Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 1. razred (TP-2)

16.11.2000.

1. (G − 3.1)Preko sheme od 9 točaka prema sl. 1 treba nacrtati (povezanu) izlomljenu crtu od 4 ravna poteza, tako da time svih 9 točaka bude precrtano i to svaka jedanput.

Slika 1: uz zadatke 1., 13. i 14.

2. (K−6) Svaki učenik jedne škole uči barem jedan od triju stranih jezika (engleski, ruski, francuski), i to 280 učenika uči engleski jezik, a po 230 ruski, odnosno francuski jezik. 120 učenika uči engleski i francuski, 110 engleski i ruski, 80 francuski i ruski, a 50 učenika uči sva tri jezika. Koliko ukupno učenika ima u toj školi?

3. (K − 7) U razredu ima 25 učenika, od kojih su neki sportaši. Medu njima ima 17 gimnastičara, 13 plivača i 8 atletičara. Nijedan se učenik ne bavi svim trima sportovima. Svaki učenik-sportaš ima dovoljan ili dobar iz matematike, a 6 učenika ima odličan. Koliko se plivača bavi gimnastikom?

4. U razredu ima 20 dječaka. Četrnaestorica imaju smede oči, petnaestorica imaju tamnu kosu, sedamnaestorica teže više od 40kg, a osamnaestorica su viši od 160cm. Dokaži da barem četvorica dječaka imaju sve navedene osobine.

5. (K − 16) Krug polumjera 2 unija je triju disjunktnih^{1} skupova A, B i C. Dokažite da barem u jednom od njih postoje dvije točke medusobne udaljenosti 1.

6. (K − 17) Dokažite da ravninu možemo obojati u 9 različitih boja tako da je udaljenost bilo kojih dviju točaka iste boje različita od 1978m.

7. (K − 18) Zadano je 1978 točaka u ravnini od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu. Pokažite da se one mogu spojiti izlomljenom zatvorenom linijom koja samu sebe ne presijeca.

8. (K − 22) U nekoj školi svaki razred ima svoju učionicu. Jednog je dana odlučeno da svaki razred prijede u drugu učionicu u kojoj je do tada bio neki drugi razred. Osim toga je odlučeno da se svaka učionica oboji jednom bojom (plavom, žutom ili zelenom). Je li navedene odluke moguće sprovesti tako da se pri tome ni za jedan razred boja “stare” i “nove” učionice ne podudara? Obrazložite odgovor.

9. (K − 23) Dva igrača, A i B, igraju ovu igru: A kaže neki broj izmedu 1 i 10 (uključujući i njih). B tada zamisli opet neki takav broj, pribroji to broju što ga je rekao igrač A i priopći tu sumu igraču A. Tada opet igrač A pribroji neki broj izmedu 1 i 10 prethodnoj sumi i dobiveni rezultat priopći igraču B itd. Pobjednik je onaj igrač koji kaže sumu 100. Igrač A počeo je brojem 2. Postoji li za igrača B strategija za pobjedu?

10. Možemo li šahovsku ploču kojoj smo odstranili dva dijagonalna kutna polja potpuno prekriti sa 31 dominom pri čemu svaka domino pločica prekriva dva šahovska polja?

11. (EL12.1.4) Dana je trojka (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (3, 4, 12). Provodimo sljedeći postupak: biramo dva broja a_{i} i a_{j}, (i ≠ j), te ih zamijenimo sa 0.6a_{i} − 0.8a_{j} i 0.8a_{i} + 0.6a_{j}. Može li se višekratnom primjenom gore opisanog postupka dobiti trojka (2, 8, 10)?

12. (G − 3.8) Na uzastopnim križanjima A, B, C, D,… jedne ceste postavljeni su semafori (zelena i crvena signalna svjetla). Automobil smije prijeći preko nekog križanja samo kad pokraj njega gori zeleno svjetlo. Direktno nam nije poznato ništa o medusobnim udaljenostima križanja, niti o njihovu broju, niti išta o ritmu paljenja i gašenja crvenog i zelenog svjetla uz ikoje križanje. Jedini poznati podatak je ovaj: vozi li automobil brzinom v_{0} = 105km/h (u kojem god smjeru) i prode li slobodno preko makar kojeg križanja, proći će slobodno i kroz sva daljnja križanja. Pita se: ima li tad uvijek osim v_{0} još koja brzina istog svojstva? Drugim riječima: ako o toj cesti ne znamo ništa osim navedenog podatka, možemo li zaključiti da postoji još koja “prolazna” brzina, ako je v_{0} jedna takva brzina?

1Disjunktni skupovi su oni koji nemaju zajedničkih elemenata, u ovom slučaju točaka.

