Nenad Antonić & Neven Balenović Parcijalne diferencijalne jednadžbe

Fourierova pretvorba i fundamentalna rješenja

1. Schwartzove oznake i prostori funkcija

Pri proučavanju kompleksnih funkcija definiranih na R^{d}, u : R^{d} ⟶ C, osobito su pogodne oznake koje je uveo Laurent Schwartz. Multiindeks je d-torka nenegativnih cijelih brojeva, α = (α_{1}, …, α_{d}) ∈ N_{0}^{d}, za koju definiramo duljinu

|α| := α_{1} + ⋯ + α_{d}

i faktorijel

α! := α_{1}! ⋯ α_{d}! .

Na skupu N_{0}^{d} multiindeksa imamo parcijalan uredaj: α ≤ β ako je α_{1} ≤ β_{1}, …, α_{d} ≤ β_{d}.

Za vektor x = (x^{1}, …, x^{d}) ∈ R^{d} i α ∈ N_{0}^{d} definiramo potenciranje x^{α} := (x^{1})^{α_{1}} ⋯ (x^{d})^{α_{d}}. Općenito, polinom m-tog stupnja u d varijabli x^{1}, …, x^{d} zapisujemo u obliku

P (x) = ∑_{|α|≤m} c_{α}x^{α} ,

pri čemu su c_{α} ∈ C koeficijenti polinoma. Binomne koeficijente definiramo formulom:

\binom{α}{β} := \{ \begin{matrix}\frac{α!}{β!(α−β)!} & za β ≤ α \\ 0 & inače . \end{matrix}

Multiindeksi su zgodni zbog toga što njihovom uporabom uobičajene formule iz jedne dimenzije u sličnom obliku možemo zapisati i u R^{d}. Na primjer, vrijedi sljedeća Binomna formula:

(∀ α ∈ N_{0}^{d}) (∀ x, y ∈ R^{d}) (x + y)^{α} = ∑_{β≤α} \binom{α}{β}x^{β}y^{α−β} .

Za x^{1}, …, x^{d} ∈ R i prirodan broj m vrijedi i multinomna formula:

(x^{1} + … + x^{d})^{m} = ∑_{|α|=m} \frac{m!}{α!}x^{α} .

Definirajmo derivaciju reda α s

∂^{α} := ∂_{1}^{α_{1}} ⋯ ∂_{d}^{α_{d}} = \frac{∂^{|α|}}{∂(x^{1})^{α_{1}} ⋯ ∂(x^{d})^{α_{d}}} .

Često ćemo, umjesto gornje, koristiti sljedeću derivaciju:

(1)  D_{j} := \frac{1}{2πi}∂_{j} , D^{α} := (\frac{1}{2πi})^{|α|} ∂^{α} .

Ovako definirana derivacija bit će osobito pogodna pri izučavanju Fourierove pretvorbe.

Po Schwarzovom pravilu, ako je |α| ≤ k, za funkciju u klase C^{k} je ∂^{α}u neprekinuta funkcija, a derivacija ne ovisi o redoslijedu deriviranja. Lako se dokazuju sljedeće dobro poznate formule iz jednodimenzionalne analize:

Taylorova formula: Ako je u ∈ C^{k}(R^{d}; C), onda vrijedi

(∀ x, y ∈ R^{d}) u(x + y) = ∑_{|α|<k} \frac{y^{α}}{α!} ∂^{α}u(x) + ∑_{|α|=k} k \frac{y^{α}}{α!} ∫_{0}^{1}(1 − t)^{k−1}∂^{α}u(x + ty) dt .

10. veljače 1996.

Fourierova pretvorba i fundamentalna rješenja

Leibnitzova formula:

(∀ α ∈ N_{0}^{d}) (∀ u, v ∈ C^{|α|}(R^{d}; C)) ∂^{α}(uv) = ∑_{β≤α} \binom{α}{β}(∂^{β}u)(∂^{α−β}v) .

Redovito ćemo koristiti sljedeću oznaku: Ako je φ funkcija definirana na R^{d}, stavljamo φ̃(x) := φ(−x). Ova će pokrata biti vrlo korisna u dualnim produktima.

Podsjetimo se da je za p ∈ [1, ∞] Lebesgueov prostor L^{p}(R^{d}) definiran kao Banachov prostor svih (klasa skoro svuda jednakih) izmjerivih funkcija na R^{d}, s normom

∥u∥_{L^{p}} := (∫_{R^{d}} |u(x)|^{p} dx)^{1/p} , p ∈ [1, ∞⟩
∥u∥_{L^{∞}} := inf{M ∈ R : |u(x)| ≤ M(ss x)} .

Uočimo da su za ograničenu neprekinutu funkciju φ norme u prostoru L^{∞} i prostoru C jednake: ∥φ∥_{C}=∥φ∥_{L^{∞}}.

Za izmjerive funkcije u i v takve da je uv̄ ∈ L^{1}(R^{d}) pišemo ⟨u, v⟩ := ∫_{R^{d}} u(x)v̄(x) dx. Ovaj produkt je polulinearan (seskvilinearan, tj. linearan po u i antilinearan po v). Posebno, za u, v ∈ L^{2}(R^{d}) gornji produkt je skalaran produkt u Hilbertovom prostoru L^{2}(R^{d}).

Za indeks q, za koji vrijedi \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, kažemo da je konjugiran indeksu p, te ga u daljnjem označavamo s p′.

Do kraja odjeljka S će označavati zatvorenu prugu {z ∈ C : 0 ≤ Re z ≤ 1}, a X kompleksan vektorski prostor.

Teorem 1. (Hadamardov o tri pravca) Neka je φ kompleksna funkcija, ograničena i neprekinuta na S, analitička na unutrašnjosti od S, za koju postoje pozitivne konstante M_{0} i M_{1} tako da vrijede ocjene:

(2)  \begin{aligned}|φ(z)| & ≤ M_{0}, Re z = 0 i \\ |φ(z)| & ≤ M_{1}, Re z = 1 . \end{aligned}

Tada na čitavoj pruzi vrijedi

(3)  |φ(z)| ≤ M_{0}^{1−Re z}M_{1}^{Re z} .

Dem. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da vrijedi M_{0} = M_{1} = 1.

Zaista, ukoliko definiramo funkciju ψ formulom:

ψ(z) := φ(z)M_{0}^{z−1}M_{1}^{−z},

onda se lagano vidi da ψ zadovoljava sljedeću ocjenu:

(4)  |ψ(z)| ≤ 1, z ∈ Fr S .

Obrnuto, ako funkcija ψ, koja je ograničena i neprekinuta na S, te analitička na unutrašnjosti od S, zadovoljava ocjenu (4), onda funkcija φ definirana s

φ(z) := ψ(z)M_{0}^{1−z}M_{1}^{z}.

zadovoljava ocjenu (2). Dokažimo, stoga, teorem u slučaju funkcije φ ograničene jedinicom na rubu pruge S.

Ako φ(z) ⟶ 0 za |z| ⟶ ∞, onda je |φ(z)| ≤ 1 po principu maksimuma modula. U suprotnom, za n ∈ N definiramo niz funkcija φ_{n} formulom:

φ_{n}(z) := φ(z)e^{(z^{2}−1)/n}.

Uz ovakve φ_{n}, zbog Re z ≤ 1 imamo

(5)  |φ_{n}(z)| = |φ(z)|e^{(Re z^{2}−1)/n} ≤ |φ(z)|e^{−(Im z)^{2}/n},

pa zbog ograničenosti funkcije φ na S vrijedi

(∀ n ∈ N) lim_{|z|→∞} φ_{n}(z) ⟶ 0 .

No, sada je φ_{n}, za svaki n, funkcija iz prvog slučaja, pa zadovoljava ocjenu |φ_{n}(z)| ≤ 1, z ∈ S. Medutim, φ_{n}(z) ⟶ φ(z), za z ∈ S pa prijelazom na limes dobivamo željeni rezultat.

Q.E.D.

Napomena. Analogno, ili koristeći teorem 1, može se dokazati i sljedeća generalizacija Hadamardovog teorema:

Neka je φ kompleksna funkcija, ograničena i neprekinuta na pruzi S_{1} := {z ∈ C : a ≤ Re z ≤ b}, analitička na unutrašnjosti od S_{1}, za koju postoje pozitivne konstante M_{0} i M_{1} tako da vrijede ocjene:

\begin{aligned}|φ(z)| & ≤ M_{0}, Re z = a i \\ |φ(z)| & ≤ M_{1}, Re z = b . \end{aligned}

Tada na čitavom S_{1} vrijedi

(6)  |φ(z)| ≤ M_{0}^{(b−Re z)/(b−a)}M_{1}^{(Re z−a)/(b−a)} .

Napomena. Prethodni teorem možemo poopćiti i na situaciju gdje φ poprima vrijednosti u kompleksnom konačno dimenzionalnom normiranom prostoru. Ako je X kompleksan Banachov prostor i U ⊆ C otvoren skup, onda za funkciju φ : U ⟶ X kažemo da je analitička (holomorfna) u točki z_{0} ∈ U, ukoliko φ ima derivaciju po normi (tzv. jaku derivaciju) u točki z_{0}. Funkcija φ je analitička na U ukoliko je analitička u svakoj točki od U. Pored gornje, jake analitičnosti, definira se i tzv. slaba analitičnost funkcije φ : U ⟶ X: Kažemo da je φ slabo analitička ukoliko je za svaki f ∈ X′ funkcija z ↦_{X′} ⟨ f, x(z) ⟩_{X} analitička. Naravno, jaka analitičnost povlači slabu; medutim, vrijedi i obrat, što je jedna od značajnijih posljedica Banach–Steinhausovog teorema. Hadamardov teorem vrijedi i za funkcije s vrijednostima u Banachovim prostorima. Dokaz je gotovo isti: apsolutne vrijednosti valja zamijeniti normama; stoga u daljnjem tekstu koristimo tu verziju Hadamardovog teorema bez posebne napomene.

Napomena. Iz (5) se vidi da uvjet ograničenosti na S funkcije φ možemo oslabiti i tražiti npr. da φ ima najviše eksponencijalan rast kada Im z ⟶ ∞. Svi rezultati koji se oslanjaju na teorem 1 i dalje će vrijediti uz ovu, oslabljenu, pretpostavku.

Ilustrirajmo najprije primjenu Hadamardovog teorema u dokazu Hölderove nejednakosti.

Teorem 2. (Hölderova nejednakost) Neka je 1 ≤ p ≤ ∞, a f ∈ L^{p}(M, μ) i g ∈ L^{p′}(M, μ) kompleksne funkcije na prostoru mjere (M, μ). Tada je fg ∈ L^{1}(M, μ) i vrijedi nejednakost

∥fg∥_{L^{1}}≤∥f∥_{L^{p}}∥g∥_{L^{p′}} .

Dem. Za p = ∞ tvrdnja je očigledna. Budući da su jednostavne funkcije guste u L^{p}(M, μ) za 1 ≤ p < ∞, tvrdnju je u tom slučaju dovoljno pokazati za nenegativne jednostavne funkcije f i g. Definirajmo

(7)  F (z) := ∫_{M} f^{pz}g^{p′(1−z)} dμ .

F je očigledno neprekinuta na pruzi S i analitička u njenoj nutrini. Nadalje, vrijedi

|F (z)| ≤ ∫_{M} f^{pRe z}g^{p′(1−Re z)} dμ ,

pa je F i ograničena na S.

Ako je Re z = 0, onda iz prethodnog slijedi nejednakost

|F (z)| ≤ ∫_{M} g^{p′} dμ =∥g∥_{L^{p′}}^{p′} ,

dok za Re z = 1 vrijedi

|F (z)| ≤ ∫_{M} f^{p} dμ =∥f∥_{L^{p}}^{p} .

Iz prethodnih nejednakosti i Hadamardovog teorema o tri pravca slijedi ocjena (z = x + iy):

(8)  (∀ x ∈ [0, 1]) |F (z)| ≤∥f∥_{L^{p}}^{px}∥g∥_{L^{p′}}^{p′(1−x)} .

Posebno, za z = 1/p dobivamo F (1/p) ≤∥f∥_{L^{p}}∥g∥_{L^{p′}}.

Q.E.D.

Korolar 1. Neka su p, q i r ≥ 1 takvi da vrijedi 1/p+1/q = 1/r. Neka su, nadalje, f ∈ L^{p}(M, μ) i g ∈ L^{q}(M, μ) kompleksne funkcije na prostoru mjere (M, μ). Tada je fg ∈ L^{r}(M, μ) i vrijedi nejednakost

(9)  ∥fg∥_{L^{r}}≤∥f∥_{L^{p}}∥g∥_{L^{q}} .

Dem. Ponovno je jedini netrivijalan slučaj kada su i p i q realni brojevi (dakle, manji od beskonačno). Uz funkciju F definiranu kao u (7) (s q umjesto p′) imamo

(∀ y ∈ [0, 1]) |F (iy)| ≤∥g∥_{L^{q}}^{q} & |F (1 + iy)| ≤∥f∥_{L^{p}}^{p} .

Odavdje i iz Hadamardovog teorema slijedi analogna ocjena kao u (8). Posebno, za z = r/p dobivamo tvrdnju.

Q.E.D.

Korolar 2. (Interpolacijska nejednakost) Neka su 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, a f ∈ L^{p}(M, μ) ∩ L^{q}(M, μ) kompleksna funkcija na prostoru mjere (M, μ). Tada je za svaki r, p ≤ r ≤ q, f ∈ L^{r}(M, μ), te vrijedi sljedeća nejednakost:

(10)  ∥f∥_{L^{r}}≤∥f∥_{L^{p}}^{α}∥f∥_{L^{q}}^{1−α} ,

pri čemu je α ∈ [0, 1] takav da vrijedi 1/r = α/p + (1 − α)/q. Dem. Neka je q < ∞. Uz p_{1} := p/α i q_{1} := q/(1 − α) imamo 1/p_{1} + 1/q_{1} = 1/r ≤ 1. Tvrdnja slijedi primjenom korolara 1 na funkcije u := |f|^{α} i v := |f|^{(1−α)}. U slučaju q = ∞, tvrdnju dobivamo izravnim računom.

Q.E.D.

Na kraju ovog odjeljka dokažimo i jednu jednostavnu lemu.

Lema 1. Integrali

∫_{R^{d}}(1 + |x|)^{−s} dx  i  ∫_{R^{d}} (1 + |x|^{2})^{−s/2} dx

su konvergentni ako i samo ako je s > d. Posebno, ∫_{R^{d}} (1 + |x|^{2})^{−d} dx ≤ π^{d}.

Dem. Označimo s I_{1} i I_{2} redom gornje integrale. Za s > 0 i x ∈ R^{d} vrijedi

\begin{aligned}(1 + |x|)^{−s} & = (1 + 2|x| + |x|^{2})^{−s/2} ≤ (1 + |x|^{2})^{−s/2} \\ & ≤ (1 + |x^{1}|^{2})^{−s/2d} (1 + |x^{2}|^{2})^{−s/2d} … (1 + |x^{d}|^{2})^{−s/2d} , \end{aligned}

pa se problem svodi na konvergenciju integrala I = ∫_{R} (1 + t^{2})^{−s/2d} dt, u jednoj dimenziji. Neposrednom integracijom zaključujemo da s > d povlači njegovu konvergenciju, pa time i konvergenciju integrala I_{2}, jer očito vrijedi I_{2} ≤ I^{d}. Kako je I_{1} ≤ I_{2}, to s > d povlači da i on konvergira.

S druge pak strane, prijelazom u polarne koordinate zaključujemo da, ukoliko je s < d, integral I_{1} (pa stoga i I_{2}) divergira. Posljednja je tvrdnja trivijalna.

Q.E.D.

Zadaci.

1. Dokazati binomnu, multinomnu, Taylorovu i Leibnitzovu formulu.

2. Dokazati sljedeće formule:

(a)  v∂^{α}u = ∑_{β≤α}(−1)^{|β|}\binom{α}{β}∂^{α−β} (u∂^{β}v) .

(b)  ((∀ k = 1, …, d)|x^{k}| < 1) ⟹ ∑_{α∈N_{0}^{d}} x^{α} = \frac{1}{(1 − x^{1}) ⋯ (1 − x^{d})} .

(c)  |x^{1}| + ⋯ + |x^{d}| < 1 ⟹ ∑_{α∈N_{0}^{d}} \frac{|α|!}{α!}x^{α} = \frac{1}{1 − x^{1} − ⋯ − x^{d}} .

(d)  ∑_{|β|=n} \binom{α}{β} = \binom{|α|}{n} .

