Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 1. razred (TP-3)

7.12.2000.

BAZA INDUKCIJE  Provjerimo da li tvrdnja vrijedi za n = 1 (odnosno za neki početni n_{0} ∈ ℕ).
PRETPOSTAVKA INDUKCIJE  Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k, k ≥ 1 (odnosno k ≥ n_{0}, n_{0} ∈ ℕ).
KORAK INDUKCIJE  Na osnovu pretpostavke dokazujemo da tvrdnja vrijedi i za n = k + 1.

Tada tvrdnja vrijedi ZA SVE prirodne brojeve (≥ n_{0}). (Napomena: Postoje i malo poopćene varijante indukcije.)

1. Dokažite^{1}:

a)(I7) ∑_{i=1}^{n} i^{3} = (∑_{i=1}^{n} i)^{2},  b)(I11) ∑_{i=1}^{n} i(i + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2),

c)(I19) ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i + 1)} = \frac{n}{n + 1},  d)(I22) ∑_{i=1}^{n} \frac{i}{3^{i}} = \frac{3}{4} − \frac{2n + 3}{4 · 3^{n}},

2. Dokažite sljedeće nejednakosti^{2}:

a) \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯ + \frac{1}{3n + 1} > 1,  (I25)  b) \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯ + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24},  (I26)
c) ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}} ≥ \sqrt{n},  (I27)  d) ∑_{i=2}^{n} \frac{1}{i^{2}} < 1, n ∈ ℕ,  (I28)
e) (1 + h)^{n} > 1 + nh, n ∈ ℕ\{1}, h > 0,  (I31) f) 2^{n} > n, n ∈ ℕ_{0},  (I32)
g) 2^{n} > 2n + 1, n ≥ 3,  (I33)  h) 2^{n} > n^{2}, n ≥ 5,  (I35)
i) 2^{n} > n^{3}, n ≥ 10,  (I37)  j) (\frac{x + y}{2} )^{n} ≤ \frac{x^{n} + y^{n}}{2} , n ∈ ℕ, x, y ∈ ℝ^{+}  (I40)

3. Dokažite sljedeće tvrdnje^{3}:

a) (a − b) | (a^{n} − b^{n}), n ∈ ℕ,  (I44) b) 3 | 5^{n} + 2^{n+1},  (I48)  c) 7 | n^{7} − n,  (I53)
d) 8 | 3^{2n} − 1,  (I56)  e) 8 | 3^{2n+3} + 40n − 27,  (I57) f) 9 | 4^{n} + 15n − 1,  (I58)

4. Dokažite (n ∈ ℕ):

a) 3 · 4^{n+1} + 10^{n−1} − 4 ≡ 0 (mod 9), (I59)  b) 9^{n+1} + 2^{6n+1} ≡ 0 (mod 11), (I60)
c) 11 · 3^{n} + 3 · 7^{n} − 6 ≡ 0 (mod 12), (I61)  d) 2^{12n+3} − 3^{6n+2} ≡ 0 (mod 13), (I62)
e) 5^{2n+1} · 2^{n+2} + 3^{n+2} · 2^{2n+1} ≡ 0 (mod 19), (I65) f) n^{7} ≡ 12 (mod 42), (I68)
g) 9 · 3^{2n} − 8n ≡ 9 (mod 64), (I72)  h) 4^{2n+2} − 15n − 10 ≡ 6 (mod 225), (I75)
i) 3^{2^{n}} − 1 ≡ 0 (mod 2^{n+2}), (I76)  j) 2^{3^{n}} ≡ 0 (mod 3^{n+1}), (I77)

5. (I78 − 81) Produkt dva uzastopna prirodna broja je djeljiv sa 2, produkt tri uzastopna prirodna broja je djeljiv sa 6, produkt 4 uzastopna prirodna broja je djeljiv sa 24, produkt 5 uzastopnih prirodnih brojeva je djeljiv sa 120. Dokaži!

6. Dokažite tvrdnje iz okvira na prvom papiru sa zadacima (Algebarski identiteti).

7. (I85) Broj 2^{2^{n}}, n ≥ 2, završava šesticom.

1∑_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}, npr. ∑_{i=1}^{n} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2}.

2d)Usporedite sa zad. 1.c), e)Bernoullijeva nejednakost, f)Probajte dokazati sa i bez upotrebe Bernoullijeve nejednakosti 3a | b znači da a dijeli b, tj. b je djeljivo sa a.

