23. Dokažite da polinom f(x) = x^{n−1} + x^{n−2} + ⋯ + x + 1, gdje je n prost broj veći od 2, nema cjelobrojnih korijena.

24. Neka je f ∈ ℤ[x] i st f ≥ 5. Dokažite: ako f poprima za pet različitih vrijednosti istu vrijednost p, p je prost broj, onda f nema cjelobrojnih nultočaka.

25. Nadite polinom trećeg stupnja s vodećim koeficijentom 2 ako njegove nultočke zadovoljavaju jednakosti \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = 2, \frac{1}{x_{1}x_{2}} + \frac{1}{x_{1}x_{3}} + \frac{1}{x_{2}x_{3}} = 4, \frac{1}{x_{1}x_{2}x_{3}} = 8.

26. Riješite jednadžbe^{3}: a) 3x^{4} − 13x^{3} + 16x^{2} − 13x + 3 = 0 b) 3x^{4} + 4x^{3} − 14x^{2} + 4x + 3 = 0 c) x^{6} − 6x^{5} + 14x^{4} − 18x^{3} + 14x^{2} − 6x + 1 = 0 d) x^{7} − 2x^{6} + 3x^{5} − x^{4} − x^{3} + 3x^{2} − 2x + 1 = 0 e) 3x^{5} − 7x^{4} − 4x^{3} − 4x^{2} − 7x + 3 = 0.

27. Ako je polinom F (x) = f_{1}(x^{3}) + xf_{2}(x^{3}) djeljiv s x^{2} + x + 1, onda su polinomi f_{1} i f_{2} djeljivi s x − 1. Dokažite.

28. (EM1−370) Profesor je na papiru napisao polinom f(x) = x^{2}+10x+20 i taj papir dao studentima u predavaonici. Svaki student je ili umanjio za 1 ili povećao za 1 ili slobodni član ili koeficijent uz x (ali ne oba). Na kraju je na papiru ostao napisan polinom g(x) = x^{2} + 20x + 10. Da li je istina da je u nekom trenutku na papiru bio napisan polinom sa cjelobrojnim korijenima?

29. (EM1−373) Ako su ξ_{1}, …, ξ_{n} nultočke polinoma P (x) = x^{n}+x^{n−1}+⋯+x+1, izračunajte \frac{1}{ξ_{1}−1} + \frac{1}{ξ_{2}−1} +⋯+ \frac{1}{ξ_{n}−1} kao funkciju od n.

30. (EM1 − 375) Neka su x_{1}, x_{2}, x_{3} korijeni kubne jednadžbe x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 s cjelobrojnim koeficijentima a, b, c i neka je f(x) polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Da li je tada f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) cijeli broj? Dokažite svoje tvrdnje.

31. (EM1 − 377) Dokažite da za n ≥ 5 ne postoji polinom n-tog stupnja P_{n}(x) s cjelobrojnim koeficijentima koji je u n različitih cjelobrojnih točaka jednak n, a u nuli jednak 0. Da li za n = 4 postoji polinom s traženim svojstvom?

32. (EM1 − 380) Neka su x_{1}, x_{2}, x_{3} nultočke polinoma x^{3} + 5x^{2} + 7x + 11. Nadite polinom trećeg stupnja čije su nultočke y_{1}, y_{2}, y_{3}, gdje je y_{1} = \frac{x_{1}+x_{2}}{2} , y_{2} = \frac{x_{2}+x_{3}}{2} , y_{3} = \frac{x_{3}+x_{1}}{2} .

33. (EM1 − 384) Ako su x_{1} i x_{2} korijeni jednadžbe x^{2} − 6x + 1 = 0, tada je x_{1}^{n} + x_{2}^{n} cijeli broj ∀n ∈ ℤ. Dokažite!

34. (MMB7 − 2.11) Rastavite na linearne faktore (nad poljem ℂ) izraz (y − z)^{5} + (z − x)^{5} + (x − y)^{5}.

35. (MMB7 − 2.12) Polinom P (x) pri dijeljenju s (x − 1) daje ostatak 1, pri dijeljenju s (x − 2) ostatak 3, a pri dijeljenju s (x − 3) ostatak 7. Koliki se ostatak dobiva pri dijeljenju polinoma P (x) sa (x − 1)(x − 2)(x − 3)?

36. (MMB7 − 2.15) Nadite sve vrijednosti prirodnog broja n za koje je polinom (x + 1)^{n} − x^{n} − 1 djeljiv s x^{2} + x + 1.

37. (MMB7 − 2.20) Neka je P polinom s cjelobrojnim koeficijentima koji poprima vrijednost 5 za 4 različite cijele vrijednosti argumenta. Dokažite da P ne poprima vrijednost 8 ni za jednu cijelu vrijednost argumenta.

38. (MMB7 − 2.21) Neka je P polinom šestog stupnja i P (1) = P (−1), P (2) = P (−2), P (3) = P (−3). Dokažite da je P parna funkcija.^{4}

39. (MMB7 − 2.22) Nadite sve polinome P za koje je [P (x)]^{2} = P (x^{2}).

40. (MMB7 − 2.23) Odredite sve polinome P (x) za koje vrijedi: (x + 1)P (x) = (x − 2)P (x + 1).

41. (MMB7 − 2.26) Riješite jednadžbu (6x + 5)^{2}(3x + 2)(x + 1) = 35.

42. Riješite jednadžbu x^{4} − 2ax^{2} + x + a^{2} − a = 0 i diskutiraj u ovisnosti o a.

43. (MMB1 − 5.2)^{1} Polinom P (x) = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + 1 s nenegativnim koeficijentima a_{1}, …, a_{n−1} ima n realnih nultočaka. Dokazati da vrijedi P (2) ≥ 3^{n}.

44. (MMB1 − 5.4) Ako za polinome P, Q, R, S ∈ ℝ[x] vrijedi jednakost P (x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5}) = (x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1)S(x), dokazati da je polinom P djeljiv polinomom x − 1.

45. (MMB1 − 5.6) Dokazati da je polinom P s kompleksnim koeficijentima parna funkcija na skupu ℂ ako i samo ako postoji polinom Q ∈ ℂ[z] takav da vrijedi P (z) = Q(z)Q(−z), ∀z ∈ ℂ.

46. (△ − 1.4 − 219) Odrediti ako je moguće, cijele brojeve a_{1}, a_{2},…, a_{n} tako da se polinom f(x) = (x − a_{1})(x − a_{2}) … (x − a_{n}) + 1 može napisati kao umnožak dva nekonstantna polinoma.

3Ovo su primjeri simetričnih jednadžbi; simetrične jednadžbe parnog stupnja rješavaju se supstitucijom y = x+ \frac{1}{x}, a simetrične jednadžbe neparnog stupnja najprije se podijele sa (x + 1).

4Funkcija f je parna ako je f(x) = f(−x), ∀x, −x u domeni funkcije.

1Slijede malo teži zadaci.