3. (Banachova algebra holomorfnih funkcija) Želimo pokazati još neke formule za multiindekse i s pomoću njih konstruirati Banachovu algebru (Banachov vektorski prostor s neprekinutim množenjem vektora—isp. algebru kvadratnih matrica), koja se koristi pri proučavanju nelinearnih zadaća s holomorfnim funkcijama.

(a) Koristeći simetriju pokazati da za svaki n ∈ N_{0} vrijedi nejednakost:

∑_{j=0}^{n} \frac{1}{(j + 1)^{2}} \frac{1}{(n − j + 1)^{2}} ≤ \frac{16}{(n + 1)^{2}} .

(b) Pogledajmo prostor formalnih redova potencija

C[[z]] := \{u : u(z) = ∑_{α∈N_{0}^{d}} u_{α} \frac{z^{α}}{α!} & u_{α} ∈ C\}

opskrbljen formalnim produktom. Za u i v iz C[[z]] definiramo njihov produkt w = uv formulom za koeficijente:

w_{α} := ∑_{β+γ=α} u_{β}v_{γ} = ∑_{β≤α} \binom{α}{β}u_{β}v_{α−β} ,

pri čemu su, naravno:

u(z) = ∑_{α∈N_{0}^{d}} u_{α} \frac{z^{α}}{α!} , v(z) = ∑_{α∈N_{0}^{d}} v_{α} \frac{z^{α}}{α!} i w(z) = ∑_{α∈N_{0}^{d}} w_{α} \frac{z^{α}}{α!} .

Uz uobičajeno zbrajanje i množenje skalarom formalnih redova, C[[z]] je očigledno kompleksan vektorski prostor; s upravo definiranim množenjem C[[z]] je i algebra.

Definirajmo normu:

∥u∥_{B}:= sup\{\frac{|u_{α}|(|α| + 1)^{2}}{|α|!} : α ∈ N_{0}^{d}\} .

Izračunati normu za monom: ∥\frac{z^{β}}{β!}∥_{B}.

Pokazati da je B := {u ∈ C[[z]] :∥u∥_{B}< ∞} vektorski potprostor C[[z]], da je ∥·∥_{B} zaista norma na B, te da je (B, ∥·∥_{B}) Banachov vektorski prostor. Pokazati da je za u, v ∈ B i uv ∈ B, s normom ∥uv∥_{B}≤ 16 ∥u∥_{B}∥v∥_{B}; dakle, B je Banachova algebra.

(c) Pokazati da u ∈ B povlači da je red ∑_{α∈N_{0}^{d}} u_{α} \frac{z^{α}}{α!} apsolutno konvergentan na ∥z∥_{1}< 1. Obratno, ako je taj red apsolutno konvergentan na ∥z∥_{∞}< 1 + ε, za neko ε > 0, pokazati da je u ∈ B.

Općenitije, pokazati da ako je red u dvije varijable F (z, Z) = ∑_{α∈N_{0}^{d},β∈N_{0}^{n}} F_{αβ} \frac{z^{α}}{α!} \frac{Z^{β}}{β!} konvergentan na max\{∥z∥_{∞}, ∥Z∥_{∞}\} < 1+ε, za neki ε > 0; te ako je U = (u_{1}, …, u_{n}) ∈ B^{n}, s ∥u_{k}∥_{B}≤ \frac{1}{16} za svaki k = 1, …, n, onda je funkcija f(z) := F (z, U(z)) takoder iz algebre B. [Napomena. Ovdje smo koristili ad hoc oznake za norme na euklidskom prostoru: ∥ z ∥_{1}:= ∑_{k=1}^{d} |z^{k}| i ∥z∥_{∞}:= max{|z^{1}|, …, |z^{d}|}. Iste su oznake korištene za odgovarajuće norme na R^{d} i R^{n}.] 4. (a) Neka je K ⊆ R^{d} kompaktan skup i m ∈ N. Pokazati da je prostor C^{m}(K; C) opskrbljen normom:

∥f∥_{C^{m}(K;C)}:= sup_{x∈K} ∑_{|α|≤m} |D^{α}f|

Banachov prostor, kao i da je ta norma ekvivalentna onoj koja bi se dobila zamjenom sume supremumom u definiciji.

(b) Da li je prostor funkcija f ∈ C^{m}(U; C) takvih da je ∥f ∥_{C^{m}(U;C)}< ∞ Banachov, za otvoren skup U ⊆ R^{d}? Isto pitanje uz normu:

∥f∥:= ( ∑_{|α|≤m} ∫_{U} |D^{α}f|^{p} dx)^{1/p} ,

pri čemu je p ∈ ⟨0, ∞⟩. Obrazložiti odgovor.

5. Neka je U ⊆ R^{d}, a λ ∈ R^{+}. Ograničena funkcija f : U ⟶ C je λ-Hölder neprekinuta ako

(∃ C ∈ R^{+})(∀ x, y ∈ U) |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|^{λ} .

Prostor svih λ-Hölder neprekinutih funkcija na U označujemo s C^{0,λ}(U). Općenitije, s C^{m,λ}(U) označujemo prostor svih m-puta neprekinuto diferencijabilnih i ograničenih (zajedno s prvih m derivacija) funkcija na U čije su derivacije m-tog reda λ-Hölder neprekinute.

Posebno definiramo C^{0,0}(U) := C(U) i C^{m,0}(U) := C^{m}(U). Funkcije iz prostora C^{0,1}(U) su upravo Lipschitzove funkcije.

(a) Pokazati da su konstante jedine λ-Hölder neprekinute funkcije, za λ > 1.

(b) Pokazati da je C^{m,λ}(U) Banachov prostor s normom

∥f∥_{C^{m,λ}(U)}:= sup_{|α|≤m} sup_{x∈U} |D^{α}f(x)| + sup_{|α|≤m} sup_{x∈U} sup_{y∈U\\{x\}} \frac{|D^{α}f(x) − D^{α}f(y)|}{|x − y|^{λ}} .

(c) Pokazati da je C^{m,λ}(U) Banachova algebra. [ Napomena: Ukoliko proučavamo Hölder neprekinute funkcije na zatvaraču otvorenog skupa U, zahtjev ograničenosti može se ispustiti.]

6. S C([0, T]; E) označimo vektorski prostor neprekinutih funkcija na segmentu [0, T], s vrijednostima u normiranom prostoru E.

(a) Pokazati da je C([0, T]; E) normiran prostor, ako je norma zadana s

∥f∥_{C([0,T];E)}:= sup_{t∈[0,T]} ∥g(t)∥_{E} .

(b) Ako je E Banachov, odnosno separabilan prostor, pokazati da je i C([0, T]; E) takav.

2. Schwartzov prostor S. Distribucije

Pretpostavimo da na vektorskom prostoru X umjesto jedne norme imamo čitavu familiju normi (ρ_{α})_{α∈A}, pri čemu je A neki skup indeksa. Željeli bismo na prirodan način definirati topologiju na X. Nameće se analogija s uobičajenim; reći ćemo da (hiper)niz (x_{β}) konvergira k x ukoliko

(11)  (∀ α ∈ A) ρ_{α}(x_{β} − x) ⟶ 0 .

Željeli bismo oslabiti gornju definiciju u smislu da oslabimo uvjete na familiju (ρ_{α})_{α∈A}. Podsjetimo se da je u normiranom prostoru uvjet ∥x∥= 0 ⟹ x = 0 nužan da bi limesi bili jedinstveni, drugim riječima, da bi inducirana topologija bila Hausdorffova. Pretpostavimo da je (ρ_{α})_{α∈A} familija funkcija koje zadovoljavaju sva svojstva norme, osim da je x = 0 kada god je ρ_{α}(x) = 0 za neki α. Umjesto toga pretpostavimo da je x = 0 samo ako je ρ_{α}(x) = 0 za svaki α. Pokazuje se da su i u tom slučaju limesi jedinstveni u topologiji u kojoj je konvergencija odredena s (11).

Definicija. Polunorma na vektorskom prostoru X, nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva, je funkcija ρ : X ⟶ R_{0}^{+} koja ima sljedeća svojstva

(a) subaditivnost: (∀ x, y ∈ X) ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y)

(b) apsolutna subhomogenost: (∀ x ∈ X)(∀ λ ∈ Φ) ρ(λx) ≤ |λ|ρ(x).

Kažemo da familija polunormi (ρ_{α})_{α∈A} razlikuje točke ukoliko vrijedi

(c) ρ_{α}(x) = 0 za svaki α ∈ A povlači x = 0.

Lokalno konveksan prostor je realan ili kompleksan vektorski prostor X, zajedno s familijom polunormi (ρ_{α})_{α∈A} koja razlikuje točke. Prirodna topologija na lokalno konveksnom prostoru je najslabija topologija u kojoj su sve polunorme ρ_{α} neprekinute.

U toj su topologiji operacije zbrajanja i množenja skalarom takoder neprekinute.

Pojam Cauchyjevog (hiper)niza prirodno se prenosi i na lokalno konveksne prostore. Kažemo da je (hiper)niz u lokalno konveksnom prostoru X Cauchyjev ukoliko za svaki ε > 0 i svaki α ∈ A postoji indeks (hiper)niza β_{0} takav je ρ_{α}(x_{β} − x_{γ}) < ε čim je β, γ > β_{0}. Prostor X je potpun ako svaki njegov Cauchyjev hiperniz konvergira.

Linearan operator medu normiranim prostorima X i Y je neprekinut ako i samo ako je ograničen. Sličan rezultat vrijedi i u slučaju lokalno konveksnih prostora:

Teorem 3. Neka su X i Y lokalno konveksni prostori s familijama polunormi (ρ_{α})_{α∈A} i (p_{β})_{β∈B}. Tada je linearno preslikavanje T : X ⟶ Y neprekinuto ako i samo ako za svaki β ∈ B postoje n ∈ N; α_{1}, …, α_{n} ∈ A, te konstanta C > 0 tako da vrijedi

(12)  p_{β}(T x) ≤ C (ρ_{α_{1}}(x) + … + ρ_{α_{n}}(x)) .

Ako je pak familija (ρ_{α})_{α∈A} usmjerena (drugim riječima, za svaki par indeksa α, β ∈ A, postoji γ ∈ A i C > 0, tako da vrijedi ρ_{α}(x) + ρ_{β}(x) ≤ Cρ_{γ}(x), x ∈ X), onda je linearno preslikavanje T : X ⟶ Y neprekinuto ako i samo ako:

(13)  (∀ β ∈ B)(∃ α ∈ A) p_{β}(T x) ≤ Cρ_{α}(x) .

Kako lokalno konveksni prostori ne moraju biti metrizabilni, od interesa je identificirati one koji jesu. Sljedeći teorem daje jednu karakterizaciju metrizabilnih prostora u klasi svih lokalno konveksnih topoloških vektorskih prostora ([Reed-Simon II], str. 131):

Teorem 4. Neka je X lokalno konveksan prostor. Tada su sljedeće tvrdnje ekvivalentne:

(a) X je metrizabilan.

(b) 0 ima prebrojivu bazu okolina.

(c) Topologija na X je generirana nekom prebrojivom familijom polunormi.

Potpun metrizabilan lokalno konveksan topološki vektorski prostor naziva se Fréchetov prostor.

Cilj ovog odjeljka je uvodenje posebnog prostora brzo opadajućih funkcija S i njegovog topološkog duala, koji se sastoji od temperiranih distribucija. Za ograničenu neprekinutu funkciju φ na R^{d} je ∥φ∥_{C}:= sup_{x∈R^{d}} |φ(x)|. Definirajmo familije polunormi na sljedeći način:

(14)  \begin{aligned}∥φ∥_{α,β} & :=∥x^{α}∂^{β}φ∥_{C} , \\ ∥φ∥_{k} & := sup_{|α+β|≤k} ∥φ∥_{α,β} . \end{aligned}

Schwartzov prostor S je prostor svih C^{∞} funkcija φ za koje je ∥φ∥_{k}< ∞, za svaki k ∈ N_{0}. Lako se vidi da je familija (∥·∥_{k}, k ∈ N_{0}) zaista familija polunormi koja razlikuje točke. Prema teoremu 4 S je metrizabilan; na primjer, udaljenost možemo zadati s

d(φ, ψ) := ∑_{k=0}^{∞} 2^{−k} \frac{∥φ − ψ∥_{k}}{1+ ∥φ − ψ∥_{k}} .

Nenad Antonić & Neven Balenović 7

Kako je 0 < a/(a + 1) < 1, za svaki a > 0, to slijedi da za svaki par funkcija φ i ψ iz S gornji red apsolutno konvergira i suma mu je manja ili jednaka 1. Da je d zaista metrika slijedi iz činjenice da familija ∥·∥_{k} razlikuje točke pa je tada d(φ, ψ) = 0 ekvivalentno s φ = ψ. Preostala svojstva metrike su očito zadovoljena; stoga je uz gornju razdaljinsku funkciju S ograničen metrički prostor.

Štoviše, prostor S je potpun; naime, vrijedi sljedeći Teorem 5. Schwartzov prostor S, zajedno s prirodnom topologijom danom s pomoću familije polunormi (∥·∥_{k}, k ∈ N_{0}), je Fréchetov prostor. Dem. Pretpostavimo da je (f_{m}) Cauchyjev niz u svakoj polunormi ∥·∥_{k}. Tada je on Cauchyjev i u svakoj polunormi ∥φ∥_{α,β}, pa stoga x^{α}∂^{β}f_{m} ⟶ g_{α,β} jednoliko za m ⟶ ∞, budući da je C(\overline{R^{d}}) potpun. Dovoljno je dokazati da je funkcija g := g_{0,0} klase C^{∞}, te da je g_{α,β} = x^{α}∂^{β}g, jer je tada g ∈ S i lim_{m} f_{m} = g u topologiji na S. Dokažimo to u slučaju prve derivacije, u jednoj dimenziji (opći slučaj ide potpuno analogno). Zanamo da za f_{m} vrijedi

f_{m}(x) := f_{m}(0) + ∫_{0}^{x} f′_{m}(t) dt .

Budući da f′_{m} ⟶ g_{0,1} uniformno, to za g vrijedi

g(x) := g(0) + ∫_{0}^{x} g_{0,1}(t) dt ,

pa je g klase C^{1} i vrijedi g′ = g_{0,1}.

Q.E.D.

Prostor S je očito zatvoren na operacije deriviranja i množenja polinomom. Medutim, vrijedi i više: S je zatvoren na množenje s C^{∞} funkcijama najviše polinomijalnog rasta u beskonačnosti, koje označujemo s O. Točnije, skup O definiramo na sljedeći način: φ ∈ O ⊆ C^{∞}(R^{d}) ako

(∀ α ∈ N_{0}^{d})(∃ C ∈ R^{+})(∃ n ∈ N)(∀ x ∈ R^{d}) |∂^{α}φ(x)| ≤ C(1 + |x|^{2})^{n} .

Teorem 6. Vrijede sljedeće tvrdnje:

a) neprekinutost deriviranja:

(∀ α ∈ N_{0}^{d})(∀ φ ∈ S)(∀ k ∈ N_{0}) ∥∂^{α}φ∥_{k}≤∥φ∥_{k+|α|} .

b) neprekinutost množenja s ψ ∈ O:

(∀ ψ ∈ O)(∀ k ∈ N_{0})(∃ C_{k} ∈ R^{+})(∃ n_{k} ∈ N)(∀ φ ∈ S) ∥ψφ∥_{k}≤ C_{k} ∥φ∥_{k+2n_{k}} .

Posebno, za ψ(x) = x^{α} vrijedi ∥x^{α}φ∥_{k}≤ 2^{k}α! ∥φ∥_{k+|α|}. Dem. Jedina netrivijalna tvrdnja jest neprekinutost množenja funkcijom polinomijalnog rasta, drugim riječima, nejednakost u (b). Neka su ψ ∈ O i φ ∈ S. Za multiindekse α i β, koristeći Leibnitzovu formulu, imamo sljedeće:

(15)  ∥ψφ∥_{α,β}=∥x^{α}∂^{β}(ψφ)∥_{C}≤ ∑_{γ≤β} \binom{β}{γ} ∥x^{α}(∂^{γ}ψ)(∂^{β−γ}φ)∥_{C} .

Ako vrijedi |α + β| ≤ k onda je i |γ| ≤ k, pa možemo odabrati konstantu A_{k} > 0 i n_{k} ∈ N_{0} tako da vrijedi ocjena

(∀ γ ≤ β) |∂^{γ}ψ| ≤ A_{k} (1 + |x|^{2})^{n_{k}} .

