Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 4. razred (TP-11)

07.04.2004.

Riješavajte zadatke iz knjige A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepčević: Matematička natjecanja učenika srednjih škola (MMB7).^{1} Zadaci su na ovom papiru poredani po godinama i državama, pa možete sami probati riješiti u 4 sata 4 zadatka^{2}. Nakon zadataka iz Hrvatske i BiH slijedi izbor zadataka sa različitih nacionalnih olimpijada. Ti zadaci znatno variraju po težini od države do države, ali su dobri za vježbu, a i zadaci za naše državno se biraju iz takvih natjecanja^{3}.

SRETAN USKRS!

1. (Hrvatska, ′02) Izračunajte beskonačni zbroj s = 1 + 4x + 9x^{2} + ⋯ + n^{2}x^{n−1} + …, gdje je |x| < 1.

2. (Hrvatska, ′02) Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem O su u točkama A(1, 1, 1), A′(−1, −1, −1), B(−1, 1, 1), B′(1, −1, −1), C(−1, −1, 1), C′(1, 1, −1), D(1, −1, 1), D′(−1, 1, −1). Točka O je središte kocki opisane sfere. Neka točka T nije na toj sferi i d = |OT |. Označimo s α = ∠AT A′, β = ∠BT B′, γ = ∠CT C′ i δ = ∠DT D′. Dokažite da je tg^{2}α + tg^{2}β + tg^{2}γ + tg^{2}δ = \frac{32d^{2}}{(d^{2}−3)^{2}} .

3. (Hrvatska, ′02) Neka je f(x) = x^{2002} − x^{2001} + 1. Dokazati da su za svaki prirodan broj m brojevi m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), …, u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva medu njima nemaju zajednički djelitelj veći od 1.

4. (Hrvatska, ′02) Neka je (a_{n}), n ∈ ℕ rastući niz prirodnih brojeva. Za član a_{k} tog niza kažemo da je dobar ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, dobri.

5. (Hrvatska, ′01) Papir oblika kvadrata s vrhovima F, B, H i D ima stranicu duljine a. Na njegovim stranicama \overline{F B} i \overline{BH}, označene su točke G i A, odnosno E i C, takve da je |F G| = |GA| = |AB| i |BE| = |EC| = |CH|. Papir je presavinut po dužinama \overline{DG}, \overline{DA}, \overline{DC} i \overline{AC} tako da se točka G poklopi s B, a točke F i H s točkom E. Odredite volumen tako nastale trostrane piramide ABCD.

6. (Hrvatska, ′01) Dan je broj n = p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}, gdje su p_{1}, p_{2}, p_{3} i p_{4} četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su d_{1} = 1 < d_{2} < d_{3} < ⋯ < d_{15} < d_{16} = n. Postoji li n < 2001, takav da je d_{9} − d_{8} = 22?

7. (Hrvatska, ′01) Tablica dimenzija n×n ispunjena je jedinicama i nulama. Poznato je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koja čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše \frac{n}{2} (1 + \sqrt{4n − 3}).

8. (BiH, ′03) Odrediti realne brojeve x i y za koje vrijedi jednakost 3\sqrt{x + y} + 2\sqrt{8 − x} + \sqrt{6 − y} = 14.

9. (BiH, ′03) Ovogodišnji 2. zadataka na županijskom natjecanju u Hrvatskoj!

10. (BiH, ′03) Suma n realnih brojeva je pozitivna. Promatrajmo sve moguće sume od po nekoliko medu tih n brojeva (ima ih 2^{n} − 1). Koliko medu tih 2^{n} − 1 suma mora biti pozitivnih?

11. (BiH, ′03) Dokazati da se nijedan prost broj ne može na dva različita načina predstaviti u obliku zbroja kvadrata dva prirodna broja.

