Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 2. razred (TP-5)

6.11.2001.

Napomena: Zadatke koje se riješavaju indukcijom možete naći u 3. skupini zadataka koje sam vam podijelio.^{1}

1. (P l 1.11) Dokažite da su u četverokutu, bez para usporednih stranica, polovišta dijagonala i polovišta dviju nasuprotnih stranica, vrhovi paralelograma.

2. (P l 1.20) Nadite nuždan i dovoljan uvjet da mjerni brojevi površine i opsega trokuta budu jednaki.

3. (P l 1.22) U konveksnom peterokutu ABCDE točke K, L, M, N su polovišta stranica \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}. Dokažite da je dužina koju odreduju polovišta dužina \overline{KM} i \overline{LN} usporedna sa stranicom \overline{AE} i da je njena duljina jednaka četvrtini duljine stranice \overline{AE}.

4. (P l 1.37) Dokažite da u trokutu postoji najviše jedna stranica čija je duljina manja od duljine pripadne visine.

5. (P l 1.40) Dokažite da postoji trokut čije su stranice jednake i usporedne s težišnicama zadanog trokuta. Nadite odnos površina tih trokuta.

6. (P l 1.41) U šiljastokutnom trokutu ABC ortocentar je H. Izračunajte veličinu kuta ∠BCA, ako je |AB| = |CH|.

7. (P l 1.48) Dokažite da je trokut, kojemu su vrhovi dirališta bilo kojem trokutu upisane kružnice, šiljastokutan.

8. (P l 2.13) Na kružnici k, opisanoj jednakostraničnom trokutu ABC, uzmite na luku AB (koji ne sadrži C) bilo koju točku T i dokažite da je |T C| = |T A| + |T B|.

9. (P l 2.14) Dokažite poučak o simetrali unutarnjeg kuta trokuta:

Simetrala unutarnjeg kuta trokuta povučena iz jednog vrha dijeli nasuprotnu stranicu u omjeru duljina drugih dviju stranica. (Dokažite da poučak vrijedi u istovjetnom izričaju i za simetralu vanjskog kuta trokuta.)

10. (P l 2.15) Dokažite poučak (Giovanni Ceva^{2}):

Ako točke P, Q, R pripadaju stranicama \overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB} trokuta ABC, pravci AP, BQ, CR sijeku se u jednoj točki ako i samo ako vrijedi |AR| · |BP | · |CQ| = |BR| · |CP | · |AQ|.

11. (P l 2.16) Dokažite poučak (Menelaj Aleksandrijski):

Ako pravac p siječe pravce BC, CA, AB stranica trokuta ABC u točkama P, Q, R, tada i samo tada vrijedi |AR| · |BP | · |CQ| = |BR| · |CP | · |AQ|.

12. (P l 2.17) Kut CAB trokuta ABC je 60^{∘}. Dokažite da su polovište stranice \overline{BC} i nožišta visina iz vrhova B i C, vrhovi jednakostraničnog trokuta.

13. (P l 2.18)Dokažite da se spojnice vrhova trokuta sa nasuprotnim diralištem upisane kružnice sijeku u jednoj točki.

14. (P l 2.33) U jednakokračnom trokutu ABC, ortogonalna projekcija polovišta D osnovice \overline{AB} na krak \overline{BC} je točka E. Dokažite da je pravac koji prolazi vrhom C i polovištem F dužine \overline{DE} okomit na pravac AE.

15. (P l 2.52) Izrazite |AM| preko duljina stranica △ABC ako je točka M: a) sjecište simetrale kuta ∠ACB i AB; b) nožište visine iz C na AB; c) diralište upisane kružnice △ABC i \overline{AB}; d) diralište pripisane kružnice △ABC i \overline{AB}; e) polovište stranice \overline{AB}; f) polovište od \overline{BC}; g) nožište okomice iz A na BC.

16. (Γ 1.5.12) Dan je trokut ABC i točka P u ravnini trokuta (ne leži niti na stranicama trokuta niti na opisanoj kružnici). Neka je A_{1}B_{1}C_{1} trokut kojeg čine nožišta okomica iz P na stranice trokuta ABC. Trokut A_{2}B_{2}C_{2} dobivamo iz A_{1}B_{1}C_{1} analogno, a trokut A_{3}B_{3}C_{3} iz A_{2}B_{2}C_{2}. Dokažite da je △ABC ∼ △A_{3}B_{3}C_{3}.

17. (Γ 1.6.5) Konstruiraj jednakokračni △ABC (osnovica je \overline{BC}) ako su zadane duljine visine i težišnice iz vrha B.

18. (Γ 1.7.6) Ako je H ortocentar △ABC, radijusi opisanih kružnica △ABC, △AHB, △BHC i △CHA su jednaki.

19. Neka su A i B točke na kružnici. Neka je \overline{XY} proizvoljni dijametar. Odredite geometrijsko mjesto točaka AX∩BY.

20. Dvije kružnice sijeku se u točkama P i Q. Konstruirajte dužinu \overline{AB} kroz točku P s krajevima na te dvije kružnice tako da: a) |AP |·|P B| bude maksimalno; b) |AB| bude maksimalno. (nap.: ovo su naravno dva različita zadatka)

21. Zadan je šiljasti kut sa vrhom A i točka P unutar njega. Odredite pravac p koji prolazi točkom P i siječe krakove kuta u točkama B i C tako da \frac{1}{|BP |} + \frac{1}{|P C|} bude maksimalno.

22. I- centar upisane kr. △ABC; D, E polovišta od \overline{AB}, \overline{AC}; K, L sjecišta DE s BI i CI. AI +BI +CI > BC +KL!

1Svatko ih mora riješiti bar recimo pet (i to ne samo podzadatke).

2[čeva]