   HINTOVI I RJEŠENJA

1. Svojstva srednjice trokuta. 2. r = 2 (radijus upisane kružnice) 3. P, Q, R polovišta od \overline{KM}, \overline{LN}, \overline{AD} redom; KLMR paralelogram, R, P, L kolinearne; \overline{NR} srednjica u △ADE, a \overline{P Q} srednjica u △LNR. 4. Pretp. suprotno, npr. a < v_{a} i b < v_{b}, imamo v_{a} > a ≥ v_{b} > b ≥ v_{a} ⇒ v_{a} > v_{a}, ali to je ⇒⇐ 5. △ABC dopunimo do paralelograma ABDC. Promatrajte polovišta od \overline{AB} i \overline{BD} te točku C. Omjer površina je 3 : 4. 6. S je središte trokutu opisane kružnice, a C_{0} je polovište od \overline{AB}; |SC_{0}| = \frac{1}{2}|CH| = \frac{1}{2}|AB| = |AC_{0}| (udaljenost ortocentra od vrha trokuta jednaka je dvostrukoj udaljenosti središta opisane kružnice od nasuprotne stranice); ∠BCA = \frac{1}{2}∠ASB = ∠ASC_{0} = \frac{π}{4} . 7. △ABC dani trokut; K, L, M redom dirališta upisane kružnice sa centrom S i stranica \overline{AB}, \overline{BC} i \overline{CA}; AKSM tetivni četverokut, pa je ∠MSK < 180^{∘}, ∠MLK = \frac{1}{2}∠MSK < 90^{∘}; slično za ostale kuteve. 8.Ako je T = A ili T = B jednakost očito vrijedi. Ako je T ≠ A, B, onda odredite P na \overline{CT} tako da je |P T | = |AT | i dokažite da je △AT B ≅ △AP C. 9. CD je simetrala ∠ACB i D ∈ \overline{AB}; \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{P (ADC)}{P (DBC)} = \frac{|AC|}{|BC|} (obrazloži!). Dokaži zadatak i primjenom Talesovog tm. o proporcionalnosti. 10. Neka je O sjecište

pravaca AP, BQ i CR. Tada je \frac{P (ARC)}{P (RBC)} = \frac{P (ARO)}{P (RBO)} = \frac{|AR|}{|RB|} ⇒ \frac{P (AOC)}{P (BOC)} = \frac{P (ARC)−P (ARO)}{P (RBC)−P (RBO)} = \frac{|AR|}{|RB|}, a slično dobivamo i da je

\frac{P (AOB)}{P (AOC)} = \frac{|BP |}{|P C|} i \frac{P (BOC)}{P (AOB)} = \frac{|CQ|}{|QA|}. Izmnožimo sve tri jednakosti i dobivamo QED (quod erat demonstrandum). 11. Ideja kao u prethodnom zad. Možete probati i pomoću Talesa tako da najprije povučete pravac paralelan sa p koji presijeca jednu stranu i prolazi jednim vrhom trokuta ABC. Onda gledate neke omjere... 12. Kružnica sa središtem A_{0} (polovište \overline{BC}) prolazi kroz B_{0} i C_{0} (nožišta visina iz B i C) prema Talesovom poučku, a usto je i ∠C_{0}A_{0}B_{0} = 2∠C_{0}CB_{0} = 2(90^{∘} − ∠CAB) = 60^{∘}.

13. neposredno iz Cevinog tm. 14. neka je G polovište \overline{BE}; F G ∥ DB ⇒ GF ⊥ CD; dakle F je ortocentar △CDG, pa je CF ⊥ DG ∥ AE. 15. a)\frac{bc}{a+b} b)\frac{b^{2}+c^{2}−a^{2}}{2c} c)\frac{b+c−a}{2} d)\frac{a+c−b}{2} e)\frac{c}{2} f)\frac{1}{2} \sqrt{2b^{2} + 2c^{2} − a^{2}} g)\frac{(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)}{4a^{2}}

16. Uputa: ∠P BA = ∠P A_{1}C_{1} = ∠P C_{2}B_{2} = ∠P B_{3}A_{3} 17. Uputa: promatraj težište. 18. Dokažite da točka osno simetrična H s obzirom na AB leži na kruznici opisanoj △ABC ili dokažite da su dani radijusi dva puta veći od radijusa kružnice 9 točaka trokuta ABC. 19. GMT je kružnica koja prolazi kroz A i B 20. U oba zad. promatrajte središta kružnica, točku P i polovišta dužina \overline{AP} i \overline{P B}; a) max. se dosiže za ∠S_{1}P A = ∠S_{2}P B (S_{1} i S_{2} su središta kružnica);

b) max. se postiže za AB ⊥ P Q. 21. Pokažite da je \frac{1}{d(B,AP)} + \frac{1}{d(C,AP)} konstantno za sve pravce p kroz P. Zato se max.

postiže za AP ⊥ BC. 22. \frac{|KL|}{|BC|} = \frac{v_{a}/2−r}{r} = \frac{v_{a}}{2r} − 1, pa je |KL| + |BC| = \frac{v_{a}|BC|}{2r} = \frac{P (ABC)}{r} = \frac{|AB|+|BC|+|CA|}{2}; dakle

|AI| + |BI| + |CI| > |BC| + |KL| ⇔ |AI| + |BI| + |CI| > \frac{|AB|+|BC|+|CA|}{2}, a to se lako dokaže upotrebom nejednakosti trokuta na △ABI, △BCI i △CAI. 23. tm. o cjelobrojnim korijenima; f(1) > 0, f(−1) = 1 24. uputa: prost broj ima točno 4 djelitelja 25. f(x) = 2x^{3} −x^{2} + \frac{1}{2}x− \frac{1}{4} 26. a) x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{3}, x_{3,4} = \frac{1}{2}(1±i\sqrt{3}); b) x_{1,2} = 1, x_{3} = −3, x_{4} = −\frac{1}{3}; c) x_{1,2} = 1, x_{3,4} = \frac{1}{2}(1 ± i\sqrt{3}), x_{5,6} = \frac{1}{2}(3 ± i\sqrt{5}); d) x_{1} = −1, x_{2,3,4} = \frac{1}{2}(1 + i\sqrt{3}), x_{5,6,7} = \frac{1}{2}(1 − i\sqrt{3}); e) x_{1} = −1, x_{2} = \frac{1}{3}, x_{3} = 3, x_{4,5} = ±i; 27. F (x) = f_{1}(x^{3}) + xf_{2}(x^{3}) = f_{1}(x^{3}) − f_{1}(1) + xf_{2}(x^{3}) − xf_{2}(1) + f_{1}(1) + xf_{2}(1); x^{3} − 1 = (x − 1)(x^{2} + x + 1) dijeli f_{i}(x^{3}) − f_{i}(1), pa je f_{1}(1) + xf_{2}(1) = 0, tj. f_{1}(1) = f_{2}(1) = 0. 29. −\frac{n}{2} 30. Je. 32. x^{3} + 5x^{2} + 8x + 3 33. indukcija! 35. x^{2} − x + 1 42. riješi po a pa faktoriziraj.