12. (Balkanijada, ′02) Neki parovi od n (n ≥ 4) točaka A_{1},…,A_{n} su povezani dužinama tako da se svaka točka nalazi u bar tri dužine. Dokazati da postoji paran ciklus, tj. niz X_{1}X_{2} … X_{2k}X_{1}, X_{1}, X_{2}, …, X_{2k} ∈ {A_{1}, A_{2}, …, A_{n}} takav da su točke X_{i} i X_{i+1} povezane dužinom za svaki i = 1, …, 2k, X_{2k+1} = X_{1}.

13. (Balkanijada, ′02) Niz a_{1}, a_{2}, …, a_{n} je definiran sa a_{1} = 20, a_{2} = 30, a_{n+2} = 3a_{n+1} − a_{n}, n ≥ 1. Naći sve pozitivne cijele brojeve n takve da je 1 + 5a_{n}a_{n+1} potpuni kvadrat.

14. (Balkanijada,′02) Dvije nejednake kružnice sijeku se u točkama A i B. Zajedničke tangente ovih kružnica su MN i ST respektivno. Dokazati da su ortocentri trokutova △AMN, △AST, △BMN i △BST vrhovi pravokutnika.

15. (Balkanijada, ′02) Naći sve funkcije f : ℕ → ℕ takve da za svaki n ∈ ℕ vrijedi 2n + 2001 ≤ f(f(n)) + f(n) ≤ 2n + 2002.

16. (OlimpBiH, ′02) Neka su x, y, z realni brojevi takvi da je x + y + z = 3 i xy + yz + zx = a (a realan parametar). Odredite vrijednost parametra a za koju je razlika izmedu najveće i najmanje moguće vrijednosti od x jednaka 8.

1Imate na kraju knjige popis tako da znate koji zadaci su bili za 4. razred.

2Izbačeni su glupi ili zadaci koje smo već riješavali.

3Rješenja tih zadataka ćete dobiti na engleskom, a zadatke iz Hrvatske i BiH ćemo proći na grupi.

17. (OlimpBiH, ′02) Kroz točku presjeka simetrale kuta ∠BAC trokuta △ABC i dužine koja spaja podnožja simetrala preostala dva kuta trokuta, povučen je pravac paralelan stranici \overline{BC}. Neka ovaj pravac siječe stranice \overline{AB} i \overline{AC} u točkama M i N respektivno. Dokazati da je 2|MN| = |BM| + |CN|.

18. (OlimpBiH, ′02) Ako je n prirodan broj, dokazati da broj (n + 1)(n + 2) … (n + 10) nije potpun kvadrat.

19. (OlimpBiH, ′02) Neka su a, b i c pozitivni realni brojevi takvi da je a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1. Dokazati da je

\frac{a^{2}}{1 + 2bc} + \frac{b^{2}}{1 + 2ca} + \frac{c^{2}}{1 + 2ab} ≥ \frac{3}{5}.

20. (OlimpBiH, ′02) Neka su p i q različiti prosti brojevi. Riješiti u skupu cijelih brojeva sustav jednadžbi

\frac{z + p}{x} + \frac{z − p}{y} = q
\frac{z + p}{y} + \frac{z − p}{x} = q.

21. (OlimpBiH, ′02) Neka su vrhovi konkveksnog četverokuta ABCD i presječna točka S njegovih dijagonala cjelobrojne točke u koordinatnoj ravnini. Označimo s P površinu četverokuta ABCD i s P_{1} površinu trokuta △ABS. Dokazati da je \sqrt{P} ≥ \sqrt{P_{1}} + \frac{\sqrt{2}}{2}.

22. (BiH, ′02) Neka su P i Q različiti polinomi takvi da je P (Q(x)) ≡ Q(P (x)). Dokazati da je polinom P (P (x)) − Q(Q(x)) djeljiv polinomom P (x) − Q(x).

23. (BiH, ′02) Neka je dan skup A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Odrediti broj funkcija f : A → A, koje zadovoljavaju uvjet: (∀x ∈ A) f(f(x)) = x.

24. (BiH, ′02)

a) Odrediti skup svih prirodnih brojeva n za koje je 2^{3^{n}} + 1 djeljivo sa 3^{n+1}.

b) Dokazati da 2^{3^{n}} + 1 nije djeljivo sa 3^{n+2} niti za jedan prirodan broj n.

