Zadaci za matematičku grupu V. gimnazije 1. razred (TP)

26.10.2000.

(a ± b)^{2} = a^{2} ± 2ab + b^{2}  kvadrat binoma
(a ± b)^{3} = a^{2} ± 3a^{2}b + 3ab^{2} ± b^{3}  kub binoma
(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc  kvadrat trinoma
a^{2} − b^{2} = (a − b)(a + b)  razlika kvadrata
a^{3} ± b^{3} = (a ± b)(a^{2} ∓ ab + b^{2})  zbroj i razlika kubova
a^{n} − b^{n} = (a − b)(a^{n−1} + a^{n−2}b + ⋯ + ab^{n−2} + b^{n−1})  za sve n ∈ ℕ
a^{n} + b^{n} = (a + b)(a^{n−1} − a^{n−2}b + a^{n−3}b^{2} − ⋯ − ab^{n−2} + b^{n−1})  za sve neparne n ∈ ℕ

1. Ako su a, b, c ∈ ℝ takvi da je a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + ac + bc, dokaži da je a = b = c.

2. Dokaži da za a, b, c ∈ ℝ, (a · b · c ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ a), vrijedi

\frac{\frac{a^{2}(c−b)}{bc} + \frac{b^{2}(a−c)}{ac} + \frac{c^{2}(b−a)}{ab}}{\frac{a(c−b)}{bc} + \frac{b(a−c)}{ac} + \frac{c(b−a)}{ab}} = a + b + c.

3. Dokaži sljedeće identitete:

(a^{2} + b^{2})(x^{2} + y^{2}) =(ax − by)^{2} + (bx + ay)^{2}
(Eulerov identitet) (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})(x^{2} + y^{2} + z^{2} + v^{2}) =(ax − by − cz − dv)^{2} + (bx + ay − dz + cv)^{2}+
+ (cx + dy + az − bv)^{2} + (dx − cy + bz + av)^{2}

Kako bi ove identitete izrekao riječima ako su a, b, c, d, x, y, z, v cijeli brojevi?

4. Za koje sve prirodne brojeve n je 4n^{4} + 1 prost broj?

5. Rastavi na faktore izraze:

\begin{matrix}a) 2x^{3} − 3x^{2} + 1, & b) x^{10} + x^{5} + 1, \\ c) 6x^{2} − xy − y^{2} + 7x + 4y − 3, & d) a^{3} + b^{3} + c^{3} − 3abc, \\ e) m^{4} − 5m^{2}n^{2} + 4n^{2}, & f) x^{8} + 98x^{4}y^{4} + y^{8}. \end{matrix}

6. Dokažite da za realne brojeve a ≠ b ≠ c ≠ a vrijedi sljedeći identitet

\frac{a^{3}}{(a − b)(a − c)} + \frac{b^{3}}{(b − c)(b − a)} + \frac{c^{3}}{(c − a)(c − b)} = a + b + c.

7. Neka su x, y i z realni brojevi takvi da je x + y + z = xyz. Dokažite da vrijedi identitet: x(1 − y^{2})(1 − z^{2}) + y(1 − x^{2})(1 − z^{2}) + z(1 − x^{2})(1 − y^{2}) = xyz.

8. Dokažite identitet

\frac{a_{1}}{a_{2}(a_{1} + a_{2})} + \frac{a_{2}}{a_{3}(a_{2} + a_{3})} + ⋯ + \frac{a_{n}}{a_{1}(a_{n} + a_{1})} =

= \frac{a_{2}}{a_{1}(a_{1} + a_{2})} + \frac{a_{3}}{a_{2}(a_{2} + a_{3})} + ⋯ + \frac{a_{1}}{a_{n}(a_{n} + a_{1})}.

9. Ako su a, b i c realni brojevi, takvi da je a ≠ b ≠ c ≠ a, dokažite da je

\frac{b − c}{(a − b)(a − c)} + \frac{c − a}{(b − c)(b − a)} + \frac{a − b}{(c − a)(c − b)} = \frac{2}{a − b} + \frac{2}{b − c} + \frac{2}{c − a}.

10. Ako za pozitivne brojeve a, b, c vrijedi jednakost 2b^{2} = a^{2} + c^{2} dokazati da je tada

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{2}{c + a}.

11. Neka su a, b i c realni brojevi i a ≠ b ≠ c ≠ a. Dokazati da je a^{4}(b − c) + b^{4}(c − a) + c^{4}(a − b) ≠ 0.

12. Ako vrijedi \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 i \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0, dokaži da je (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} + (\frac{z}{c} )^{2} = 1.

13. Ako racionalni brojevi a, b i c zadovoljavaju jednakost

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}, (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, a + b + c ≠ 0),

onda je zbroj neka dva od njih jednak nuli. Dokazati!

14. Skratite razlomak

\frac{bc(c^{2} − b^{2}) + ac(a^{2} − c^{2}) + ab(b^{2} − a^{2})}{b^{2}c^{2}(c − b) + a^{2}c^{2}(a − c) + a^{2}b^{2}(b − a)},

gdje su a, b i c različiti pozitivni brojevi.

15. Ako je

\frac{aa_{1} + bb_{1} + cc_{1}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}}} = 1

i brojevi a, b, c, a_{1}, b_{1}, c_{1} svi različiti od nule, dokazati da je

\frac{a}{a_{1}} = \frac{b}{b_{1}} = \frac{c}{c_{1}} .

16. Dokažite

\begin{matrix}(1^{4} + \frac{1}{4}) & (3^{4} + \frac{1}{4}) & (5^{4} + \frac{1}{4}) & ⋯ & (11^{4} + \frac{1}{4}) \\ (2^{4} + \frac{1}{4}) & (4^{4} + \frac{1}{4}) & (6^{4} + \frac{1}{4}) & ⋯ & (12^{4} + \frac{1}{4}) \end{matrix} = \frac{1}{313}.

(Uputa: rastavite na faktore izraz n^{4} + 4)

17. Ako za brojeve a, b, c ∈ ℝ vrijedi a + b + c = 0 i a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 izračunaj a^{4} + b^{4} + c^{4}.

18. Ako je x + \frac{1}{x} = 1, koliko je x^{7} + \frac{1}{x^{7}} ?

19. Da li jednadžba y^{2} = x^{2} + 1990 ima cjelobrojno rješenje?

20. Dokažite da jednadžba 5x^{2} − 4y^{2} = 1999 nema nijedno cjelobrojno rješenje.

21. Neka su u i v cijeli brojevi takvi da vrijedi da je u^{2} + uv + v^{2} djeljivo s 9. Dokaži da su tada i u i v djeljivi s 3.

22. Koliko pozitivnih djelitelja ima broj 180?

23. S koliko 0 završava 50!^{1}?

24. U zapisu

35! = 1033314x966386144929y666513375232z0000000

odredite znamenke x, y i z.

25. Za koje prirodne brojeve je suma znamenki broja n! jednaka 9?

26. Posljednja znamenka nekog broja je 8. Ako se ona premjesti na prvo mjesto dobije se 4 puta veći broj. Koji je najmanji takav broj?

1n! = 1 · 2 · 3 ⋯ (n − 1) · n, čitaj “en faktorijela”.