Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 1. razred (TP-4)

10.4.2001.

Rješavajte zadatke iz knjige A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepčević: Matematička natjecanja učenika srednjih škola (MMB7).^{1} Zadaci su na ovom papiru poredani po godinama i državama, pa možete sami probati riješiti u 4 sata 4 zadatka^{2}.

SRETAN USKRS!

1. (P rasolov : P G, 8.pogl.) Konstruiraj trokut ako je dano:

a) duljina stranice a, težišnice t_{c} i kut α.

b) duljine simetrale kuta, težišnice i visine iz jednog vrha trokuta.

c) duljina stranice a, kut γ i radijus r upisane kružnice. d)^{∗} visina h_{a}, razlika duljina stranica b − c i radijus upisane kružnice r.

2. Konstruirajte četverokut^{3} ako su dane duljine stranica (a, b, c, d) i duljina spojnice polovišta dviju nasuprotnih stranica (e).

3. (Slovenija, ′98) Za koje cijele brojeve x i y vrijedi xy = 20 − 3x + y ?

4. (Slovenija, ′98) U jednom četveroznamenkastom broju znamenka jedinica jednaka je znamenki desetica uvećanoj za 1, znamenka stotica je dva puta veća od znamenke desetica i znamenka tisućica nije manja od dvostruke znamenke jedinica. Ako je taj broj dva puta veći od nekog prostog broja, odredi ga!

5. (Slovenija, ′98) Točka E nalazi se na stranici \overline{CD} pravokutnika ABCD. Trokut △DBE je jednakokračan, a trokut △ABE je pravokutan. Odredite omjer duljina stranica pravokutnika.

6. (Slovenija, ′98) U donjem lijevom kutu šahovske ploče nalazi se 9 figura označenih sa • na slici. Svaka figura može se premjestiti preko susjedne figure na polje ako je to polje slobodno. (Dva polja su susjedna ako imaju zajedničku stranu ili vrh.) Mogu li se svih 9 figura premjestiti na polja označena sa ∘ na slici?

7. (BiH, ′98) Ako za pozitivne brojeve a, b, c vrijedi a + 2b + 3c = 6abc, onda je barem jedan od brojeva a, b, c veći ili jednak 1. Dokazati!

8. (BiH,′98) Simetrala kuta kod vrha A trokuta △ABC siječe kružnicu opisanu oko tog trokuta u točki K. Dokazati da je |AK′| = \frac{|AB|+|AC|}{2}, gdje je K′ projekcija točke K na dulju od stranica \overline{AC} i \overline{AB}.

9. (BiH, ′98) Naći sve parove (a, b) prirodnih brojeva tako da je NZD(a, b) + NZV (a, b) + a + 2b = ab, pri čemu je NZD(a, b) najveći zajednički djelitelj brojeva a i b, a NZV (a, b) najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

10. (BiH, ′98) Neka je N polovište stranice \overline{BC} trokuta △ABC. Nad stranicama \overline{AB} i \overline{AC} kao hipotenuzama konstruirani su jednakokračni pravokutni trokutovi △ABM i △ACP respektivno, tako da se nalaze s vanjske strane trokuta △ABC. Dokazati da je trokut △MNP takoder jednakokračni pravokutni trokut.

11. (BiH, ′99) Neka je ABCD konveksni četverokut takav da je |AB| + |BD| ≤ |AC| + |CD|. Dokazati da je |AB| < |AC|.

12. (BiH, ′99) Neka su a, b i c realni brojevi različiti od nule takvi da je a + b = c. Dokazati da je

\frac{a}{b^{3} − c^{3}} − \frac{b}{a^{3} − c^{3}} = \frac{2c(b − a)}{a^{2}b^{2} + 3c^{4}} .

13. (BiH, ′99) U pravokutnom trokutu △ABC sa pravim kutem pri vrhu C neka su AD i BF simetrale šiljastih kuteva (D ∈ \overline{BC}, F ∈ \overline{AC}). Točke M i N su ortogonalne projekcije točaka F i D na hipotenuzu. Izračunati kut ∠MCN.

1Imate na kraju knjige popis tako da znate koji zadaci su bili za 1. razred.

2Izbačeni su glupi ili zadaci koje smo već riješavali.

3Ne mora biti trapez!

14. (BiH, ′99) U skupu cijelih brojeva riješiti jednadžbu x^{2}y^{2} − x^{2} − 8y^{2} = 2xy.

15. (BiH, ′00) Ako je \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 4 i \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} = 5, izračunajte \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} i \frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3}} .