8. (I94) Ako je a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … niz brojeva za koji vrijedi a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{n} = 3a_{n−1} − 2a_{n−2}, n ≥ 3, tada je a_{n} = 1 + 2^{n−1}, ∀n ∈ ℕ.^{4} Dokaži!

9. (I97) Zadan je niz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (Fibonaccijev niz) u kojem su prva dva člana jednaki 1, a svaki sljedeći član je jednak sumi dva prethodna člana. Tada je opći član tog niza a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1−\sqrt{5}}{2})^{n}), n ∈ ℕ.

10. (I99) Broj dijagonala n-terokuta je D_{n} = \frac{1}{2}n(n − 3), n ≥ 4.

11. (I100) Zbroj unutarnjih kuteva n-terokuta iznosi S_{n} = (n − 2) · 180^{∘}, n ≥ 3.

12. (I101) U ravnini n pravaca u općem položaju (nikoja 2 nisu paralelna i nikoja 3 ne prolaze kroz istu točku) dijele tu ravninu na 1 + \frac{n(n+1)}{2} dijelova.

13. (I102) U prostoru n ravnina u općem položaju dijele prostor u n(n − 1) + 2 dijelova. 14.

(I182) ∑_{i=2}^{n} \frac{i^{3} − 1}{i^{3} + 1} = \frac{2}{3}(1 + \frac{1}{n(n + 1)}), n > 1, (I187) \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{3n + 1} > 1, n ∈ ℕ

15. (MF L − 11.3.) Ana, Branka, Ceca, Danica i Eva su bliske rodakinje. Jedna od njih je Brankina baka, a Evina sestra. Eva je Daničina tetka. Jedna od njih petero je Anina sestra, a Brankina majka. U kakvom su srodstvu Branka i Ceca?

16. (MF L − 9.10.) Nacrtajte graf relacije ||x| − |y|| = 1.

17. (MF L − 2.3.) Skratite razlomak \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{5}+x^{3}−x^{2}−1}.

18. (MF L − 2.15.) Odredite sve četvorke prirodnih brojeva a, b, c, d koje zadovoljavaju sustav:

\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}
abc = d
a + b + c = d.

19. (MF L − 1.7.) Dokažite da je broj 3^{105} + 4^{105} djeljiv sa 13, a nije djeljiv sa 11.

20. (MF L−1.6.) Bilo koja dva prirodna broja, od kojih svaki završava sa 376, pomnožena daju produkt koji takoder završava sa 376 (npr. 42376 · 1376 = 58309376). Dokazati^{5}.

21. (MF L − 1.1.) Odrediti sve proste brojeve (prim-brojeve) p, za koje su p + 10 i p + 20 takoder prosti brojevi.

22. (MF L − 1.3.) Dokazati da kvadrat ma kojeg prostog broja p > 3 pri dijeljenju sa 12 daje ostatak 1.

23. (P 1.1) Na stranici \overline{AC} trokuta △ABC uzeta je bilo koja točka D. Dokažite da vrijedi: |AB|+|BC| < 2|BD|+|AC|.

24. (P 1.2) Dokažite da je duljina težišnice povučene iz jednog vrha trokuta manja od polovice zbroja duljina dviju stranica koje se sastaju u tom vrhu, a veća od razlike polovice toga zbroja i polovice treće stranice.

25. (P 1.3) Za pravokutne trokute vrijedi Pitagorin poučak: Zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze trokuta. Dokažite poučak.

26. (P 1.4) Za pravokutan trokut vrijedi Euklidov poučak:

- Duljina visine (na hipotenuzu) pravokutna trokuta jednaka je geometrijskoj sredini duljina odsječaka što ih ta visina čini na hipotenuzi;

- Duljina katete pravokutna trokuta jednaka je geometrijskoj sredini duljine hipotenuze i duljine ortogonalne projekcije te katete na hipotenuzu. Dokažite poučak.

27. (P 1.5) Za paralelogram vrijedi Eulerova relacija (relacija paralelograma): Zbroj kvadrata duljina dijagonala jednak je zbroju kvadrata duljina stranica paralelograma. Dokažite Eulerovu relaciju i pomoću nje izrazite duljinu težišnica trokuta u funkciji duljina stranica trokuta.

4∀ – “za sve”, ∃ – “postoji”

5Ima li još takvih troznamenkastih završetaka?