Raspišemo li desnu stranu ove nejednakosti po binomnoj formuli, te uvrstimo u (15) i iskoristimo nejednakost mnogokuta za polunorme, dobijamo

∥ψφ∥_{α,β}≤ A_{k} ∑_{γ≤β} \binom{β}{γ} ∑_{j=0}^{n_{k}} \binom{n_{k}}{j} ∥x^{α}|x|^{2j}(∂^{β−γ}φ)∥_{C} .

Iskoristimo li pak multinomnu formulu za |x|^{2j} = (x_{1}^{2} + … + x_{d}^{2})^{j} imamo

∥ψφ∥_{α,β}≤ A_{k} ∑_{γ≤β} \binom{β}{γ} ∑_{j=0}^{n_{k}} \binom{n_{k}}{j} ∑_{|κ|=j} \frac{j!}{κ!} ∥x^{α+2κ}(∂^{β−γ}φ)∥_{C} .

Kako vrijedi |γ| ≤ k i |κ| ≤ n_{k}, to je

∥x^{α+2κ}(∂^{β−γ}φ)∥_{C}=∥φ∥_{α+2κ,β−γ}≤∥φ∥_{k+2n_{k}} ,

pa slijedi tražena neprekinutost, uz konstantu C_{k} = 2^{k}(d + 1)^{n_{k}}A_{k}.

Q.E.D.

Primjer.

(a) Promotrimo funkciju φ_{a}(x) := e^{−a|x|^{2}}, a ∈ C. Lagano se dobije da vrijedi ∥φ_{a}∥_{α,β}=∥P_{α,β}φ_{a}∥_{C}, pri čemu je P_{α,β} polinom stupnja |α + β|. Odatle slijedi

\begin{aligned}Re a = 0 & ⟹ φ_{a} ∈ O, φ_{a} ∉ S , \\ Re a > 0 & ⟹ φ_{a} ∉ O, φ_{a} ∈ S , \\ Re a < 0 & ⟹ φ_{a} ∉ O, φ_{a} ∉ S . \end{aligned}

(b) Funkcija φ_{ξ}(x) := e^{2πix·ξ}, ξ ∈ R^{d} očito nije iz S, ali je iz O, jer je uniformno, pa stoga i polinomijalno, ograničena.

Osnovna motivacija za uvodenje Schwartzovog prostora S je činjenica da su za takve funkcije operacije parcijalne integracije i deriviranja pod znakom integrala dopuštene. Definicija. Nosač neprekinute funkcije φ definiramo preko komplementa: x ∉ supp φ ako je φ = 0 na nekoj okolini točke x.

Nosač je stoga uvijek zatvoren skup, pa je kompaktan ako je ograničen. Definirajmo C_{c}^{∞}(Ω) kao skup svih C^{∞} kompleksnih funkcija na skupu Ω čiji je nosač kompaktan. Posebno, ukoliko je Ω = R^{d} pišemo D = C_{c}^{∞}(R^{d}). Očigledno je D ⊆ S, ali nije očito da je D neprazan skup.

Primjer. Zadana je funkcija φ(x) := f(|x|^{2} − 1), gdje je

f(t) := \{ \begin{matrix}e^{1/t} & , za t < 0 \\ 0 & , inače \end{matrix} .

Očigledno je φ ∈ D (naime, supp φ = K[0, 1]).

Dijeljenjem funkcije φ pozitivnom konstantom ∫_{R^{d}} φ(x) dx dobivamo nenegativnu funkciju φ_{0} ∈ D kojoj je nosač takoder K[0, 1], a ∫_{R^{d}} φ_{0}(x) dx = 1. Svaka funkcija s gornjim svojstvima zove se jediničnom test funkcijom.

Nizovna konvergencija na D je relativno jednostavna. Reći ćemo da niz funkcija (φ_{k}) iz D konvergira k funkciji φ ∈ D ukoliko

(a) Nosači funkcija φ_{k} sadržani su u istom ograničenom skupu neovisno o j.

(b) Derivacije svakog danog reda α funkcija φ_{k} konvergiraju uniformno k odgovarajućoj derivaciji funkcije φ. Valja primijetiti da u gornjoj definiciji ne zahtijevamo da derivacije svakog reda istodobno

konvergiraju uniformno, već da svaka derivacija zasebno uniformno konvergira.

Napomena. Na skupu D definira se topologija strogog induktivnog limesa.

Teorem 7. Vrijedi:

(a) S ⊆ ⋂_{1≤p≤∞} L^{p}(R^{d})

(b) (∀ φ ∈ S) (∀ p ∈ [1, ∞]) ∥φ∥_{L^{p}}≤ (2π)^{d} ∥φ∥_{2n}

(c) (∀ φ ∈ S) (∀ p ∈ [1, ∞]) (∀ u ∈ L^{p}(R^{d})) uφ̄ ∈ L^{1}(R^{d})&|⟨u, v⟩| ≤ (2π)^{d} ∥u∥_{L^{p}}∥φ∥_{2n}

(d) Za svaku izmjerivu funkciju u, takvu da je za svaku φ ∈ S produkt uφ̄ ∈ L^{1}(R^{d}), vrijedi: ako je ⟨u, S⟩ = 0, onda je nužno i u = 0 (ss).

(e) Ako je φ ↦ U(φ) antilinearan funkcional na S takav da uvijek vrijedi |U(φ)| ≤ C ∥φ∥_{L^{2}}, onda postoji jedinstven u ∈ L^{2}(R^{d}) takav da je U(φ) = ⟨u, φ⟩ za svaki φ ∈ S. Tada vrijedi i ocjena ∥u∥_{L^{2}}≤ C.

Dem. Neka je 1 ≤ p < ∞, te neka je φ ∈ S. Tada vrijedi (teorem 6, ocjena za množenje monomom):

\begin{aligned}|φ(x)|^{p} & ≤ ( sup_{x∈R^{d}}|φ(x) ∏_{j=1}^{d} (1 + x_{j}^{2})|)^{p} ∏_{j=1}^{d} (1 + x_{j}^{2})^{−1} \\ & ≤ (2^{d} ∥φ∥_{2n})^{p} ∏_{j=1}^{d} (1 + x_{j}^{2})^{−1} . \end{aligned}

Odavdje, integracijom i korištenjem leme 1, dobijamo ocjenu (b). U slučaju p = ∞ tvrdnja je očita. Tvrdnja (a) je jednostavna posljedica (b), dok (c) slijedi iz (b) i Hölderove nejednakosti.

Da bismo pokazali (d) dovoljno je dokazati da za svaki omeden izmjeriv skup E ⊆ R^{d} vrijedi ⟨u, χ_{E}⟩ = 0.

Neka je E i otvoren skup. Definirajmo niz podskupova (K_{j}) od E na sljedeći način:

K_{j} := \{x ∈ R^{d} : d(x, cE) ≥ \frac{1}{j}\} .

Skupovi K_{j} su očito kompaktni za svaki j ∈ N, pa po teoremu o particiji jedinice (v. zadatak 8) postoje φ_{j} ∈ C_{c}^{∞}(E) takve da je φ_{j}|_{K_{j}} = 1. Niz (φ_{j}) po točkama konvergira k χ_{E}, stoga po

teoremu o dominiranoj konvergenciji slijedi da ⟨u, φ_{j}⟩ ⟶ ⟨u, χ_{E}⟩. Kako je ⟨u, φ_{j}⟩ = 0, za svaki j, to je tvrdnja dokazana u ovom posebnom slučaju.

Za općenit ograničen i izmjeriv skup E ∈ R^{d} postoji niz otvorenih skupova (U_{j}) takvih da je E, do na skup mjere nula, limes tog niza. Točnije, označimo li s χ_{j} karakterističnu funkciju skupa U_{j}, onda χ_{j} ⟶ χ_{E} skoro svuda. Za svaki j, po prethodnom, vrijedi ⟨u, χ_{j}⟩ = 0 pa nanovo, iz teorema o dominiranoj konvergenciji, slijedi tvrdnja.

Za (e) uočimo da iz (d) slijedi kako je S gust potprostor od L^{2}(R^{d}) (zapravo vrijedi i više: S gust u L^{p}(R^{d}), za svaki p), odakle slijedi jedinstvenost i ocjena norme za u. Egzistencija slijedi iz Rieszovog teorema reprezentacije.

Q.E.D.

Definicija. Neka je Ω ⊆ R^{d} otvoren skup. Distribucija ili poopćena funkcija u na Ω je antilinearan funkcional na C_{c}^{∞}(Ω) koji je neprekinut (ograničen) u sljedećem smislu (s K_{Ω} označujemo množinu svih kompaktnih podskupova skupa Ω):

(∀ K ∈ K_{Ω})(∃ C ∈ R^{+})(∃ n ∈ N)(∀ φ ∈ C_{c}^{∞}(Ω)) supp φ ⊆ K ⟹ |⟨u, φ⟩| ≤ C sup_{|α|≤n} sup_{x∈K} |∂^{α}φ(x)| .

Prostor distribucija na Ω je topološki dual prostora D(Ω) = C_{c}^{∞}(Ω) i označujemo ga s D′(Ω) (posebno je D′ := D′(R^{d})). Gornja neprekinutost linearnih funkcionala na D(Ω) je neprekinutost u topologiji koja nije metrizabilna (radi se o tzv. topologiji induktivnog limesa).

Ako postoji broj n_{0} ∈ N_{0} takav da gornja nejednakost vrijedi za svaki K s tim brojem namjesto n, onda je distribucija konačnog reda. Najmanji takav broj n_{0} zovemo redom distribucije u. Distribucije reda nula nazivamo Radonovim mjerama.

Napomena. Primijetimo da distribucije reda k možemo proširiti s C_{c}^{∞}(Ω) na C_{c}^{k}(Ω).

Konvergencija na D′ je slaba konvergencija, definirana na sljedeći način: Kažemo da (hiper)niz distribucija (u_{k}) konvergira k distribuciji u ∈ D′ ako

(∀ φ ∈ D) ⟨u_{k}, φ⟩ ⟶ ⟨u, φ⟩ .

Primjer. Neka je f lokalno integrabilna funkcija na R^{d}, drugim riječima, integrabilna na svakom ograničenom skupu. Tada je T_{f} definirana s

⟨T_{f}, φ⟩ := ∫_{R^{d}} f(x)φ̄(x) dx ,

distribucija. Zaista, budući da je područje integracije zapravo ograničen skup (φ ima kompaktan nosač!), to gornji integral postoji. Nadalje, neka je K kompaktan skup, te φ ∈ D takva da je supp φ ⊆ K. Tada je

|⟨T_{f}, φ⟩| ≤ (∫_{K} |f(x)| dx) ∥φ∥_{0} .

Za distribuciju T_{f} kažemo da je generirana funkcijom f. Očito je da dvije lokalno integrabilne funkcije, koje se podudaraju skoro svuda, generiraju istu distribuciju.

Distribucije možemo množiti glatkim funkcijama. Naime za u ∈ D′(Ω) i ψ ∈ C^{∞}(Ω) možemo definirati njihov produkt ψu za svaku test funkciju φ ∈ D(Ω) formulom ⟨ψu, φ⟩ = ⟨u, ψ̄φ⟩. Lako se vidi da je i ψu distribucija.

Definicija. Temperirana distribucija je antilinearan funkcional na S koji je neprekinut, tj. vrijedi

(∃ C ∈ R^{+})(∃ N ∈ N)(∀ φ ∈ S)|⟨u, φ⟩| ≤ C ∥φ∥_{N} .

Prostor svih temperiranih distribucija, kao dual prostora S, označavamo sa S′.

Primjer. Neka je g ∈ S. Definirajmo funkcional ⟨g, ·⟩ na S formulom

⟨g, φ⟩ := ∫_{R^{d}} g(x)φ̄(x) dx .

On je očito antilinearan, ali i ograničen:

|⟨g, φ⟩| ≤∥g∥_{L^{1}}∥φ∥_{0} .

Štoviše, ako su g_{1}, g_{2} ∈ S takve da je g_{1} ≠ g_{2}, onda su i pripadajući funkcionali takoder različiti. Očito dakle možemo identificirati g ∈ S s ⟨g, ·⟩ ∈ S′. Budući da je ∥·∥_{L^{1}} neprekinuta polunorma na S (v. zadatak 7), gornjom je identifikacijom S prirodno uložen u S′.

Primjer. Distribucije x_{+}^{λ} i x_{−}^{λ} (isp. zadatak 19) Neka je Re z > −1 i φ ∈ S(R). Tada definiramo temperiranu distribuciju x_{+}^{λ} formulom:

(16)  ⟨x_{+}^{λ}, φ⟩ := ∫_{0}^{∞} x^{λ}φ̄(x) dx .

Ovako definirana, x_{+}^{λ} dolazi od funkcije koja je jednaka x^{λ}, za x > 0, odnosno 0, za x < 0. Zaista je riječ o temperiranoj distribuciji. Naime vrijedi

|⟨x_{+}^{λ}, φ⟩| ≤ ∫_{0}^{∞} |x^{λ}| |φ(x)| dx ≤∥x^{λ}φ∥_{L^{1}} ,

pa tvrdnja slijedi iz činjenice da je ∥·∥_{L^{1}} neprekinuta polunorma na S.

Distribucija x_{−}^{λ} definira se potpuno analogno:

(17)  ⟨x_{−}^{λ}, φ⟩ := ∫_{−∞}^{0} |x|^{λ}φ̄(x) dx .

Budući da vrijedi

⟨x_{−}^{λ}, φ⟩ = ⟨x_{+}^{λ}, φ̃⟩ ,

odmah se vidi da je i x_{−}^{λ} temperirana distribucija.

S pomoću x_{+}^{λ} i x_{−}^{λ} definiraju se i neki drugi važni primjeri temperiranih distribucija:

\begin{aligned}|x|^{λ} & := x_{+}^{λ} + x_{−}^{λ} , \\ |x|^{λ}sign x & := x_{+}^{λ} − x_{−}^{λ} , \\ (x + i0)^{λ} & := x_{+}^{λ} + e^{izπ}x_{−}^{λ} , \\ (x − i0)^{λ} & := x_{+}^{λ} + e^{−izπ}x_{−}^{λ} . \end{aligned}

Ako je P polinom u d varijabli, tada se potpuno analogno definiraju distribucije P_{+}^{λ}, P_{−}^{λ}, (P + i0)^{λ} i (P − i0)^{λ}. Primjerice

⟨P_{+}^{λ}, φ⟩ := ∫_{{x∈R^{d}:P (x)>0}} P^{λ}(x)φ̄(x) dx .

Temperirane distribucije mogu se množiti funkcijama ψ iz O:

⟨ψu, φ⟩ = ⟨u, ψ̄φ⟩ .

Gornja formula definira temperiranu distribuciju ψu, i definicija je u skladu s množenjem funkcija. Na prostor D′ može se proširiti i operacija deriviranja, formulom:

⟨D^{α}u, φ⟩ = ⟨u, D^{α}φ⟩ .

Ovako definirana derivacija distribucije je očito ponovo distribucija. Ako je u ∈ S′, onda je dovoljno definirati D^{α}u gornjom formulom za φ ∈ D. Zbog neprekinutosti derivacije (v. teorem 6), antilinearan funkcional φ ↦ ⟨u, D^{α}φ⟩ je i u prostoru S′. Korektnost definicije derivacije temperirane distribucije tada vrijedi zbog sljedećeg teorema:

Teorem 8. Ako su u i v temperirane distribucije, te (∀ φ ∈ C_{c}^{∞}(R^{d}))⟨u, φ⟩ = ⟨v, φ⟩, onda vrijedi i (∀ φ ∈ S)⟨u, φ⟩ = ⟨v, φ⟩. Dem. Neka je φ ∈ S. Odaberimo funkciju ψ ∈ C_{c}^{∞}(R^{d}), takvu da je ψ = 1 na K(0, 1). Za ε ∈ (0, 1) definirajmo φ_{ε} := ψ_{ε}φ ∈ C_{c}^{∞}(R^{d}), pri čemu je ψ_{ε}(x) := ψ(εx). Ocijenimo razliku φ − φ_{ε} koristeći Leibnitzovu formulu:

(18)  x^{α}∂^{β}(φ − φ_{ε}) = (1 − ψ_{ε})x^{α}∂^{β}φ + ∑_{γ≠0} \binom{β}{γ}∂^{γ}ψ_{ε}x^{α}∂^{β−γ}φ .

Za γ ≠ 0, ∂^{γ}ψ_{ε} = O(ε), stoga je drugi član s desne strane u (18) ocjenjen s ε ∥φ∥_{|α+β|}. S druge pak strane, prvi član očito zadovoljava |1 − ψ_{ε}| ≤ ε^{2}|x|^{2}, budući da na nosaču funkcije ψ_{ε} vrijedi 0 ≤ 1 − φ_{ε} ≤ 1 i |εx| ≥ 1. Dakle, vrijedi ocjena

∥φ − φ_{ε}∥_{k}≤ dε^{2} ∥φ∥_{k+2} +C_{k}ε ∥φ∥_{k} .

