_{2},…, a_{50}. Kako ih treba prenumerirati da bi vrijednost izraza |a_{1} − a_{2}| + |a_{2} − a_{3}| + ⋯ + |a_{50} − a_{1}| bila najveća? X. Dano je n točaka A_{1}, A_{2},…, A_{n} u ravnini. Dokazati da polovišta svih dužina \overline{A_{i}A_{j}}, i ≠ j, odreduju bar 2n − 3 različite točaka.