13. (G − 3.9) 12 šibica rasporedeno je prema shemi na sl. 1. Tom razdiobom odredeno je 6 istostraničnih trokuta. Treba provesti ovu rekonstrukciju rasporeda šibica: 1^{∘} prvi korak: premjestiti dvije šibice tako da novom razdiobom bude odredeno 5 istostraničnih trokuta; 2^{∘} drugi korak: premjestiti još dvije šibice tako da novom razdiobom budu odredena 4 istostranična trokuta; 3^{∘} treći korak: premjestiti još dvije šibice tako da novom razdiobom budu odredena 3 istostranična trokuta i 4^{∘} četvrti korak: premjestiti još dvije šibice tako da konačnom razdiobom budu odredena 2 istostranična trokuta. (Napomena. Ne traži se da svi trokuti koji nastaju imaju jednake stranice. Traži se da nakon svakog koraka u razdiobi nema nijedne šibice koja ne bi sudjelovala u izgradnji nekog trokuta.)

14. (G − 5.4) Može li se čovjek prošetati kroz stan oblika kao na sl. 1, (tj. poći iz neke sobe i završiti šetnju ili u istoj ili u nekoj drugoj sobi) tako da kroz svaka označena vrata prode točno jedanput?

15. (EL12.2.4) Na jednom turniru sudjelovalo je n košarkaških ekipa. Svaka ekipa odigrala je sa svakom drugom točno jednu utakmicu. Neriješenih ishoda nije bilo. Ako na kraju turnira i-ta ekipa ima x_{i} pobjeda i y_{i} poraza (i = 1, 2, …, n), dokažite da je

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + ⋯ + y_{n}^{2}.

Dirichletov princip (Pigeonhole Principle): Ako je u n kutija smješteno više od n predmeta, onda će bar u jednoj kutiji biti više od jednog predmeta.

16. (1) Možemo li tvrditi da u razredu od 34 učenika sigurno postoji bar dvoje čija prezimena počinju istim slovom?

17. (4) U razredu ima 30 učenika. Na testu su učenici napravili manje od 7 grešaka. Dokazati da su bar 5 učenika napravili jednak broj grešaka.

18. (7) Ako u šumi ima 710000 stabala i na svakom ne više od 100000 listova, dokazati da u toj šumi postoji najmanje 8 stabala s jednakim brojem listova.

19. (11) Na jednom predavanju prisutno je 35 ljudi. Dokazati da medu njima postoje bar dvojica koji medu prisutnima imaju jednak broj poznanika. Vrijedi li tvrdnja i ako je na predavanju bilo 100 ljudi?

20. (16) U hotelu se nalaze 123 gosta. Oni zajedno imaju 3813 godina. Mogu li se izmedu njih izabrati 100 tako da zajedno imaju ne manje od 3100 godina?

21. (18) Dokazati da medu 13 proizvoljno izabranih prirodnih brojeva postoje bar dva čija je razlika djeljiva sa 10.

22. (19) Dokazati da se od proizvoljnih n + 1 cijelih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika djeljiva sa n.

23. (22) Ako je k prirodnih brojeva poredano na proizvoljan način u niz, dokažite da u tom nizu uvijek postoji nekoliko uzastopnih brojeva čiji je zbroj djeljiv sa k (moguće i samo jedan broj djeljiv sa k).

24. (24) Dokažite da se može naći barem jedan višekratnik broja 1987 čiji je dekadski zapis oblika 111 … 100 … 0.

25. (25) Dokažite da postoji prirodan broj, koji počinje sa 9876543210, a djeljiv je brojem 1976.

26. (28) Dokažite da se medu n + 1 različitih prirodnih brojeva manjih od 2n mogu izabrati 3 broja takva da je jedan od njih jednak zbroju ostala dva.

27. (29) Dano je 20 različitih prirodnih brojeva manjih od 70. Dokažite da medu svim mogućim njihovim razlikama postoje bar četiri jednake.

28. (35) Prirodni brojevi od 1 do 2n napisani su u proizvoljnom poretku, a zatim je ispod svakog od njih napisan njegov redni broj u tom nizu. Svaki je broj potom zbrojen sa svojim rednim brojem. Dokažite da medu tako dobivenim brojevima (zbrojevima) postoje dva čija je razlika djeljiva sa 2n. (Uputa: dokaži najprije za n = 5 pa probaj poopćiti.)

29. (36) Dokažite da medu proizvoljnih 9 uzastopnih prirodnih brojeva postoji bar jedan koji je relativno prost sa svakim od preostalih 8 brojeva.

30. (37) Dan je niz^{2}

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

u kojem je svaki član, počinjući sa trećim, jednak zbroju prethodna dva. Da li medu prvih 100 000 001 članova toga niza postoji broj koji završava sa četiri nule?

2Fibonaccijev niz, po Leonardu iz Pize zvanom Fibonacci, XIII st.

31. (38) Dokazati da za ma koji broj n u Fibonaccijevom nizu postoji član koji završava sa n nula.

32. (39) Dokazati da će pri dijeljenju 41 sa 61 dobijeni beskonačni decimalni zapis biti periodičan.

33. (42) Dokažite da postoji neka potencija broja 3 čiji se dekadski zapis završava sa 0001.