Kako je za u, v ∈ S zadovoljeno ⟨u − v, φ_{ε}⟩ = 0, zbog gornje nejednakosti vrijedi

|⟨u − v, φ⟩| = |⟨u − v, φ − φ_{ε}⟩| ≤ C_{0}ε ∥φ∥_{n+2} ,

pri čemu je indeks n odreden s pomoću ocjene |⟨u − v, φ⟩| ≤ C ∥φ∥_{n}. Konačno, prijelazom na limes ε ⟶ 0 slijedi tvrdnja.

Q.E.D.

Prostor D′ (odnosno S′) je zatvoren na deriviranje, te k tome uvijek vrijedi Schwarzovo pravilo D_{i}D_{j} = D_{j}D_{i}.

Ako su U ⊆ Ω otvoreni skupovi, za u ∈ D′(Ω) možemo definirati restrikciju u|_{U} := u|_{C_{c}^{∞}(U)}.

Kažemo da se distribucije u i v podudaraju na otvorenom skupu U ako vrijedi u|_{U} = v|_{U}.

Teorem 9. Neka je Ω ⊆ R^{d} otvoren skup. Ukoliko su u i v dvije distribucije na Ω koje se za proizvoljnu točku x iz Ω podudaraju na nekoj okolini te točke, onda su te dvije distribucije jednake. Dem. Za svaki φ ∈ C_{c}^{∞}(Ω), K = supp φ je po pretpostavci pokriven otvorenim skupovima Ω_{j}, na kojima je u = v. Uzmimo razdiobu jedinice (φ_{j}) (v. zadatak 8), podredenu otvorenom pokrivaču (Ω_{j}). Budući da φ_{j}φ ima nosač sadržan u Ω_{j} vrijedi

\begin{aligned}⟨u, φ⟩ = ⟨u, φ ∑_{j} φ_{j}⟩ & = ∑_{j}⟨u, φ_{j}φ⟩ \\ & = ∑_{j}⟨v, φ_{j}φ⟩ = ⟨v, φ ∑_{j} φ_{j}⟩ = ⟨v, φ⟩ . \end{aligned}

Q.E.D.

Predhodni teorem nam omogućuje da definiramo nosač distribucije. Kažemo da je distribucija u ∈ D′(Ω) nula na otvorenom skupu U ⊆ Ω ako vrijedi

(∀ φ ∈ D(Ω)) supp φ ⊆ U ⟹ ⟨u, φ⟩ = 0 .

Komplement unije svih otvorenih skupova (dakle, zatvoren skup) na kojima je u nula je nosač distribucije u (u oznaci supp u). Drugim riječima, za x ∈ Ω vrijedi x ∉ supp u ako postoji okolina točke x na kojoj je u nula.

Slično definiramo i singularan nosač (franc. support singulier): x ∉ supp sing u ako postoji okolina točke x na kojoj je u glatka funkcija (tj. x ∈ U, a u|_{U} ∈ C^{∞}(U)); točnije

(∃ ψ ∈ C^{∞}(U))(∀ φ ∈ C_{c}^{∞}(U))⟨u, φ⟩ = ⟨ψ, φ⟩ .

I singularan nosač distribucije je zatvoren skup.

Za produkt ψ ∈ C^{∞}(Ω) i u ∈ D′(Ω) vrijede inkluzije:

(19)  supp ψu ⊆ supp ψ ∩ supp u  i  supp sing ψu ⊆ supp sing u .

Radi jednostavnosti zapisa označimo s T_{Ω} množinu svih otvorenih podskupova skupa Ω, a s F_{Ω} svih zatvorenih. Za točku x ∈ Ω s U_{x} označujemo familiju (filtar) svih okolina točke x.

Teorem 10. Vrijede sljedeće karakterizacije:

a) x ∉ supp u ⟺ (∃ U ∈ U_{x})(∀ φ ∈ C_{c}^{∞}(U)) φu = 0

b) x ∉ supp sing u ⟺ (∃ U ∈ U_{x})(∀ φ ∈ C_{c}^{∞}(U)) φu ∈ C^{∞}(U)

c) (∀ F ∈ F_{Ω}) supp u ⊆ F ⟺ ((∀ φ ∈ C_{c}^{∞}(Ω)) supp φ ∩ F = ∅ ⟹ ⟨u, φ⟩ = 0) .

Prostor D′(Ω) sadrži distribucije koje nisu definirane na čitavom R^{d}. Čak i u slučaju prostora D′(R^{d}) nema kontrole nad rastom takvih distribucija u beskonačnosti. Medutim, lokalno su takve distribucije temperirane; svaka distribucija definirana na ograničenom skupu Ω može se proširiti do temperirane distribucije na R^{d}:

Neka je u ∈ D′(Ω), te K := supp u ∈ K_{Ω}; izaberimo funkciju ψ ∈ C_{c}^{∞}(Ω) takvu da je ψ = 1 oko K (isp. razdiobu jedinice). Budući da je ⟨u, (1 − ψ)φ⟩ = 0, to je i ⟨u, φ⟩ = ⟨u, ψφ⟩ za φ ∈ C_{c}^{∞}(Ω), pa antilinearan funkcional u možemo proširiti na S (pa čak i na C^{∞}(Ω)) definiravši ⟨u, φ⟩ = ⟨u, ψφ⟩ za svaki φ ∈ S. Štoviše, tako proširen funkcional zadovoljava nejednakost:

|⟨u, φ⟩| ≤ C′ ∥ψφ∥_{N}≤ C ∥φ∥_{N} ,

pa je u ∈ S′. (Ovo se proširenje sastoji u tome da je u nula van Cl Ω.)

Prostor C^{∞}(Ω), uz odgovarajuću topologiju (uniformne konvergencije na kompaktima), označavamo s E(Ω), posebno, E := C^{∞}(R^{d}). E(Ω) je Fréchetov prostor. Njegov dual, E′(Ω) (odnosno posebno E′ := E′(R^{d})), sastoji se od distribucija s kompaktnim nosačem.

Primjer. (Diracova δ funkcija) Osobito popularan primjer distribucije i tipičan primjer distribucije s kompaktnim nosačem je Diracova mjera (masa), definirana na sljedeći način:

⟨δ, φ⟩ := φ̄(0) .

Odavdje je očito da je nosač Diracove mjere jedna jedina točka, ishodište. Fizikalno, δ ima interpretaciju koncentriranog djelovanja u jednoj točki (koncentrirana vanjska sila, gustoća mase materijalne točke, gustoća naboja elektrona u elektrostatici, četverofermionska interakcija kao model β–raspada u nuklearnoj fizici i fizici čestica…).

Analogno možemo definirati Diracovu masu koncentriranu u bilo kojoj točki:

⟨δ_{a}, φ⟩ := φ̄(a) .

Diracovu mjeru možemo dobiti kao derivaciju Heavisideove funkcije H := χ_{(0,∞)} u smislu distribucija (preciznije u S′):

⟨H′, φ⟩ = −⟨H, φ′⟩ = − ∫_{0}^{∞} φ̄(x) dx = φ̄(0) = ⟨δ, φ⟩ .

Za prostore test funkcija vrijede inkluzije

D ⊆ S ⊆ E ,

dok za prostore pripadnih distribucija imamo:

E′ ⊆ S′ ⊆ D′ .

Zadaci.

1. Pokazati da za svaku polunormu ρ vrijedi:

\begin{aligned}ρ(0) & = 0 \\ ρ(x − y) & ≥ |ρ(x) − ρ(y)| . \end{aligned}

2. Neka je (ρ_{α})_{α∈A} familija polunormi na vektorskom prostoru E. Pokazati da skupovi oblika

{x ∈ E : (∀ α ∈ I) ρ_{α}(x − x_{0}) < ε_{α}} ,

pri čemu je I ⊆ A konačan, a ε_{α} ∈ R^{+}; čini bazu okolina točke x_{0}; k tome, u na taj način konsruiranoj topologiji sve polunorme ρ_{α} su neprekinute; točnije, ta se topologija podudara s najslabijom topologijom u kojoj su sve te norme neprekinute.

Nadalje, pokazati da je ta topologija u skladu s linearnom strukturom na E (tj. da su operacije (x, y) ↦ x + y i (λ, x) ↦ λx neprekinute).

Ukoliko familija (ρ_{α})_{α∈A} razlikuje točke, onda je pripadna topologija Hausdorffova (taj je uvjet i nužan). Vektorski prostor s Hausdorffovom topologijom uskladenom s linearnom strukturom naziva se topološki vektorski (linearni) prostor.

3. Podskup A vektorskog prostora E je konveksan ako (∀ x, y ∈ E)(∀ λ ∈ ⟨0, 1⟩) λx+(1−λ)y ∈ A. Topološki vektorski prostor je lokalno konveksan ako postoji baza topologije (dovoljno je i samo baza okolina nule) koja se sastoji od konveksnih skupova.

Pokazati da je topologija definirana familijom polunormi koja razlikuje točke lokalno konveksna; i obrnuto, da za svaki lokalno konveksan topološki vektorski prostor postoji familija polunormi koja generira topologiju.

4. Pokazati da je s (14_{2}) zaista dana familija polunormi na S koja razlikuje točke.

5. (a) S \overline{R^{d}} označimo Alexandrovljevu kompaktifikaciju (jednom točkom) euklidskog prostora R^{d}. Pokazati da je prostor (C(\overline{R^{d}}), ∥·∥_{L^{∞}}) potpun.

(b) Dopuniti dokaz teorema 5; točnije, pokazati da je općenito g_{αβ} = x^{α}∂^{β}g.

6. Dopuniti dokaz teorema 6.

(a) Pokazati tvrdnju (a) u teoremu 6.

(b) Pokazati da je ∥x^{α}φ∥_{k}≤ 2^{k}α! ∥φ∥_{k+|α|}.

7. Pokazati da je za svaki p ∈ [1, ∞] prostor S ⊆ L^{p}(R^{d}), te da je ulaganje neprekinuto.

8. (razdioba jedinice) Ako je K ⊆ R^{n} kompaktan skup sadržan u uniji otvorenih skupova Ω_{j}, za j ∈ N, onda postoji konačan broj funkcija φ_{j} ∈ C_{c}^{∞}(Ω_{j}) (j = 1, …, k) takvih da su φ_{j} ≥ 0, ∑_{j=1}^{k} φ_{j} ≤ 1 i da na nekoj okolini skupa K vrijedi ∑_{j=1}^{k} φ_{j} = 1. Dokazati!

9. Pokazati da su nosač i singularan nosač distribucije zatvoreni skupovi, te da vrijede inkluzije (19).

10. Dokazati teorem 10.

11. Distribubucija u je nenegativna i pišemo u ≥ 0 ako vrijedi (∀ φ ∈ D(Ω)) φ ≥ 0 ⟹ ⟨u, φ⟩ ≥ 0. Dokazati da je svaka nenegativna distribucija ujedno i nenegativna Radonova mjera.

[Rješenje: Za K ∈ K_{Ω} promotrimo test funkciju ϑ ∈ D(Ω) takvu da je ϑ|_{K} = 1 i 0 ≤ ϑ ≤ 1. Za φ ∈ D(Ω) takvu da je supp φ ⊆ K vrijedi − ∥φ∥_{L^{∞}} ϑ ≤ φ ≤∥φ∥_{L^{∞}} ϑ, odnosno ∥φ∥_{L^{∞}} ϑ ± φ ≥ 0.

Neka je u ∈ D′(Ω) nenegativna distribucija. Tada vrijedi ⟨u, ∥φ∥_{L^{∞}} ϑ ± φ⟩ ≥ 0, odnosno |⟨u, φ⟩| ≤ ⟨u, ϑ⟩ ∥φ∥_{L^{∞}}= C sup_{x∈K} |φ(x)|. Kako je ϑ ≥ 0, to je C > 0, pa je u Radonova mjera po definiciji. ]

12. Pokazati da je Diracova mjera δ Radonova mjera na R^{d}.

13. Odrediti red distribucije ⟨u, φ⟩ := ∑_{n=1}^{∞} φ^{(n)}(n).

14. Riješiti jednadžbe po u ∈ D′(R):

(a) xu = 0 . [u = Cδ_{0}]

(b) x^{2}u = 0. [u = Cδ′_{0} + Dδ_{0}]

(c) (x − a)u = 0.

(d) (x − a)(x − b)u = 0 . Diskutirati posebno slučajeve a ≠ b i a = b.

(e) (x − a)u = δ_{b}.

(f) (x − a)u = δ′_{b}

(g) p(x)u = 0, ako je p polinom p(x) = (1 + x^{2})(1 − x^{2})^{2}.

15. Neka je p realan polinom stupnja n, s realnim korjenima a_{1}, …, a_{k} s kratnošću l_{1}, …, l_{k}.

a) Riješiti u distribucijama na R (najprije u slučaju k = n):

p(x)u = 0 .

b) Ako je v distribucija čiji nosač ne sadrži ni jedan od korjena a_{i} polinoma p, riješiti jednadžbu p(x)u = v. Koji je maksimalan red distribucije u ako je v reda m?

16. Neka je u ∈ D′(Ω) takva da je supp u = {a}. Pokazati da je u konačna linearna kombinacija Diracove mjere δ_{a} i njenih derivacija.

17. Distribucija Pf \frac{1}{x}, konačan dio \frac{1}{x}, definirana je za supp φ ⊆ [−A, A] formulom:

⟨Pf \frac{1}{x}, φ⟩ := lim_{ε↘0} [∫_{ε}^{A} \frac{φ(x)}{x}dx + φ(0) ln ε] = ∫_{0}^{A} \frac{φ(x) − φ(0)}{x}dx + φ(0) ln A .

Pokazati da definicija ne ovisi o A, te da je Pf\frac{1}{x} distribucija reda 1.

18. Za A > 0 i λ ∈ R integral ∫_{0}^{A} x^{λ}dx ima smisla samo za λ > −1. Pokušat ćemo tome integralu dati smisao i za λ ≤ −1 definirajući:

Pf ∫_{0}^{A} x^{λ}dx = \frac{A^{λ+1}}{λ + 1}

za λ < −1, odnosno za λ = −1 uzimamo ln A.

Konačna vrijednost znači da izostavljamo beskonačan član koji bismo dobili formalnom integracijom. Ako uzmemo da je g beskonačno diferencijabilna realna funkcija na segmentu [0, A], možemo lako definirati Pf ∫_{0}^{A} x^{λ}g(x)dx rastavljajući g u McLaurinov red. Za prvih nekoliko članova reda možemo koristiti gornju formulu, dok ostatak dovoljno brzo teži k nuli da bi integral imao smisla. Točnije, za α realan broj i l cijeli broj veći od −α − 2 imamo

(∗)  Pf ∫_{0}^{A} x^{α}g(x)dx = ∑_{k=0}^{l} \frac{g^{(k)}(0)}{k!} \frac{A^{α+k+1}}{α + k + 1} + ∫_{0}^{A} x^{α} (g(x) − ∑_{k=0}^{l} \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^{k}) dx

(naravno, za α + k + 1 = 0 zamjenjujemo \frac{A^{α+k+1}}{α+k+1} s ln A).

Definirajmo

(†)  ⟨Pf H(x)x^{α}, φ(x)⟩ := Pf ∫_{0}^{A} x^{α}φ(x)dx

(supp φ ⊆ ⟨−∞, A]).

a) Provjeriti da je (∗) neovisno o izboru l > −α − 2, a (†) neovisno o A (ako zadovoljava uvjet na nosač), te da je s (†) dobro definirana distribucija.

b) Izračunati derivaciju distribucije Pf H(x)x^{α}. (Koristiti parcijalnu integraciju; točnije, odrediti vezu izmedu Pf ∫_{0}^{A} x^{α}g′(x)dx i Pf ∫_{0}^{A} αx^{α}g(x)dx)

c) Na sličan način kao gore izračunati derivaciju distribucije Pf H(x) ln x.

d) Za α ∈ R \ Z_{0}^{−} definiramo distribuciju

H^{α} := Pf H(x)\frac{x^{α−1}}{Γ(α)} .

Izračunati derivaciju (H^{α})′. Što je limes u prostoru distribucija lim_{α→−n} H^{α}, za n ∈ N? (To se može dobiti i derivacijom limesa za α → 1).

e) Izračunati H^{α} ∗ H^{β} za proizvoljne α, β ∈ R. Ako je B ∈ D′_{+} (distribucije s nosačem na pozitivnoj realnoj osi), postoji li distribucija X ∈ D′_{+} tako da je H^{α} ∗ X = B? Ako je h lokalno integrabilna funkcija na R_{0}^{+}, postoji li lokalno integrabilna funkcija f na R_{0}^{+}, koja zadovoljava integralnu jednadžbu:

∫_{0}^{x} \frac{f(x)}{\sqrt{x − t}}dt = h(x) ?