25. (Balkanijada, ′01) Neka je n prirodan broj. Ako su a i b cijeli brojevi veći od 1 takvi da je 2^{n} − 1 = ab, onda je broj ab − (a − b) − 1 oblika k · 2^{2m}, gdje je k neparan, a m pozitivan cijeli broj. Dokaži!

26. (Balkanijada, ′01) Dokazati da je konveksni peterokut koji zadovoljava sljedeće uvjete:

(1) svi unutrašnji kutovi su jednaki;

(2) duljine svih stranica su racionalni brojevi; pravilan.

27. (Balkanijada, ′01) Neka su a, b i c pozitivni realni brojevi, takvi da je a+b+c ≥ abc. Dokazati da je a^{2}+b^{2}+c^{2} ≥ abc\sqrt{3}.

28. (OlimpBiH, ′01) Neka za prirodne brojeve x, y, z vrijedi jednakost \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{z^{2}} . Dokazati da je xyz ≥ 3600.

29. (OlimpBiH, ′01) Odrediti maksimalan prirodan broj n za koji postoji n-člani podskup S skupa {1, 2, …, 2001}, takav da jednadžba y = 2x nema ni jednog rješenja u skupu S × S.

30. (BiH, ′01) Odrediti najveću površinu koju može imati četverokut čije su tri stranice medusobno jednake duljine 1.

31. (OlimpBiH, ′00) Neka je dan trokut ABC takav da je ∠ABC = 3∠CAB. Na stranici \overline{AC} tog trokuta izabrane su točke M i N tako da im je raspored A − N − M − C i ∠CBM = ∠MBN = ∠NBA. Neka je L proizvoljna unutrašnja točka dužine \overline{BN}, a K točka dužine \overline{BM} takva da je LK ∥ AC. Dokazati da se pravci AL, NK i BC sijeku u jednoj točki.

32. (BiH, ′00) Neka su a i b duljine kateta, c i h duljina hipotenuze i na nju spuštene visine pravokutnog trokuta. Koju najveću vrijednost može imati izraz \frac{c+h}{a+b}?

33. (BiH, ′00) Odrediti realan broj r i prirodne brojeve m i n tako da polinom f(x) = (x + 1)^{n} − r bude djeljiv polinomom g(x) = x^{m−1} + ⋯ + x + 1.

34. (OlimpBiH, ′99) Neka je f : [0, 1] → ℝ injektivna funkcija za koju je f(0) + f(1) = 1. Dokazati da postoje x_{1}, x_{2} ∈ [0, 1], (x_{1} ≠ x_{2}) takvi da vrijedi 2f(x_{1}) < f(x_{2}) + \frac{1}{2}. Zatim navesti barem jedno poopćenje ovog rezultata.

35. (USA, ′03) Dokažite da za svaki n ∈ ℕ postoji n-znamenkasti prirodan broj kojemu su sve znamenke neparne i koji je djeljiv sa 5^{n}.

36. (USA, ′03) U konveksnom poligonu duljina svake stranice i dijagonale je racionalan broj. Podijelimo poligon u manje poligone tako što povučemo sve dijagonale. Pokažite da su u malim poligonima duljine svih stranica racionalni brojevi.

37. (USA, ′03) Označimo niz a_{0}, a_{1},…, a_{n} nenegativnih cijelih brojeva sa S_{1}. Iz S_{1} dobivamo niz S_{2} sa članovima b_{0}, b_{1},…, b_{n}, pri čemu je b_{i} broj članova koji prethode a_{i} u S_{1} i različiti su od a_{i} (tako je npr. b_{0} = 0). Analogno iz S_{2} dobivamo S_{3} itd. Dokažite da ako je a_{i} ≤ i za svaki i, onda je S_{n} = S_{n+1}.