16. (BiH,′00) Ako su x, y, z pozitivni racionalni brojevi za koje je \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}, dokazati da je onda broj \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} takoder racionalan.

17. (BiH, ′00) Na jednom skupu našlo se 10 bračnih parova. Pri tome su se neke osobe rukovale. Nijedna osoba se nije rukovala sa svojim bračnim drugom. Poslije toga Amir je svakoj od 19 preostalih osoba postavio pitanje s koliko se osoba rukovala. Dobio je 19 različitih odgovora. S koliko se osoba rukovala Amirova žena?

18. (BiH, ′00) U konveksnom četverokutu ABCD je |BD| = |AB| + |BC| + |CA| i ∠ADC = 30^{∘}. Dokazati da je BD simetrala kuta ∠ABC.

19. (Hrvatska, ′99) Kružnice k_{1} i k_{2} polumjera r_{1} = 6 i r_{2} = 3 dodiruju se izvana. Obje kružnice dodiruju iznutra kružnicu k polumjera r = 9. Zajednička vanjska tangenta kružnica k_{1} i k_{2} siječe kružnicu k u točkama P i Q. Izračunajte duljinu tetive \overline{P Q}.

20. (Hrvatska, ′99) Neka su a, b i c pozitivni realni brojevi takvi da je a + b + c = 1. Dokažite da vrijedi nejednakost

\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} ≥ \frac{1}{2}.

21. (Hrvatska, ′99) Dokažite da je za svaki a ∈ (1, 2) površina lika kojeg omeduju grafovi funkcija

y = 1 − |x − 1| i y = |2x − a|,

manja od \frac{1}{3}.

22. (Hrvatska, ′00) Riješite jednadžbu

\frac{1}{x} + \frac{2}{y} − \frac{3}{z} = 1

u skupu prirodnih brojeva.

23. (Hrvatska, ′00) Kružnica upisana u trokut ABC dodiruje njegove stranice \overline{BC}, \overline{CA} i \overline{AB} u točkama A_{1}, B_{1}, C_{1}. Izrazite kutove trokuta A_{1}B_{1}C_{1} pomoću kutova trokuta ABC.

24. (Hrvatska, ′00) Neka je m ≥ 2 prirodan broj. Koliko rješenja u skupu prirodnih brojeva ima jednadžba

⌊\frac{x}{m}⌋ = ⌊\frac{x}{m − 1}⌋?

(⌊x⌋ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od x.)

25. (Hrvatska, ′00) Na raspolaganju su kovanice od 1, 2, 5, 10, 20, 50 lipa i od 1 kune. Dokažite da ako se iznos od M lipa može isplatiti pomoću N kovanica, onda se iznos od N kuna može isplatiti pomoću M kovanica.

26. (Srbija, ′70) Dane su jednakosti A = x^{3} + 1 i B = x^{2} + x, gdje je x racionalan broj. Za koje x je: 1^{∘} A > B, 2^{∘} A = B, 3^{∘} A < B?

27. (Srbija, ′70) U ravnini su dana tri pravca koji prolaze kroz istu točku O. Na jednom od njih dana je točka A. Konstruirati trokut kojemu je jedan vrh točka A, a dani pravci su simetrale njegovih kutova.

28. (Srbija, ′78) U kvadratnu tablicu 8 × 8, počevši od gornjeg lijevog kuta upisani su redom brojevi od 1 do 64. U svakom retku i stupcu promijenjen je predznak na četiri mjesta (na proizvoljan način), tako da sada imamo u svakom retku i stupcu 4 pozitivna i 4 negativna broja. Dokažite da je zbroj brojeva u tablici jednak nuli.

29. (Srbija, ′81) Dan je tetivni četverokut ABCD. Pravci AB i CD sijeku se u točki M, a pravci AD i BC u točki N. Dokazati da su simetrale kutova ∠ANB i ∠AMD okomite.

30. (Srbija,′81) Na ploči su zapisani brojevi 1, 2, 3, …, 1981. Učenik je izbrisao neka dva broja i umjesto njih napisao njihovu razliku. Taj postupak je ponovio više puta i na kraju su na ploči bile napisane samo nule. Dokazati da je u računanju učenik napravio grešku.

31. (Srbija, ′82) Dokazati da vrijedi nejednakost \frac{x^{2}}{1+x^{4}} ≤ \frac{1}{2}.

32. (Srbija, ′82) Poznato je da krokodil ima najviše 68 zubiju. Dokazati da medu 16^{17} krokodila ne moraju postojati dva s istim rasporedom zubiju.