Što posebno dobivamo za h(x) = x^{β}, β > 0?

19. Neka je λ ∈ C. Za x ∈ R \ {0} definiramo:

x^{λ} := \{ \begin{matrix}e^{λ ln x} & za x > 0 \\ e^{iλπ}(−x)^{λ} & za x < 0. \end{matrix}

Za koje vrijednosti λ je funkcija x^{λ} lokalno sumabilna? U tom slučaju s u_{λ} označimo distribuciju definiranu s x^{λ}.

Fourierova pretvorba i fundamentalna rješenja

Za Re λ > 0 izračunati derivaciju u′_{λ}.

Ako je λ ∈ C \ Z^{−} pokazati da postoji familija distribucija (u_{λ}) koja je produljenje familije definirane preko funkcija (v. gore), odredena diferencijalnom jednakošću:

u′_{λ} = λu_{λ} .

Napisati formulu za ⟨u_{λ}, φ⟩ koja koristi samo vrijednosti funkcije φ i njezinih derivacija u ishodištu.

Pokazati da za svaku funkciju φ ∈ D′ niz ⟨u_{\frac{1}{n} −1}, φ⟩ ima limes za n → ∞. Označimo taj limes s ⟨u_{−1}, φ⟩ i iskoristimo ga za definiciju distribucije u_{−1}. Definirati u_{−p} analogno.

Pokazati da je u_{λ} holomorfna (analitička) funkcija u varijabli λ.

20. Ako je u distribucija na R za koju je \frac{du}{dx} = 0, onda je u konstanta (točnije, ⟨u, φ⟩ = C ∫_{R} φ̄ dx).

21. Riješiti diferencijalnu jednadžbu u distribucijama na R: \frac{du}{dx} = S.

22. Riješiti x\frac{du}{dx} = 0. [u = CH + C′]

23. Pokazati da je funkcional u definiran na D(−a, a) formulom

⟨u, φ⟩ := ∫_{0}^{a} \frac{φ(x) − φ(0)}{x}dx + φ(0) ln a

distribucija, jednaka Pf \frac{H(x)}{x}. Kojeg je u stupnja? Što je njezin nosač?

Izračunati xu′.

Odrediti primitivnu distribuciju distribucije u.

24. Napisati jedno rješenje u D′_{+} (za definiciju v. zadatak 18e) diferencijalne jednadžbe: xy′+y = δ_{0}. Što je opće rješenje te jednadžbe u D′? Što u D?

25. Naći opće rješenje u D′ jednadžbe

xy′ + y = Pf \frac{H(x)}{x} .

(Obično se rješenje može naći van ishodišta.)

26. Pokazati da ako je v ∈ D′ reda m ∈ N, onda je njoj primitivna distribucija reda ≤ m − 1.

27. Koji je nuždan uvjet na niz brojeva (a_{n}) tako da a_{n}δ_{n} → 0 u D′?

28. Definirajmo distribuciju C_{λ} formulom

⟨C_{λ}, φ⟩ := lim_{a↘0} [∫_{−∞}^{−a} \frac{cos λx}{x}φ(x)dx + ∫_{a}^{∞} \frac{cos λx}{x}φ(x)dx] .

Pokazati da je tom formulom zaista zadana distribucija. Koji je njezin red? Odrediti limes za λ → 0 i za λ → ∞.

29. Distribucija V.P.\frac{1}{x}, glavna vrijednost \frac{1}{x}, je definirana preko limesa:

⟨V.P.\frac{1}{x}, φ⟩ := lim_{ε↘0} [∫_{−∞}^{−ε} \frac{φ(y)}{y}dy + ∫_{ε}^{∞} \frac{φ(y)}{y}dy] .

a) Pokazati da je V.P.\frac{1}{x} distribucija reda ≤ 1. Da li je V.P.\frac{1}{x} mjera?

b) Pokazati da je produkt V.P.\frac{1}{x} s x jednak 1.

c) Pokazati da je derivacija ln |x| upravo jednaka V.P.\frac{1}{x}.

d) Pokazati da je limes, kada ε → 0 izraza \frac{1}{x^{2}−ε^{2}} jednak V.P.\frac{1}{x}.

30. Pokazati da je limes, kada ε → 0 izraza \frac{ε}{x^{2}+ε^{2}} jednak πδ_{0}.

31. Što je limes, za ε ↘ 0 izraza \frac{1}{x±iε} (i je imaginarna jedinica)?

Nenad Antonić & Neven Balenović 16

32. Ako distribucija u u d varijabli x^{1}, …, x^{d} zadovoljava ∂_{d}u = 0, pokazati da postoji distribucija v u d − 1 varijabli x^{1}, …, x^{d−1} takva da je ⟨u, φ⟩ = ⟨v, ψ⟩, pri čemu je ψ(x^{1}, …, x^{d−1}) := ∫_{R^{d}} φ(x^{1}, …, x^{d−1}, y)dy.

33. Naći sve distribucije u koje su rješenja jednadžbe x^{k} \frac{d^{m}u}{dx^{m}} = 0, gdje su k, m ∈ N.

34. Neka je φ ograničena nenegativna funkcija na [0, T] koja zadovoljava:

φ(t) ≤ a + b ∫_{0}^{t} φ(s)^{2}ds, t ∈ [0, T].

Koju gornju ocjenu za φ povlači ta nejednakost? Naći a, b, T > 0 za koje možete konstruirati niz takvih funkcija φ s L^{∞} normom koja teži prema beskonačnosti.

35. Neka su u i v integrabilne funkcije na Ω := R^{d} × ⟨0, T ⟩, takve da je u_{t} + div v = f, pri čemu je f integrabilna funkcija na Ω. Za Lipshitzove funkcije φ s kompaktnim nosačem u skupu R^{d} × [0, T ⟩ definirajmo funkcional F:

F (φ) := − ∫_{Ω} [u(x, t)φ_{t}(x, t) + v(x, t) · ∇φ(x, t) + f(x, t)φ(x, t)] dxdt .

Što je vrijednost F (φ) ako φ ima kompaktan nosač u Ω (dakle, φ(x, T) = 0)?

Neka je g Lipschitzova funkcija na [0, T] takva da je g(0) = 1 i g(T) = 0. Za Lipschitzovu funkciju ψ s kompaktnim nosačem u R^{d} definirajmo funkcional G formulom G(ψ) := F (ψ(x)g(t)).

Pokazati da G definira distribuciju reda ≤ 1. Zašto možemo uzeti da ova distribucija daje vrijednost funkcije u za t = 0?

3. Fourierova pretvorba na S i S′. Konvolucija

Za proizvoljnu funkciju u ∈ S možemo definirati Fourierovu pretvorbu Fu := û formulom:

(20)  û(ξ) := ∫_{R^{d}} e^{−2πix·ξ}u(x) dx .

Pretvorba û je ograničena i neprekinuta funkcija, jer je očigledno |û(ξ)| ≤∥u∥_{L^{1}(R^{d})}, ξ ∈ R^{d} (zbog |e^{−2πix·ξ}| = 1); dok neprekinutost slijedi primjenom teorema o dominiranoj konvergenciji.

Namjera nam je proširiti Fourierovu pretvorbu F na širu klasu funkcija, koja bi sadržavala L^{2}, pa i mjere poput Diracove mjere δ. Dokažimo sljedeći

Teorem 11. Ako je φ ∈ S, onda je i φ̂ ∈ S, te je F neprekinuta. Drugim riječima, za svaki k ∈ N vrijedi ∥φ̂∥_{k}≤ 4^{d}(2π)^{n+k}(k + 1)! ∥φ∥_{2n+k}.

Štoviše, za φ̂ vrijede sljedeće tvrdnje:

(a) (∀ α ∈ N_{0}^{d}) (D^{α}φ)^{∧}(ξ) = ξ^{α}φ̂(ξ) & D^{α}φ̂(ξ) = (−1)^{|α|}(x^{α}φ)^{∧}(ξ)

(b) (∀ u ∈ L^{1}(R^{d})) ⟨û, φ⟩ = ⟨ũ, φ̂⟩

(c) formula inverzije: ˆ φ̂ = φ̃ (tj. φ(x) = ∫_{R^{d}} e^{2πix·ξ}φ̂(ξ) dξ

(d) Parsevalova formula (∀ ψ ∈ S) ⟨φ̂, ψ̂⟩ = ⟨φ, ψ⟩ . Dem. Budući da je za φ ∈ S i e^{−2πix·ξ}φ ∈ S, to možemo derivirati pod znakom integrala, stoga je (a) trivijalno zadovoljeno. Posebno, φ̂ ima derivacije svakog reda i sve su neprekinute.

U slučaju kad je k = 0, neprekinutost Fourierove pretvorbe i pripadajuća ocjena su očite. Za |α + β| = k ≠ 0, sličnim trikom kao u dokazu teorema 7(b), te s pomoću leme 1 i teorema 6 dobijemo neprekinutost i pripadajuću ocjenu u proizvoljnoj polunormi ∥·∥_{k}.

Ako je u ∈ L^{1}(R^{d}), onda je i u ⊗ φ̄ ∈ L^{1}(R^{d} × R^{d}) pa iz Fubinijevog teorema slijedi tvrdnja (b). Dokaz tvrdnje (c) je nešto složeniji. Naime, funkcija f(y, ξ) := e^{−2πi(x−y)·ξ}φ(y) nije u L^{1}(R^{d} × R^{d}), stoga nije moguće izravno primijeniti Fubinijev teorem. Da bismo postigli apsolutnu konvergenciju uvodimo faktor ψ(ξ) := e^{−|ξ|^{2}/2} (v. zadatak 1(a)), te zamjenu varijabli y := x + εz i ξ := ζ/ε. Računajmo

∫_{R^{d}} ψ(εξ)φ̂(ξ)e^{2πix·ξ} dξ = ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} ψ(εξ)φ(y)e^{2πiz·ζ} dydξ
= ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} ψ(ζ)φ(x + εz)e^{2πi(x−y)·ξ} dzdζ
= ∫_{R^{d}} ψ̂(z)φ(x + εz) dz .

Sada tvrdnja slijedi uzimanjem limesa po ε ⟶ 0 i primjenom teorema o dominiranoj konvergenciji.

Na koncu, tvrdnja (d) slijedi iz (b) i (c):

⟨φ̂, ψ̂⟩ = ⟨φ̃, ˆ ψ̂⟩ = ⟨φ̃, ψ̃⟩ = ⟨φ, ψ⟩ .

Q.E.D.

Prethodni nam teorem daje pregršt informacija o Fourierovoj pretvorbi. Osobito je zanimljiva formula inverzije, jer iz nje slijedi da je Fourierova pretvorba neprekinuta bijekcija sa S na samog sebe, a daje nam i eksplicitnu formulu za operator F^{−1}u := ǔ:

(21)  ǔ(ξ) := ∫_{R^{d}} e^{2πix·ξ}u(x) dx .

Teorem 12. (Plancherel) Fourierova se pretvorba na jedinstven način proširuje sa S do unitarnog operatora s L^{2}(R^{d}) na samog sebe i vrijedi Parsevalova formula ⟨ û | v̂ ⟩ = ⟨ u | v ⟩. (Slična formula ⟨û, v̂⟩ = ⟨u, v⟩ slijedi neposredno iz formule inverzije.) Dem. Prema prethodnom teoremu, tvrdnja (d), za u ∈ S, vrijedi ∥û∥_{L^{2}}=∥u∥_{L^{2}}. Kako je F surjektivna izometrija na S, tvrdnja slijedi iz činjenice da je Schwartzov prostor gust u L^{2}(R^{d}).

Q.E.D.

Teorem 13. (Riemann–Lebesgueova lema) Fourierova se pretvorba na jedinstven način proširuje do ograničenog linearnog operatora s L^{1}(R^{d}) u C_{0}^{∞}(R^{d}), prostora svih C^{∞} funkcija koje trnu u beskonačnosti. Dem. Prema teoremu 11, ako je u ∈ S, onda je i û ∈ S, pa stoga i trne u beskonačnosti. Nadalje, iz (19) slijedi ocjena

∥û∥_{L^{∞}}≤∥u∥_{L^{1}} ,

pa tvrdnja teorema vrijedi zbog gustoće.

Q.E.D.

Iz Hölderove nejednakosti slijedi da, ukoliko je \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, svaku (klasu) g ∈ L^{q}(R^{d}) možemo identificirati s neprekinutim antilinearnim funkcionalom na L^{p}(R^{d}). Medutim, vrijedi i obrat ([Rudin], str. 127): Svaki se neprekinuti antilinearan funkcional na L^{p}(R^{d}), 1 ≤ p < ∞, reprezentira jedinstvenim g ∈ L^{q}(R^{d}) i norme je jednake ∥g∥_{L^{q}}.

Teorem 14. (Hausdorff–Youngova nejednakost) Ako je 1 ≤ p ≤ 2, onda se Fourierova pretvorba proširuje do ograničenog linearnog operatora s L^{p}(R^{d}) u L^{p′}(R^{d}), norme manje ili jednake 1.

Formula inverzije nam omogućuje proširenje Fourierove pretvorbe na veći prostor. Po teoremu 7, svaki L^{p} prostor možemo identificirati s potprostorom prostora antilinearnih funkcionala na S. Po teoremu 11 vrijedi ⟨û, φ⟩ = ⟨ũ, φ̂⟩; s druge strane, zamjenom varijabli y := −x neposredno dobivamo ⟨ũ, φ⟩ = ⟨u, φ̃⟩. Posljednje dvije jednakosti imaju smisla i za općenite antilinearne funkcionale φ ↦ U(φ) = ⟨u, φ⟩ na S i u slučaju kada u nije funkcija, pa se gornje formule mogu uzeti kao definicije za ũ i û.

Budući da je svaka Lebesgueova funkcija (iz prostora L^{p}) ujedno i temperirana distribucija, to gornja definicija Fourierove pretvorbe posebno daje i proširenje Fourierove pretvorbe na svaki Lebesgueov prostor L^{p}.

Iz teorema 11 po dualnosti slijedi sljedeći Teorem 15. Ako je u ∈ S′, onda su formulama (koje vrijede za svaki φ ∈ S):

\begin{aligned}⟨ũ, φ⟩ & = ⟨u, φ̃⟩ \\ ⟨û, φ⟩ & = ⟨ũ, φ̂⟩ , \end{aligned}

definirane temperirane distribucije ũ i û. Štoviše, vrijedi formula inverzije ˆ û = ũ.

Drugim riječima, Fourierova pretvorba je linearna bijekcija sa S′ u samog sebe. Za integrabilnu funkciju u i ψ ∈ S vrijede i formule:

\begin{aligned}⟨ū, φ⟩ & = \overline{⟨u, φ̄⟩} , \\ ⟨τ_{y}u, φ⟩ & = ⟨u, τ_{−y}φ⟩ , \end{aligned}

gdje je τ_{y}u(x) := u(x+y) translacija argumenta. Uz ove oznake, jednostavno se dokazuje sljedeći teorem:

Teorem 16. Neka je u ∈ S′, ψ ∈ O, α ∈ N_{0}^{d}, a y, η ∈ R^{d}. Tada vrijede sljedeće formule:

D^{α}(ψu) = ∑_{β} \binom{α}{β}(D^{β}ψ)(D^{α−β}u) ,

(D_{x}^{α}u)^{∧} = ξ^{α}û , (x^{α}u)^{∧} = (−D_{ξ})^{α}û ,

(τ_{y}u)^{∧} = e^{2πiy·ξ}û ,  ˆ  ũ = ¯ ˆ ū = ˜ û ,  (e^{2πix·η}u)^{∧} = τ_{−η}û .

Ograničivši se na antilinearne funkcionale na Schwartzovom prostoru S, koji sadrži i funkcije s neograničenom nosačem, postavili smo kontrolu na ponašanje temperiranih distribucija u beskonačnosti, što je nužno za definiciju Fourierove pretvorbe.

Primjer. (Heisenbergova nejednakost) Neka je u ∈ S(R). Tada vrijedi

(22)  ∥xf∥_{L^{2}}∥ξf̂∥_{L^{2}}≥ \frac{1}{4π} ∥f∥_{L^{2}}^{2} .

Polazimo od identiteta

(xf(x))′ = xf′(x) + f(x) .