38. (USA, ′03) U trokutu ABC kružnica kroz A i B siječe stranice \overline{AC} i \overline{BC} u D i E, respektivno. Pravci AB i DE sjeku se u točki F, a BD i CF u M. Dokažite da je M polovište od CF ako i samo ako je |MB| · |MD| = |MC|^{2}.

39. (USA, ′03) Za pozitivne realne brojeve x, y i z vrijedi \frac{(2x+y+z)^{2}}{2x^{2}+(y+z)^{2}} + \frac{(2y+z+x)^{2}}{2y^{2}+(z+x)^{2}} + \frac{(2z+x+y)^{2}}{2z^{2}+(x+y)^{2}} ≤ 8. Dokažite!

40. (USA, ′03) Uz svaki vrh šesterokuta zapisan je prirodan broj. Jedan potez se sastoji u tome da zamijenimo neki broj sa (nenegativnom) razlikom dvaju brojeva na susjednim vrhovima. Ako je suma početnih šest brojeva jednaka 2003^{2003}, onda uvijek u konačno mnogo poteza možemo postići da uz svaki vrh stoji nula.

41. (USA, ′02) Neka je S skup sa 2002 elementa i P skup svih njegovih podskupova. Dokažite da je za svaki n (0 ≤ n ≤ card(P)) moguće obojati n elemenata od P bijelom, a ostatak crnom bojom, tako da je unija svaka dva elementa od P koji su iste boje takoder te iste boje.

42. (USA, ′02) Trokut ABC zadovoljava jednakost ctg^{2}(α/2)+4ctg^{2}(β/2)+9ctg^{2}(γ/2) = \frac{9(a+b+c)^{2}}{49r^{2}} , gdje je r radijus upisane kružnice, a, b i c su duljine stranica trokuta ABC. Dokažite da je ABC sličan trokutu čije stranice imaju cjelobrojnu duljinu i nadite najmanju takvu trojku prirodnih brojeva.

43. (USA, ′02) Neka je p(x) normirani polinom stupnja n sa realnim koeficijentima. Dokažite da postoje polinomi q(x) i r(x) koji su oba normirani, stupnja n i svi korijeni su im realni brojevi tako da vrijedi p(x) = \frac{q(x)+r(x)}{2}.

44. (USA, ′02) Odredite sve funkcije f : ℝ → ℝ takve da je f(x^{2} − y^{2}) = xf(x) − yf(y) za sve x, y.

45. (USA, ′02) Dokažite da možemo svaka dva prirodna broja veća od 2 “povezati” nizom prirodnih brojeva m = a_{1}, a_{2},…, a_{k+1} = n, tako da je umnožak svaka dva uzastopna člana niza djeljiv sa njihovom sumom. (primjerice, 7, 42, 21, 28, 70, 30, 6, 3 povezuje 7 i 3).

46. (USA, ′02) Tromino je 1 × 3 pravokutnik. Postavljamo tromine na n × n ploču. Svaki tromino mora pokrivati točno 3 cijela kvadratićna polja. Neka je f(n) najmanji broj tromina koje možemo postaviti na ploču tako da nije moguće dodati nijedan više. Pokažite da je za sve n ∈ ℕ \frac{n^{2}}{7} + hn ≤ f(n) ≤ \frac{n^{2}}{5} + kn za neke realne brojeve h i k koji ne ovise o n.

47. (Meksiko, ′03) Iz danog prirodnog broja n dozvoljeni potez je da formiramo 2n + 1 ili 3n + 2. Skup S_{n} sadrži sve brojeve koje možemo dobiti pomoću niza dozvoljenih poteza koji počinju sa n, npr. niz dozvoljenih poteza je 5 → 11 → 35, pa su 5, 11 i 35 elementi od S_{5}. Brojeve m i n zovemo kompatibilni ako je S_{m} ⋂ S_{n} ≠ ∅. Koji elementi skupa {1, 2, 3, …, 2002} su kompatibilni sa 2003?

48. (Kürschák, ′01) Ako je dano 3n − 1 točaka u ravnini, pri čemu nikoje tri nisu kolinearne, pokažite da je moguće naći 2n točaka čija konveksna ljuska nije trokut.