34. (K − 11) Kotač za rulet podijeljen je na 36 odsječaka. U te odsječke upisani su nekim redom brojevi od 1 do 36. Dokažite da postoje tri uzastopna odsječka takva da je suma na njima napisanih brojeva barem 56.

35. (K − 12) U kvadratnoj mreži točaka s cjelobrojnim koordinatama u ravninskom pravokutnom koordinatnom sustavu dano je 5 točaka. Dokažite da medu njima postoje dvije točke kojih spojnica (dužina!) sadrži barem još jednu točku mreže. Riješite analogan zadatak za 9 točaka u prostornom pravokutnom koordinatnom sustavu.

36. (K − 13) Neka su P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} i P_{5} točke u unutrašnjosti kvadrata stranice 1. Dokažite da je barem jedna od udaljenosti d(P_{i}, P_{j}) manja od \frac{\sqrt{2}}{2}. Pokažite da za svako d < \frac{\sqrt{2}}{2} postoji raspored pet točaka unutar jediničnog kvadrata tako da nikoje dvije točke nisu udaljene za manje od d.

37. (K − 15) U krug promjera 1 na proizvoljan način stavljena je 51 točka. Dokazati da medu njima postoje tri koje se mogu prekriti krugom polumjera \frac{1}{7}.

38. (K − 14) U jednakostranični trokut duljine stranice 2cm smještene su 33 točke. Dokažite da postoje 3 točke koje se mogu prekriti krugom polumjera r = \frac{3}{10}cm.

39. (42) U kvadratu stranice 1 uzeto je proizvoljno 101 točka (točke mogu biti i na stranicama kvadrata), pri čemu nikoje tri od njih ne leže na istom pravcu. Dokazati da postoji trokut s vrhovima u tim točkama, čija površina nije veća od 0.01.

40. (44) Šuma ima oblik kvadrata površine 1km^{2}. U njoj raste 4500 borovih stabala promjera 50cm. Dokažite da u toj šumi postoji pravokutna površina dimenzija 10m × 20m na kojoj nema nijednog stabla.

41. (46) Nekoliko lukova kružnice obojano je crvenom bojom. Zbroj duljina obojanih lukova manji je od polovice opsega kružnice. Dokazati da postoji promjer ove kružnice čije obje krajnje točke nisu obojane.

42. (47) U kvadratu ABCD stranice 1dm nalazi se nekoliko kružnica (koje se mogu sjeći ili poklapati), takvih da zbroj njihovih radijusa iznosi 0.6dm. Dokazati da postoji pravac, paralelan s AB, koji ima zajedničke točke sa bar dvije od tih kružnica.

43. (48) Dane su dvije kružnice od kojih svaka ima opseg 1977cm. Na jednoj od njih obilježeno je 1977 točaka, a na drugoj nekoliko lukova čija duljina je manja od 1cm. Dokazati da se ove kružnice mogu staviti jedna na drugu tako da nijedna od obilježenih točaka ne padne ni na jedan obilježeni luk.

44. (50) U ravnini je dano 7 pravaca od kojih nikoja dva nisu paralelni. Dokažite da postoje dva medu njima koji zatvaraju kut manji od 26^{∘}?

45. (52) Dano je 7 dužina. Svaka je veća od 10cm i manja od 1m. Dokazati da medu njima postoje tri dužine od kojih se može sastaviti trokut.

46. U ravnini su zadana dva medusobno okomita pravca, tri pravokutnika čije su stranice paralelne tim pravcima i jedan trokut. Unija pravokutnika prekriva rub trokuta (tj. svaka točka sa ruba trokuta leži unutar bar jednog od pravokutnika). Dokazati da tada čitav trokut leži u uniji pravokutnika.

47. (55) U društvu od 6 osoba svake dvije se ili poznaju ili ne poznaju. Dokaži da postoji troje ljudi koji se ili svi znaju ili svi ne znaju.

48. 17 točaka nalazi se u općem položaju u prostoru (nikoje tri nisu na istom pravcu i nikoje četiri u istoj ravnini) Sve dužine sa krajevima u tim točkama obojamo u tri različite boje (oker, lila i rozu). Dokažite da postoji jednobojni trokut (sve stranice su mu iste boje).

49. (57) U tablicu sa n × n polja upisani su cijeli brojevi od 1 do n^{2}. Nas interesira sljedeća tvrdnja: “Pri ma kojem rasporedu ovih brojeva, postojat će dva polja sa zajedničkom granicom, takva da je razlika izmedu brojeva sa tih polja veća od 5.”

a) Dokažite tu tvrdnju: 1) za n = 10, 2) za svako n > 10, 3) za n = 9.

b) Opovrgnite je za n = 5.

c) Nama nije poznato vrijedi li tvrdnja za n = 6, 7, 8. Što vi mislite?

50. (59) Dan je skup koji se sastoji od 10 različitih dvoznamenkastih brojeva. Dokazati da postoje dva neprazna disjunktna podskupa danog skupa, takva da je zbroj brojeva u jednom jednak zbroju brojeva u drugom skupu.