Stoga vrijedi

∥f∥_{L^{2}}^{2} = ∫_{R} f̄(x)f(x) dx
= ∫_{R} f̄(x) ((xf(x))′ − xf′(x)) dx
= − ∫_{R} xf(x)f̄′(x) dx − ∫_{R} xf̄(x)f′(x) dx
= −2Re ∫_{R} xf(x)f̄′(x) dx .

Odavdje, koristeći Cauchy–Schwarzovu nejednakost, dobivamo

∥f∥_{L^{2}}^{2}≤ 2 ∥xf∥_{L^{2}}∥f′∥_{L^{2}} .

Na koncu, iz Plancherelovog teorema i (f′)^{∧}(ξ) = 2πif̂(ξ), slijedi tvrdnja.

Analogno se dobija za proizvoljne a, b ∈ R:

(23)  ∥(x − a)f∥_{L^{2}}∥(ξ − b)f̂∥_{L^{2}}≥ \frac{1}{4π} ∥f∥_{L^{2}}^{2} .

Primijetimo sljedeće: Ukoliko je f takva da je ∥f∥_{L^{2}}= 1 i malena je izvan neke ε-okoline točke a, onda je ∥xf∥_{L^{2}} malo, što znači da lijevi faktor u (23) mora biti velik da bi nejednakost i dalje vrijedila. Drugim riječima, ako je masa funkcije f koncentrirana u okolini neke točke, onda masa njene Fourierove pretvorbe ne može biti koncentrirana u okolini neke točke. Ukoliko uzmemo

a := ∫_{R} x|f(x)|^{2} dx , b := ∫_{R} ξ|f̂(ξ)|^{2} dξ ,

onda (23) daje matematičku formulaciju Heisenbergovog principa neodredenosti za impuls i koordinatu u kvantnoj mehanici.

Za f, g ∈ S definiramo konvoluciju f ∗ g formulom

(f ∗ g) (x) := ∫_{R^{n}} f(x − y)g(y) dy .

Uočimo da vrijedi sljedeće

(a) supp (f ∗ g) ⊆ supp f + supp g

(b) Za svaki α ∈ N_{0}^{d} vrijedi D^{α}(f ∗ g) = (D^{α}f) ∗ g = f ∗ (D^{α}g).

Teorem 17. Vrijede sljedeće tvrdnje:

(a) Za svaku funkciju f ∈ S, preslikavanje g ↦ f ∗ g je neprekinuto preslikavanje prostora S na samog sebe.

(b) Vrijedi (f ∗ g)^{∧} = f̂ĝ.

(c) Konvolucija funkcija je komutativna i asocijativna. Dem. Tvrdnja (b) se dobija izravnim računom, dok su preostale dvije njezine jednostavne posljedice. Na primjer, iz f ∗g = (f̌ǧ)^{∧} slijedi da je konvolucija neprekinuta, kao kompozicija množenja s f̌ i inverzne pretvorbe.

Q.E.D.

Iz gornjeg je teorema vidljivo da su konvolucija i Fourierova pretvorba usko povezane; pretvorba konvolucije dviju funkcija jednaka je produktu njihovih pretvorbi. Kao i ranije, željeli bismo proširiti konvoluciju na čim veću klasu objekata.

Definicija. Za T ∈ S′ i f ∈ S definiramo njihovu konvoluciju, u oznaci T ∗ f, kao temperiranu distribuciju

(24)  ⟨T ∗ f, φ⟩ := ⟨T, f̃∗ φ⟩ ,

za svaki φ ∈ S.

Primijetimo da je gornja definicija dobra. Naime, zbog neprekinutosti preslikavanja φ ↦ f̃∗ φ, ovako definirana konvolucija temperirane distribucije i funkcije iz S ponovno temperirana distribucija. Drugim riječima, za svaki f ∈ S, preslikavanje f ↦ T ∗ f je funkcija sa S′ u sebe samog. Medutim, vrijedi i više:

Teorem 18. Neka je T ∈ S′, te f, g ∈ S. Tada vrijedi

(a) T ∗ f ∈ O, (T ∗ f)(y) = ⟨T, τ̃_{−y}f⟩ i vrijedi

(25)  D^{α}(T ∗ f) = (D^{α}T) ∗ f = T ∗ (D^{α}f) .

(b) (T ∗ f) ∗ g = T ∗ (f ∗ g).

(c) (T ∗ f)^{∧} = T̂f̂.

Posve analogno se definira konvolucija i na većem prostoru D′: Za T ∈ D′ i f ∈ D definira se konvolucija, formulom (T ∗ f)(y) = ⟨T, τ̃_{−y}f⟩ (ili, ekvivalentno, formulom (23)). Konvolucija T ∗ f je C^{∞} funkcija, odnosno C_{c}^{∞} funkcija ukoliko je T ∈ E′.

Preslikavanje ∗ : D′ × D ⟶C^{∞} može se proširiti do preslikavanja s D′ × E′ u D′. Naime, ako su S ∈ D′ i T ∈ E′, onda definiramo za svaku test funkciju φ ∈ D

⟨S ∗ T, φ⟩ := ⟨S, T̃ ∗ φ⟩ .

Asocijativnost R ∗ (S ∗ T) = (R ∗ S) ∗ T, pri čemu su R, S, T ∈ S′ je i dalje zadovoljena, ako najviše jedna od njih nema kompaktan nosač.

Zadaci.

1. Izračunati Fourierove transformate sljedećih funkcija (a > 0, b, c ∈ R, b ≠ c):

(a) u(x) := e^{−a|x|^{2}},

(b) u(x) := H(x)e^{−ax},

(c) u(x) := \frac{2a}{x^{2}+a^{2}} ,

(d) u(x) := \frac{x}{x^{2}−2x+10},

(e) u(x) := \frac{1}{(x^{2}+b^{2})(x^{2}+c^{2})}.

Nenad Antonić & Neven Balenović 20

2. Izračunati Fourierove pretvorbe temperiranih distribucija δ_{a} i δ′_{a}, pri čemu je a ∈ R^{d}.

3. Izračunati integrale (a, b ∈ R):

(a) ∫_{0}^{∞} \frac{sin ax sin bx}{x^{2}}dx,

(b) ∫_{R}[(\frac{sin x}{x})^{2} + (\frac{cos x−1}{x})^{2}],

(c) ∫_{R} \frac{sin ax cos 2πbx}{x}dx. [Naputak: Za (a), izračunati Fourierovu pretvorbu funkcije H(λ − |x|), za λ ∈ R^{+}, i primijeniti Plancherelov teorem.]

4. S pomoću Fourierove pretvorbe pokazati da je rješenje Cauchyjeve zadaće za jednadžbu provodenja dano Poissonovom formulom.

5. Pokazati da je supp (f ∗ g) ⊆ supp f + supp g.

6. Pokazati da je (L^{1}(R^{d}), ∗) Banachova algebra.

7. Pokazati da za f ∈ L^{1}(R^{d}) i g ∈ L^{p}(R^{d}) (p ∈ [1, ∞]) vrijedi:

(a) f ∗ g ∈ L^{p}(R^{d}),

(b) ∥f ∗ g∥_{L^{p}}≤∥f∥_{L^{1}} ∥g∥_{L^{p}}.

8. Pokazati da je konvolucija f ∈ C_{c}^{∞}(R) i g ∈ L_{loc}^{1} dobro definirana, i da je klase C^{∞}. Neka je f funkcija klase C^{∞} s nosačem sadržanim u [−1, 1], za koju vrijedi:

∫_{R} f(x)dx = 0 .

Pokazati da su 1 ∗ f i f ∗ Y funkcije klase C^{∞} s kompaktnim nosačem. Izračunati (1 ∗ f) ∗ Y i 1 ∗ (f ∗ Y).

4. Soboljevljevi prostori

Važno je svojstvo Fourierove pretvorbe da za temperiranu distribuciju u, u ∈ L^{2}(R^{d}) je ekvivalentno s û ∈ L^{2}(R^{d}). Budući da operacija deriviranja Fourierovom pretvorbom prelazi u množenje û polinomom, to se glatkoća distribucije u može mjeriti rastom û u beskonačnosti.

Najprije označimo λ(ξ) := \sqrt{1 + |ξ|^{2}}. Za svaki s ∈ R definiramo Soboljevljev prostor H^{s} (koji se još označuje i s W^{s,2}(R^{d})) kao skup svih temperiranih distribucija za koje je λ^{s}û ∈ L^{2}(R^{d}); tj. da vrijedi:

∥u∥_{H^{s}}^{2}:= ∫_{R^{d}}(1 + |ξ|^{2})^{s}|û(ξ)|^{2} dξ < ∞ .

Budući da je H^{s} ⊆ H^{t} za s ≥ t, to posebno definiramo H^{−∞} := ∪_{s∈R}H^{s} i H^{∞} := ∩_{s∈R}H^{s}. Očigledno vrijede inkluzije:

S ⊂ H^{∞} ⊂ H^{−∞} ⊂ S′ .

Primijetimo da smo prostore Soboljeva definirali na čitavom R^{d}, što je zahtijevalo korištenje Fourierove pretvorbe. Moguće je definirati te prostore i na otvorenom skupu Ω, ali ovdje se nećemo u to upuštati.

Teorem 19. Za proizvoljan s ∈ R, u ∈ H^{s+1} ako i samo ako je u, D_{1}u, …, D_{d}u ∈ H^{s}. Vrijedi i izraz za normu:

∥u∥_{H^{s+1}}^{2}=∥u∥_{H^{s}}^{2} + ∑_{j=1}^{d} ∥D_{j}u∥_{H^{s}}^{2} .

Štoviše, za svaki k ∈ N_{0} vrijedi (a) u ∈ H^{k} ⟺ ((∀ α ∈ N_{0}^{d})|α| ≤ k ⟹ D^{α}u ∈ L^{2}(R^{d}))

(b) Ako je s > d/2 + k i u ∈ H^{s}, onda su za svaki |α| ≤ k funkcije D^{α}u ograničene i neprekinute.

Iz teorema 19 vidimo da se H^{k} može ekvivalentno definirati kao skup svih temperiranih distribucija kojima su derivacije do reda k u L^{2}.

Navedimo nekoliko jednostavnih, a važnih svojstava prostora H^{k}.

(a) H^{k} je Hilbertov prostor sa skalarnim produktom ⟨ u | v ⟩_{H^{k}} := ⟨λ^{k}u, λ^{k}v⟩. Fourierova je pretvorba unitaran izomorfizam prostora H^{k} i L^{2}(R^{d}, μ), pri čemu je mjera μ dana s dμ(ξ) := (1 + |ξ|^{2})^{k} dξ.

(b) Za svaki s ∈ R, S je gust u H^{s}.

(c) Za svaki s ∈ R i svaki α ∈ N_{0}^{d}, takav da je |α| ≤ s vrijedi da je D^{α} ograničen operator s H^{s} u H^{s−|α|}.

(d) Norma ∥·∥_{H^{s}} je translacijski invarijantna. Zaista, ako je g(x) = f(x − x_{0}), onda je ĝ(ξ) = e^{2πix_{0}·ξ}f̂(ξ), odakle slijedi ∥g∥_{H^{s}}=∥f∥_{H^{s}}. Analogno prostoru H^{s}, Soboljevljeve prostore možemo definirati i nad drugim L^{p} prostorima.

Naime, prostor W^{k,p}, za k ∈ N, definiramo kao skup svih temperiranih distribucija, kojima su derivacije do reda k u L^{p}(R^{d}). Na primjer, pobliže pogledajmo definiciju prostora W^{1,p}. Na W^{1,p} definiramo normu

∥u∥_{W^{1,p}}:=∥u∥_{L^{p}} + ∑_{j=1}^{d} ∥∂_{j}u∥_{L^{p}} .

Uz ovo normu je W^{1,p} Banachov prostor, za svaki 1 ≤ p ≤ ∞. U slučaju p = 2, već smo komentirali da je H^{1} Hilbertov prostor.

Prema teoremu 19(b), ako je s > d/2+k, onda je H^{s} uložen u C^{k}(R^{d}). Takoder je od značaja znati kad je W^{1,p} uložen u neki Lebesgueov prostor.

Za prostor L^{p}(R^{d}) definiramo Soboljevljev konjugat indeksa p, u oznaci p^{∗}, formulom 1/p^{∗} := 1/p − 1/d.

Teorem 20. (Soboljev–Gagliardo–Nirenberg) Neka je 1 ≤ p < d. Tada je W^{1,p} uložen u L^{p^{∗}}(R^{d}) i vrijedi sljedeća Soboljevljeva nejednakost:

(26)  (∀ u ∈ W^{1,p}) ∥u∥_{L^{p^{∗}}} ≤ C ∥∇u∥_{L^{p}} ,

pri čemu konstanta C ovisi samo o p i dimenziji prostora d.

Zadaci.

1. Dokazati teorem 19.

2. Provjeriti da li su sljedeće funkcije u H^{1}(R):

(a)  u(x) := \{ \begin{matrix}1 + x , & x ∈ [−1, 0] \\ 1 − x , & x ∈ [0, 1] \\ 0 , & inače, \end{matrix}

(b)  v(x) := χ_{[0,1]} .

3. Dokazati svojstvo (c) Soboljevljevih prostorâ H^{s} (v. gore).

4. Neka su 0 ≤ s_{1} < s < s_{2}. Dokazati da postoji C > 0 takav da za svaki u ∈ H^{s_{2}}(R^{d}) vrijedi nejednakost

∥u∥_{H^{s}}≤ C ∥u∥_{H^{s_{1}}}^{t} ∥u∥_{H^{s_{2}}}^{1−t} ,

pri čemu je s = ts_{1} + (1 − t)s_{2}.

5. Dokazati da je H^{1}(R), uz standardno množenje funkcija po točkama, Banachova algebra.

5. Lokalna rješivost diferencijalnih operatora

Prelazimo na primjene Fourierove pretvorbe u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Započnimo sa zacijelo najprimitivnijim pitanjem vezanim uz jednadžbe uopće: Da li dana jednadžba ima rješenja ili ne. Precizirajmo, neka je zadan linearan parcijalan diferencijalni operator oblika

(27)  L := ∑_{|α|≤m} c_{α}(x)D^{α} ,

pri čemu su c_{α} glatke funkcije, a D^{α} = \frac{1}{(2πi)^{|α|}} ∂^{α}. Vezano uz operator L promatramo jednadžbu

(28)  Lu = f .

Zanima nas da li za danu funkciju f, definiranu na okolini neke točke, postoji rješenje gornje jednadžbe, te kakvo je. U ovoj općenitosti to je jako teško pitanje. Naime, obično gornju jednadžbu rješavamo na nekom otvorenom skupu Ω ⊆ R^{d}. Najčešće je Ω mnogostrukost s rubom, ili pak ima točke u beskonačnosti, pa ponašanje funkcije f na rubu ili u beskonačnosti može stvarati poteškoće, te u bitnome utjecati na odgovor na dano pitanje. Zbog toga ćemo razmotriti ovo pitanje lokalno. U tu svrhu imamo sljedeću

Definicija. Diferencijalni operator L je lokalno rješiv u točki x_{0} ∈ R^{d} ako postoji okolina U točke x_{0} tako da vrijedi

(∀ f ∈ C^{∞}(R^{d}))(∃ u ∈ D′)(∀ x ∈ U) Lu(x) = f(x) .

Ponekad se kaže da je tada jednadžba Lu = f lokalno rješiva. Za operator L kažemo da je globalno rješiv na otvorenom skupu Ω, ako je lokalno rješiv u svakoj svojoj točki.

Napomena. Bez smanjenja općenitosti može se pretpostaviti da f ima kompaktan nosač. Naime, za f ∈ C^{∞}(R^{d}) i x_{0} ∈ R^{d} možemo uzeti φ ∈ D takvo da je φ = 1 na nekoj okolini točke x_{0}. Ukoliko riješimo jednadžbu Lu = fφ u blizini x_{0}, onda je u takoder i rješenje polazne zadaće, budući da je fφ = f u okolini točke x_{0}.

Uz najjače uvjete, analitičnost koeficijenata c_{α} i funkcije f, klasičan je rezultat Cauchyja i Kowalevske koji daje lokalnu egzistenciju rješenja za nekarakterističnu Cauchyjevu zadaću. Analitičnost se, medutim, ovdje ne može ispustiti i u tom se smislu ovaj rezultat ne može poopćiti. Hans Lewy je 1956. godine dao poznati primjer linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe u trodimenzionalnom prostoru koja nije lokalno rješiva niti u jednoj točki prostora R^{3}. Drugim riječima, Lewy je našao linearan parcijalan diferencijalni operator s analitičkim (kompleksnim) koeficijentima, takav da čim malo oslabimo desnu stranu, te od f zahtijevamo samo da bude C^{∞} funkcija, rješenje jednadžbe Lu = f ne postoji nigdje, čak niti u distribucijama. No unatoč rečenome, Lewyjev operator izgleda vrlo pitomo (z = x + iy):

L = \frac{∂}{∂x} + i\frac{∂}{∂y} + i(x + iy)\frac{∂}{∂t} = \frac{∂}{∂z̄} + iz \frac{∂}{∂t} .