49. (Kürschák, ′01) Dani su prirodni brojevi k i n > \binom{k}{3}, te 3n različitih realnih brojeva a_{i}, b_{i}, c_{i} (i = 1, 2, …, n). Dokažite da postoji barem k + 1 različitih brojeva u skupu {a_{i} + b_{i}, b_{i} + c_{i}, c_{i} + a_{i} | i = 1, 2, …, n}. Pokažite da tvrdnja nije općenito istinita za n = \binom{k}{3}.

50. (Irska, ′03) Dokažite da ne postoji funkcija f : ℝ^{+} → ℝ takva da je f(y) > (y − x)(f(x))^{2} za sve x i y, y > x.

51. (Irska, ′02) Definiramo niz a_{1}, a_{2}, a_{3},… na sljedeći način: a_{1} = a_{2} = a_{3} = 1, a_{n+3} = \frac{a_{n+2}a_{n+1}+2}{a_{n}}. Dokažite da su svi članovi niza cijeli brojevi.

52. (Irska, ′02) Odredite sve funkcije f : ℚ → ℚ takve da je f(x + f(y)) = f(x) + y za sve x, y.

53. (Irska, ′02) Kružnica upisana trokutu ABC dodiruje \overline{BC} u D, a \overline{AC} u E. Duljine stranica su cijeli brojevi i ||AD|^{2} − |BE|^{2}| ≤ 2. Dokažite da je |AC| = |BC|.

54. (Kina, ′04) ABCD je četverokut, a E, F, G, H su točke na stranicama \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA} respektivno, pri čemu vrijedi \frac{|AE|}{|EB|} \frac{|BF |}{|F C|} \frac{|CG|}{|GD|} \frac{|DH|}{|HA|} = 1. Pravac kroz A paralelan s HE, kroz B paralelan s EF, kroz C paralelan s F G i kroz D paralelan s GH čine četverokut E_{1}F_{1}G_{1}H_{1} (E_{1} je presjek pravaca kroz A i B, F_{1} je presjek pravaca kroz B i C itd.). Odredite \frac{|CF_{1}|}{|CG_{1}|} u ovisnosti o \frac{|AH_{1}|}{|AE_{1}|}.

55. (Kina, ′04) Zadan je niz a_{1}, a_{2}, a_{3},… cijelih brojeva i vrijedi a_{1} > 0, a_{n} = ⌊(1 + \frac{2}{n})(a_{n−1} − 1)⌋ + 1. Odredite a_{n} u ovisnosti o a_{1} i n.

56. (Kina, ′04) Neka je S skup od n točaka u ravnini. On sadrži vrhove konveksnog sedmerokuta i za proizvoljan konveksni peterokut s vrhovima u S, postoji točka iz S koja se nalazi unutar njega. Odredite minimalnu vrijednost od n. (U zadatku smatramo da 5 točaka ne čini konveksni peterokut ako neka od njih leži u konveksnoj ljuski preostale 4 točke.)

57. (Kina, ′04) Dan je realan broj a. Niz realnih brojeva x_{0}, x_{1},…, x_{n+1} zadovoljava x_{0} = x_{n+1} = 0 i \frac{x_{i−1}+x_{i+1}}{2} = x_{i} + x_{i}^{3} − a^{3} za i = 1, 2, …, n. Dokažite da je niz potpuno odreden s n i a, te da vrijedi |x_{i}| ≤ |a|.

58. (Kina, ′04) Dan je niz a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n} pozitivnih cijelih brojeva za koje vrijedi ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}} ≤ 1. Dokažite da je

(∑_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}^{2} + x^{2}} )^{2} ≤ \frac{1}{2a_{1}^{2} − 2a_{1} + 2x^{2}} , za sve x ∈ ℝ.

59. (Kina, ′04) Dokažite da se svaki dovoljno velik prirodan broj može izraziti kao suma različitih prirodnih brojeva a_{1}, a_{2},…, a_{2004}, takvih da je a_{i} djeljiv sa a_{i−1} za i = 2, 3, …, 2004.