F. Treves je 1962. godine dao primjer operatora s realnim koeficijentima koji nije lokalno rješiv (vidjeti [T]).

Postavlja se pitanje karakterizacije lokalno rješivih operatora. Medutim to je pitanje vrlo teško i ovdje se nećemo baviti time. Ograničit ćemo se na operatore s konstantnim koeficijentima, tj. operatore oblika (27), pri čemu su c_{α} konstante, za svaki multiindeks α. Nadalje, pretpostavljamo da vrijedi

(29)  ∑_{|α|=m} |c_{α}| ≠ 0 ,

te u tom slučaju kažemo da je L reda m. Ukoliko definiramo

(30)  P (ξ) := ∑_{|α|≤m} c_{α}ξ^{α} ,

onda možemo zapisati da je L = P (D). Polinom P ćemo zvati simbolom, a onaj njegov dio koji sadrži samo potencije reda m zvat ćemo glavnim simbolom operatora L. Kao što smo već vidjeli ranije, ovakav zapis je više nego zgodan za primjenu Fourierove pretvorbe, budući da djelovanje operatora L na funkciju time prelazi u množenje transformata funkcije njegovim simbolom.

Za operatore s konstantnim koeficijentima je odgovor na pitanje o lokalnoj rješivosti pozitivan. Štoviše, svaki parcijalan diferencijalan operator s konstantnim koeficijentima je globalno rješiv. Ovdje dajemo jednostavan izravan dokaz ovog rezultata.

Teorem 21. Neka je L parcijalan diferencijalni operator s konstantnim koeficijentima. Tada za svaki f ∈ D postoji u ∈ C^{∞}(R^{d}) koji zadovoljava Lu = f na R^{d}.

Dokaz. (Louis Nirenberg) Formalnom primjenom Fourierove pretvorbe na jednadžbu Lu = P (D)u = f dobivamo da vrijedi P (ξ)û(ξ) = f̂(ξ). Stoga bi se činilo prirodnim definirati traženo rješenje u jednadžbe s

u(x) = (\frac{f̂}{P})^{∨} (x) = ∫_{R^{d}} e^{2πix·ξ} \frac{f̂(ξ)}{P (ξ)} dξ .

Ovdje, medutim, nastaju poteškoće. P je polinom u d varijabli i ima mnoštvo (čitavu mnogostrukost) nultočaka. Stoga gornja formula bez daljnjeg nema smisla.

Ideja je u sljedećem: Kako je f ∈ D to se f̂ može proširiti do cijele funkcije na C^{d}. Dakle, f̂/P je meromorfna funkcija, pa ćemo deformacijom konture integracije zaobići nultočke od P. Preciznije, neka je η jediničan vektor u R^{d} koji nije nultočka glavnog simbola operatora L. Zamjenom koordinata (rotacijom i dilatacijom) možemo postići da η gleda u nekom od kanonskih smjerova. Stoga bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je η = (0, …, 0, 1). Takoder, množenjem s konstantom možemo postići da je koeficijent uz ∂_{d}^{m} jednak 1. Tada je L = ∂_{d}^{m} + L′, pri čemu je L′ parcijalan diferencijalni operator reda manjeg ili jednakog m − 1 u ∂_{d}.

Vektor ξ ∈ R^{d} zapišimo u obliku ξ = (ξ′, ξ_{d}), gdje je ξ′ ∈ R^{d−1}. Neka je ξ′ proizvoljan ali čvrst. Promotrimo polinom P (ξ′, ·). To je polinom jedne varijable ξ_{d}, stupnja m, nad poljem kompleksnih brojeva. Budući da je C algebarski zatvoreno polje, to za svaki ξ′ P (ξ′, ·) ima točno m kompleksnih nultočaka. Označimo ih s λ_{1}(ξ′), …, λ_{m}(ξ′), pri čemu smo ih poredali po rastućim imaginarnim dijelovima, te po rastućim realnim dijelovima ako su imaginarni jednaki. Zbog neprekinute ovisnosti korjena polinoma o koeficijentima slijedi da su Im λ_{j}(ξ′) neprekinuti po ξ′ za sve j. Trebati će nam dvije leme.

Lema 2. Postoji izmjeriva funkcija Φ : R^{d−1} ⟶ [−m − 1, m + 1] takva da vrijedi

(31)  (∀ ξ′ ∈ R^{d−1}) min_{j} |Φ(ξ′) − λ_{j}(ξ′)| ≥ 1 .

Lema 3. Neka je P (ξ′, ξ_{d}) = ξ_{d}^{m} + ⟨niži članovi u ξ_{d}⟩, te neka je N(P) := {ζ ∈ C^{d} : P (ζ) = 0} skup svih nultočaka polinoma P. Takoder, neka je d(ξ) := d(ξ, N(P)). Tada vrijedi

|P (ξ)| ≥ (\frac{d(ξ)}{2})^{m} .

Vratimo se na dokaz teorema. Definirajmo funkciju u formulom

(32)  u(x) := ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} e^{2πix·ξ} \frac{f̂(ξ)}{P (ξ)} dξ_{d}dξ′ ,

gdje je M(ξ′) := {ξ ∈ R^{d} : Im ξ_{d} = Φ(ξ′)}, a Φ funkcija kao iz Leme 2. Na osnovu Lema zaključujemo da dužM(ξ′) vrijedi ocjena |P (ξ)| ≥ 2^{−m}. Kako f ima kompaktan nosač, to postoji R > 0 tako da je supp f ⊆ K(0, R). Za ζ ∈ C^{d} (ζ = ξ + iη) dobijamo da je Fourierova pretvorba funkcije f

f̂(ζ) = ∫_{K(0,R)} e^{−2πix·ξ}e^{2πix·η}f(x) dx .

Odavdje dobivamo ocjenu |f̂(ζ)| ≤ C_{0}e^{2πR|Im ζ|}, pri čemu konstanta C_{0} ovisi o R i funkciji f. Slično, za α ∈ N_{0}^{d} imamo

ζ^{α}f̂(ζ) = ∫_{K(0,R)} e^{−2πix·ξ}e^{2πix·η}D^{α}f(x) dx ,

odakle slijedi ocjena

|ζ^{α}| |f̂(ζ)| ≤ sup |D^{α}f| ∫_{K(0,R)} e^{2πix·η} dx .

Označimo li s C_{α} gornji supremum, dobijamo sličnu ocjenu kao ranije

(∏_{k=1}^{m} |ζ_{k}|^{α_{k}}) |f̂(ζ)| ≤ C_{α}e^{2πR|Im ζ|} .

Na osnovu prethodnog zaključujemo da za svaki N ∈ N_{0} vrijedi ocjena

(33)  |f̂(ζ)| ≤ \frac{C_{N}e^{2πR|Im ζ|}}{(1 + |ζ|)^{N}} ,

za neku pozitivnu konstantu C_{N}. Odavdje slijedi da f̂ trne čim |Re ζ| ⟶ 0, tako dugo dok je Im ζ ograničen. U svjetlu prethodnog razmatranja vidimo da integral u (15), zajedno sa svim svojim parcijalnim derivacijama, konvergira apsolutno i uniformno definirajući C^{∞} funkciju u. Time smo opravdali sljedeći račun:

Lu(x) = P (D)u(x) = ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} P (D)e^{2πix·ξ} \frac{f̂(ξ)}{P (ξ)} dξ_{d}dξ′
= ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} e^{2πix·ξ}f̂(ξ) dξ_{d}dξ′ = ∫_{R^{d}} e^{2πix·ξ}f̂(ξ) dξ
= f(x) .

Ovdje smo u pretposljednjoj jednakosti koristili Cauchyjev teorem.

Q.E.D.

Preostaje dokazati leme.

Dokaz Leme 2. Interval [−m − 1, m + 1] ima duljinu 2m + 2, stoga za svaki ξ′ ∈ R^{d−1} postoji podinterval duljine 2 koji ne sadrži niti jednu od točaka Im λ_{j}(ξ′). Preslikavanje Φ ćemo definirati kao središnju točku tog intervala. Preciznije, definirajmo

\begin{aligned}μ_{0}(ξ′) & := −m − 1 , \\ μ_{m+1}(ξ′) & := m + 1 , \end{aligned}

dok za 1 ≤ j ≤ m stavljamo

μ_{j}(ξ′) := max{min{Im λ_{j}(ξ′), m + 1}, −m − 1} .

Funkcije μ_{j} su očito neprekinute za svaki j, stoga su skupovi

V_{j} := {ξ′ ∈ R^{d−1} : μ_{j+1}(ξ′) − μ_{j}(ξ′) ≥ 2}, j = 0, …, m + 1

izmjerivi i pokrivaju čitav R^{d−1}. Možemo konstruirati disjunktne izmjerive podskupove W_{j} koji takoder pokrivaju R^{d−1}. Sada je funkcija Φ definirana s

Φ(ξ′) := \frac{1}{2} (μ_{j+1}(ξ′) + μ_{j}(ξ′)) , ξ′ ∈ W_{j} ,

očito izmjeriva i zadovoljava nejednakost (31).

Q.E.D.

Dokaz Leme 3. Uzmimo vektor ξ ∈ R^{d} takav da je P (ξ) ≠ 0, te, kao i ranije, vektor η = (0, …, 0, 1). Definirajmo funkciju g : C ⟶ C, formulom g(z) := P (ξ +zη). Ovako definiran g je polinom jedne kompleksne varijable i kao takav ima točno m nultočaka; označimo ih s λ_{1}, …, λ_{m}. Tada je

g(z) = C(z − λ_{1}) … (z − λ_{m}) ,

pa stoga vrijedi

|\frac{g(z)}{g(0)}| = ∏_{j=1}^{m} |1 − \frac{z}{λ_{j}} | .

Budući da je ξ + λ_{j}η ∈ N(P), to je |λ_{j}| ≥ d(ξ). Stoga |z| ≤ d(ξ) povlači da je |g(z)/g(0)| ≤ 2^{m}. Takoder vrijedi

|g^{(m)}(0)| = |\frac{m!}{2πi} ∫_{|ζ|=d(ξ)} g(ζ)ζ^{−m−1} dζ| ≤ \frac{m!}{2} \frac{|g(0)|}{d(ξ)^{m+1}} 2^{m} 2πd(ξ) ,

drugim riječima |g^{(m)}(0)| ≤ m! |g(0)| 2^{m}d(ξ)^{−m}. Medutim, zbog

g(0) = P (ξ) i g^{(m)}(0) = \frac{∂^{m}P (ξ)}{∂ξ_{d}^{m}} = m!

vrijedi m! ≤ m! |g(0)| 2^{m}d(ξ)^{−m}, odnosno |P (ξ)| ≥ (d(ξ)/2)^{m}, što se i tvrdilo.

Q.E.D.

Ovim je Teorem 21 u potpunosti dokazan.

6. Fundamentalna rješenja i Malgrange – Ehrenpreiseov teorem

U prethodnom smo odjeljku dokazali da je svaki linearan parcijalan diferencijalan operator s konstantnim koeficijentima globalno rješiv na čitavom R^{d}. Pojam rješivost se lako poopćuje i na slučaj kada je f distribucija. Reći ćemo da je parcijalan diferencijalan operator L lokalno rješiv u okolini točke x_{0}, ako postoji okolina Ω točke x_{0} takva da vrijedi

(∀ f ∈ D′(Ω))(∃ u ∈ D′(Ω)) Lu = f na Ω .

Kao i prije, dovoljno je gledati distribucije f s kompaktnim nosačem, tj. f ∈ E′. Zapravo, dovoljno je uzeti f = δ. Naime, ukoliko je distribucija E rješenje jednadžbe Lu = δ, onda E_{f} := E ∗ f zadovoljava LE_{f} = f.

Definicija. Distribuciju E ćemo zvati fundamentalno rješenje za operator L = P (D) ukoliko zadovoljava distribucijsku jednadžbu LE = δ.

Razlog za proučavanje fundamentalnih rješenja je u sljedećem: Ako je f ∈ D′, te u := E ∗ f, onda vrijedi

P (D)u = P (D)(E ∗ f) = P (D)E ∗ f
= δ ∗ f
= f .

Stoga, ukoliko možemo naći fundamentalno rješenje, onda imamo teorem egzistencije za sve parcijalne diferencijalne jednadžbe P (D)u = f gdje je f ∈ D′(R^{d}). Nadalje, ako možemo naći izraz za E, onda imamo i eksplicitnu reprezentaciju rješenja, u = E ∗ f.

Značajan je teorem Malgrangea i Ehrenpreisa po kojem svaki linearan parcijalan diferencijalan operator s konstantnim koeficijentima ima fundamentalno rješenje. Zanimljivo je to da je ovaj važan rezultat jednostavno proširenje teorema 21.

Teorem 22. (Malgrange–Ehrenpreis) Svaki parcijalan diferencijalni operator s konstantnim koeficijentima ima fundamentalno rješenje. Dem. Po uzoru i uz oznake kao u dokazu teorema 21, fundamentalno rješenje tražimo u obliku

E(x) = ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} e^{2πix·ξ} \frac{1}{P (ξ)} dξ_{d}dξ′ .

Problem je u tome što u gornjoj formuli integrand općenito nije (čak ni lokalno) L^{1} funkcija. Stoga umjesto P, za dovoljno velike N ∈ N, promotrimo polinome

P_{N}(ξ) := P (ξ) (1 + |ξ|^{2})^{N} .

Definirajmo

E_{N}(x) = ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} \frac{e^{2πix·ξ}}{P_{N}(ξ)} dξ_{d}dξ′ .

Na području integracije vrijedi |P_{N}(ξ)| ≥ C (1 + |ξ|^{2})^{N}, pa će gornji integral konvergirati ukoliko je N > d/2. Ako možemo dokazati da je P_{N}(D)E_{N} = δ, onda smo gotovi, jer tada distribucija E := (I − Δ)^{N}E_{N} zadovoljava P (D)E = δ.

Neka je φ test funkcija. Računajmo

⟨P_{N}(D)E_{N}, φ⟩ = ⟨E_{N}, \overline{P_{N}(−D)}φ⟩

= ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} \frac{e^{2πix·ξ}}{P_{N}(ξ)}P_{N}(−D)φ̄(x) dξ_{d}dξ′dx

= ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} \frac{1}{P_{N}(ξ)} ∫_{R^{d}} e^{2πix·ξ}P_{N}(−D)φ̄(x) dxdξ_{d}dξ′dx

= ∫_{R^{d−1}} ∫_{M(ξ′)} ¯ φ̂(ξ) dξ_{d}dξ′

= ∫_{R^{d}} ¯ φ̂(ξ) dξ = φ̄(0) = ⟨δ, φ⟩ .

Q.E.D.

7. Regularnost diferencijalnih operatora

Definicija. Neka je L linearan parcijalan diferencijalni operator s glatkim koeficijentima, dan formulom (27). Kažemo da je L hipoeliptičan ukoliko za svaki u ∈ D′(R^{d}) vrijedi inkluzija supp sing u ⊆ supp sing Lu. Drugim riječima, L je hipoeliptičan ako i samo ako za svaki otvoren skup Ω ⊆ R^{d}, Lu ∈ C^{∞}(R^{d}) povlači u ∈ C^{∞}(R^{d}).

Napomena. Kažemo da je diferencijalan operator L eliptičan u točki x ∈ R^{d} ako za njegov glavni simbol vrijedi

(∀ ξ ∈ R^{d}\{0}) ∑_{|α|=m} c_{α}(x)ξ^{α} ≠ 0 .

L je eliptičan ako je eliptičan u svakoj točki x ∈ R^{d}. Kao posljedica karakterizacije hipoeliptičnih operatora (vidjeti [Folland], str. 78, teorem 3.29), slijedi da su svi eliptični operatori hipoeliptični, odakle je i naziv hipoeliptičnost.

Poznato je da su svi obični diferencijalni operatori s C^{∞} koeficijentima hipoeliptični. S parcijalnim diferencijalnim operatorima to, medutim, nije slučaj.

Primjer. Promotrimo operator koji odgovara jednadžbi akustičnih valova, L = \frac{∂^{2}}{∂x∂y}. Opće rješenje jednadžbe Lu = 0 dano je s u(x, y) = f(x) + g(y), pri čemu su f i g proizvoljne C^{1} funkcije. Prema tome L nije hipoeliptičan.