60. (V Britanija, ′03) Odredite sve cijele brojeve 0 < a < b < c takve da je b − a = c − b i nijedan od brojeva a, b, c nema prosti djelitelj veći od 3.

61. (V Britanija, ′03) Neka je f : ℕ → ℕ bijekcija. Dokažite da postoje tri prirodna broja a_{0} < a_{1} < a_{2} koji čine aritmetički niz i vrijedi f(a_{0}) < f(a_{1}) < f(a_{2}). Postoji li aritmetički niz a_{0} < a_{1} < ⋯ < a_{2003} takav da je f(a_{0}) < f(a_{1}) < ⋯ < f(a_{2003})?

62. (V Britanija, ′03) Neka je ℕ_{0} skup nenegativnih cijelih brojeva i f : ℕ_{0} → ℕ_{0} funkcija takva da je (f(2n + 1))^{2} − (f(2n))^{2} = 6f(n) + 1 i f(2n) ≥ f(n) za sve n ∈ ℕ_{0}. Koliko je brojeva u f(ℕ_{0}) manjih od 2003?

63. (NZeland, 98) Neka je M konveksni poligon u ravnini. Rotacijom ravnine oko neke točke za 90^{∘} slika od M poklopila se sa M. Dokažite da postoje dva kruga čiji su radijusi u omjeru \sqrt{2} : 1 takva da jedan od njih sadrži M, a drugi je sadržan u M.

64. (NZeland, 98) Nožišta visina iz vrhova A, B, C šiljastokutnog trokuta △ABC su točke D, E, F, respektivno. Pravac kroz D paralelan sa EF sječe pravce AC i AB u točkama Q i R, respektivno. Pravac EF sječe BC u P. Dokažite da kružnica opisana trokutu △P QR prolazi polovištem od \overline{BC}.

65. (NZeland, 98) Neka su M, A_{1}, A_{2},…, A_{n} (n ≥ 3) različite točke ravnine za koje vrijedi |A_{1}A_{2}| = |A_{2}A_{3}| = ⋯ = |A_{n−1}A_{n}| = |A_{n}A_{1}|. Dokažite sljedeću nejednakost

\frac{1}{|MA_{1}||MA_{2}|} + \frac{1}{|MA_{2}||MA_{3}|} + ⋯ + \frac{1}{|MA_{n−1}||MA_{n}|} ≥ \frac{1}{|MA_{1}||MA_{n}|},

te odredite kada vrijedi jednakost.

66. (OlimpSlo, ′03) Dokažite da za svaki prirodan broj n postoji k_{n} ∈ ℕ za koji vrijedi: ako u ravnini imamo k_{n} točaka, tako da nikoje tri nisu kolinearne, te spojnice medu njima obojamo sa n boja, uvijek će postojati tri dužine koje tvore trokut i obojane su istom bojom.

67. (OlimpSlo, ′03) Neka je D proizvoljna točka na kateti \overline{AC} pravokutnog trokuta △ABC kojemu je pravi kut pri vrhu C. Kružnice, koje dodiruju pravac AB u točkama A i B, sijeku se u točkama D i E. Dokažite da je ∠BAC = ∠DEC.

68. (OlimpSlo, ′03) Neka je S konačan neprazan podskup skupa ℕ\{1} koji zadovoljava uvjet: za svaki prirodan broj n postoji s ∈ S, takav da je NZD(s, n) = 1 ili NZD(s, n) = s. Dokažite da postoje ne nužno različiti brojevi s, t ∈ S takvi da je NZD(s, t) prost broj.

69. (OlimpSlo, ′03) Neka je p(x) = x^{n} + a_{1}x^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}x + 1 polinom s nenegativnim realnim koeficijentima i n realnih korijena. Dokažite da je p(x) ≥ x^{n} + \binom{n}{1}x^{n−1} + \binom{n}{2}x^{n−2} + ⋯ + \binom{n}{n−1}x + 1, za sve x ≥ 0.