Primijetimo da, ukoliko je parcijalan diferencijalan operator L hipoeliptičan, onda je svako njegovo fundamentalno rješenje C^{∞} funkcija u R^{d}\{0}. U slučaju operatora s konstantnim koeficijentima, taj je uvjet i dovoljan za hipoeliptičnost.

Teorem 23. Neka je L parcijalan diferencijalni operator s konstantnim koeficijentima. Tada su sljedeće tvrdnje ekvivalentne

(a) L je hipoeliptičan.

(b) Svako fundamentalno rješenje operatora L je u C^{∞}(R^{d}\{0}).

(c) Postoji fundamentalno rješenje operatora L, koje je u C^{∞}(R^{d}\{0}).

Najprije dokažimo sljedeću lemu.

Lema 4. Neka je f ∈ D′ sa svojstvom da je f ∈ C^{∞}(R^{d}\{0}), te neka je g ∈ E′. Tada je supp sing (f ∗ g) ⊆ supp g. Dem. Pretpostavimo da x ∉ supp g. Pokazati ćemo da je f C^{∞} funkcija u okolini točke x.

Kako je x ∉ supp g, to postoji ε > 0 takav da je K(x, ε) ∩ supp g = ∅. Neka je φ ∈ C_{c}^{∞}(K(0, ε/2)), takva da je φ = 1 na K(0, ε/4). Tada je

f ∗ g = (φf) ∗ g + (1 − φ)f ∗ g .

Kako je (1 − φ)f ∈ C^{∞}(R^{d}), vrijedi da je i (1 − φ)f ∗ g ∈ C^{∞}(R^{d}). Takoder vrijedi

supp (φf) ∗ g ⊆ supp φf + supp g

⊆ \{y ∈ R^{d} : d(y, supp g) ≤ \frac{ε}{2}\} .

Odavdje zaključujemo da je kugla K(x, ε/2) disjunktna s nosačem funkcije (φf) ∗ g, pa na njoj vrijedi f ∗ g = (1 − φ)f ∗ g, što je svakako C^{∞} funkcija.

Q.E.D.

Dokaz Teorema 23. Implikacija (a) povlači (b) slijedi iz ranijih razmatranja, dok je implikacija (b) povlači (c) trivijalna. Jedina netrivijalna stvar za dokazati jest da (c) povlači (a).

Neka je E fundamentalno rješenje operatora L, koje je u C^{∞}(R^{d}\{0}). Pretpostavimo da je u ∈ D′, te Lu ∈ C^{∞}(Ω), pri čemu je Ω ⊆ R^{d} otvoren skup.

Za x ∈ Ω odaberimo ε > 0 dovoljno malen, tako da je zatvarač kugle K(x, ε) sadržan u Ω. Odaberimo, nadalje, funkciju φ ∈ C_{c}^{∞}(K(x, ε)), takvu da je φ = 1 na K(x, ε/2). Tada je

L(φu) = φLu + v ,

pri čemu je v = 0 na K(x, ε/2), te izvan K(x, ε). Zapišimo

E ∗ L(φu) = E ∗ φLu + E ∗ v .

Kako je φLu ∈ C_{c}^{∞}(K(x, ε)), to je E ∗ Lu C^{∞} funkcija. Takoder je, po prethodnoj lemi, E ∗ v ∈ C^{∞}(K(x, ε/2)). Stoga je E ∗ L(φu) ∈ C^{∞}(K(x, ε/2)). Medutim, E ∗ L(φu) = LE ∗ φu = δ ∗ φu = φu, pa je φu ∈ C^{∞}(K(x, ε/2)). Budući da je φ = 1 na K(x, ε/2), slijedi da je u ∈ C^{∞}(K(x, ε/2)). Tvrdnja teorema sada slijedi zbog proizvoljnosti x ∈ R^{d}.

Q.E.D.

8. Primjeri fundamentalnih rješenja

U ovom odjeljku, izmedu ostalog, uvodimo neke važne parcijalne diferencijalne operatore, odnosno jednadžbe, matematičke fizike. Spomenute jednadžbe su evolucijske, što znači i to da rješenje ovisi o realnom parametru t, kojeg ćemo zvati vrijeme, dok ćemo preostale varijable nazivati prostornima. Kako je osnovni alat kojeg ovdje koristimo Fourierova pretvorba, zgodno je uvesti sljedeću konvenciju: pretvorbu po prostornim varijablama zvati ćemo jednostavno Fourierova pretvorba i označavati kao do sada, s kapicom. Nasuprot tome, Fourierovu ćemu pretvorbu po svim varijablama označavati s F.

8.1. Operator provodenja

Operator provodenja dan je s

L := ∂_{t} − △ .

Cilj nam je pronaći distribuciju K, takvu da je zadovoljeno (∂_{t} − △)K = δ(x)δ(t), pri čemu ovaj produkt distribucija ima smisao tenzorskog produkta. Ovdje δ(x) nije δ u točki, već u varijabli x.

Uzimanjem Fourierove pretvorbe u obje varijable, slijedi formula

(FK)(ξ, τ) = \frac{1}{2πiτ + 4π^{2}|ξ|^{2}} .

FK je lokalno integrabilna u blizini ishodišta, stoga definira temperiranu distribuciju. Poteškoća je u tome što FK nije globalno integrabilna, pa je izravna primjena inverzne Fourierove pretvorbe time otežana. Umjesto toga, vratimo se na polaznu jednadžbu, te uzmimo samo Fourierovu pretvorbu po varijabli x. Slijedi (distribucijska) obična diferencijalna jednadžba

∂_{t}K̂(ξ, t) + 4π^{2}|ξ|^{2}K̂(ξ, t) = δ(t) .

Rješenje ove jednadžbe dano je s

K̂(ξ, t) = \{ \begin{matrix}a(ξ)e^{−4π^{2}|ξ|^{2}t}, & za t > 0 \\ b(ξ)e^{−4π^{2}|ξ|^{2}t}, & za t < 0 , \end{matrix}

pri čemu vrijedi a(ξ) − b(ξ) = 1. Kao što vidimo, postoji izvjesna sloboda u izboru funkcija a i b; medutim, najprirodnija bi bila ona koja bi činila K̂ temperiranom i po t. Uzmimo li npr. a := 1 i b := 0, onda slijedi

K̂(ξ, t) = \{ \begin{matrix}e^{−4π^{2}|ξ|^{2}t}, & za t > 0 \\ 0 , & za t < 0 . \end{matrix}

Drugim riječima, K̂(ξ, t) = H(t)e^{−4π^{2}|ξ|^{2}t}, gdje je H Heavisideova funkcija. Uzimanjem inverzne pretvorbe slijedi (zadatak 3.1(a)):

(34)  K(x, t) = \frac{1}{(4πt)^{n/2}} H(t)e^{− \frac{|x|^{2}}{4t}} .

Funkciju K_{t}(x) := K(x, t) često nazivamo Gaussova jezgra.

S (34) je dano fundamentalno rješenje za operator provodenja. Primjetimo da je L hipoeliptičan, jer je K C^{∞} funkcija izvan ishodišta u R^{d+1}. Štoviše, K, zajedno sa svim svojim derivacijama, brzo trne u beskonačnosti, stoga u formuli za rješenje homogene početne zadaće za jednadžbu provodenja, u(x, t) = K_{t} ∗ u_{0}, možemo derivirati pod znakom integrala koliko god puta to želimo. Rješenje je stoga glatko, što znači da jednadžba provodenja ima jako regularizirajuće svojstvo; uz proizvoljan početni uvjet, rješenje je C^{∞} funkcija. To je razlogom što je u jednadžbi provodenja vrijeme ireverzibilno (ovo je slaba forma drugog zakona termodinamike).

Na koncu, primijetimo da je fundamentalno rješenje K invarijantno na prostorne rotacije, jer ovisi samo o |x|^{2}.

8.2. Schrödingerov operator Schrödingerov operator na prvi pogled jako nalikuje operatoru provodenja; naime ima oblik

(35)  L := i∂_{t} − △ .

Razlika je, medutim, u imaginarnoj jedinici koja je uz vremensku derivaciju. Postupimo li na isti način kao u prethodnom slučaju, dobijemo jednadžbu

i∂_{t}K̂(ξ, t) + 4π^{2}|ξ|^{2}K̂(ξ, t) = δ(t) ,

odakle slijedi

K̂(ξ, t) = H(t)e^{4π^{2}|ξ|^{2}it} .

Primijetimo da je K̂ temperirana distribucija, koja medutim nije u L^{1}, pa nije jednostavno primjeniti inverznu pretvorbu kako bismo dobili K. Za ε > 0 definirajmo distribuciju K_{ε} formulom

K_{ε}(x, t) = H(t)e^{4π^{2}|ξ|^{2}(−ε+it)} .

Budući da K̂_{ε} konvergira ka K̂ u smislu temperiranih distribucija, to i njihove inverzne pretvorbe konvergiraju prema K. Za svaki ε > 0 je K̂_{ε} integrabilna, pa možemo mijenjati poredak integracije u

K_{ε}(x, t) = H(t) ∫_{R^{d}} e^{2πix·ξ+4π^{2}|ξ|^{2}(−ε+it)} dξ .

Odavdje računanjem integrala i prijelaskom na limes ε ⟶ 0 slijedi formula za fundamentalno rješenje Schrödingerovog operatora

(36)  K(x, t) = \frac{1}{(4πit)^{n/2}} H(t)e^{\frac{|x|^{2}}{4it}} .

Primjetimo da je i u ovom slučaju fundamentalno rješenje rotacijski invarijantno, što je i bilo za pretpostaviti, s obzirom na sličnost s operatorom provodenja. Ono što se ovdje pokvarilo je to da smo izgubili hipoeliptičnost. Naime, K nije glatka (čak ni integrabilna, osim u slučaju jedne prostorne dimenzije) na čitavoj poluravnini odredenoj s t = 0. Vidimo da Schrödingerova jednadžba, za razliku od jednadžbe provodenja, nema izgladujuće svojsrtvo. Naime, iz (36) se vidi da se glatkoća čuva, pa je rješenje Schrödingerove jednadžbe podjednako glatko kao i početni uvjet.

Često se označava

(37)  R(x, t) := \frac{1}{(4πit)^{n/2}} e^{\frac{|x|^{2}}{4it}} .

8.3. Valni operator

Valni je operator dan s

(38)  L := ∂_{tt} − △ .

Djelujemo li Fourierovom pretvorbom po svim varijablama, slijedi

(39)  (FK)(ξ, τ) = \frac{1}{4π^{2}(|ξ|^{2} − τ^{2})} .

Ova funkcija, medutim, čak nije ni lokalno integrabilna, stoga nije posve jasno kako je interpretirati kao distribuciju. Zbog toga ponovno vršimo pretvorbu samo po prostornim varijablama. Dobija se sljedeća jednadžba:

∂_{tt}K̂(ξ, t) + 4π^{2}|ξ|^{2}K̂(ξ, t) = δ(t) .

Rješenje ove jednadžbe su

\begin{aligned}K̂_{+}(ξ, t) & = a_{+}(ξ)e^{2πi|ξ|t} + b_{+}(ξ)e^{−2πi|ξ|t} , za t > 0 , \\ K̂_{−}(ξ, t) & = a_{−}(ξ)e^{2πi|ξ|t} + b_{−}(ξ)e^{−2πi|ξ|t} , za t < 0 , \end{aligned}

pri čemu se koeficijenti udreduju iz uvjeta

K̂_{+}(ξ, 0+) = K̂_{−}(ξ, 0−) , ∂_{t}K̂_{+}(ξ, 0+) − ∂_{t}K̂_{−}(ξ, 0−) = 1 .

Odabiremo takvu kombinaciju da K̂_{+}, odnosno K̂_{−}, ima nosač sadržan u poluprostoru odredenom s t ≥ 0, odnosno t ≤ 0. Odgovarajuća rješenja su

\begin{aligned}K̂_{+}(ξ, t) & = H(t)\frac{sin (2π|ξ|t)}{2π|ξ|} , \\ K̂_{−}(ξ, t) & = −H(−t)\frac{sin (2π|ξ|t)}{2π|ξ|} = K̂_{+}(ξ, −t) , \end{aligned}

Iako K̂_{+} i K̂_{−} nisu integrabilne po t, možemo ih dobiti kao limese u S′ L^{1} funkcija

K̂_{+}^{ε}(ξ, t) = e^{−2πεt}H(t)\frac{sin (2π|ξ|t)}{2π|ξ|} , za ε > 0 .

Zaista, K̂_{+}^{ε} je integrabilna za svaki ε i lako se vidi da konvergira k K̂_{+} u S′, kad ε ⟶ 0. Stoga vrijedi i FK_{+}^{ε} ⟶ FK_{+}. FK_{+}^{ε} je lako izračunati; dobije se

(FK_{+}^{ε})(ξ, τ) = \frac{1}{4π^{2}(|ξ|^{2} − (τ − iε)^{2})} .

Nenad Antonić & Neven Balenović 30

Iskoristimo li vezu izmedu K̂_{+} i K̂_{−}, dobije se da vrijedi FK_{−} = lim_{ε⟶0} FK_{−}^{ε} u S′, pri čemu je

(FK_{−}^{ε})(ξ, τ) = \frac{1}{4π^{2}(|ξ|^{2} − (τ + iε)^{2})} .

Našli smo, dakle, način da funkciju u (39) interpretirmo (na dva načina) kao temperiranu distribuciju, stoga je i njezina inverzna pretvorba temperirana distribucija.

U jednoj prostornoj dimenziji fundamentalno se rješenje može jednostavno izravno dobiti. Zamjenom varijabli s := t − x i y := t + x, valni operator prelazi u oblik

L̃ = 4∂_{sy} ,

pa slijedi jednadžba za fundamentalno rješenje

4∂_{sy}K̃ = δ(s)δ(y) .

Odavdje slijedi da je svako fundamentalno rješenje odgovarajuća linearna kombinacija distribucija

\begin{matrix}K̃_{1} = \frac{1}{4}H(s)H(y) , K̃_{2} = −\frac{1}{4}H(s)H(−y) , \\ K̃_{3} = −\frac{1}{4}H(−s)H(y) , K̃_{4} = \frac{1}{4}H(−s)H(−y) . \end{matrix}

Prva od gornjih funkcija vodi na fundamentalno rješenje, dano s pomoću lokalno integrabilne funkcije

K_{1} = \frac{1}{2}H(t − x)H(t + x) = \frac{1}{2}H(t)H(t^{2} − x^{2}) .

Nosač distribucije K_{1} je tzv. konus budućnosti, dan s t ≥ 0, t+x ≥ 0 i t−x ≥ 0. Odatle slijedi da je singularan nosač od K_{1} unija dviju zraka iz ishodišta, stoga valni operator nije hipoeliptičan (v. primjer ranije). Slična se razmatranja provode u preostala četiri slučaja; nosači odgovarajućih distribucia su preostala tri konusa. Primjerice, nosač fundamentalnog rješenja K_{4} je simetričan obzirom na ishodište nosaču od K_{1} (konus prošlosti).

Valni je operator specijalan slučaj Klein–Gordonovog operatora

L := L := ∂_{tt} − △ − m^{2} ,

pri čemu je m ≠ 0. Isti račun, uz κ^{2}(ξ) := 4π^{2}|ξ|^{2} + m^{2} umjesto 4π^{2}|ξ|^{2}, prolazi i u ovom slučaju. Tako npr. slijede Fourierove pretvorbe fundamentalnih rješenja za lijeve i desne valove

\begin{aligned}K̂_{+}(ξ, t) & = H(t)\frac{sin (2πκ(ξ)t)}{2πκ(ξ)} , \\ K̂_{−}(ξ, t) & = −H(−t)\frac{sin (2πκ(ξ)t)}{2πκ(ξ)} = K̂_{+}(ξ, −t) , \end{aligned}

Potpuno analogno, K̂_{+} i K̂_{−} možemo ih dobiti kao limese L^{1} funkcija (s obzirom na varijablu t) u smislu temperiranih distribucija, pa slijede formule

\begin{matrix}(FK_{+})(ξ, τ) = lim_{ε⟶0} \frac{1}{4π^{2}(|ξ|^{2} + m̃^{2} − (τ − iε)^{2})} i \\ (FK_{−})(ξ, τ) = lim_{ε⟶0} \frac{1}{4π^{2}(|ξ|^{2} + m̃^{2} − (τ + iε)^{2})} , \end{matrix}

pri čemu je m̃ := m/2π tzv. reducirana masa.

Nenad Antonić & Neven Balenović 31