Nenad Antonić Parcijalne diferencijalne jednadžbe

Primjeri parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Parcijalna diferencijalna jednadžba je zadana relacijom oblika

F (x, y, ⋯, u, u_{x}, u_{y}, ⋯, u_{xx}, u_{xy}, ⋯) = 0 .

Tražimo funkciju u(x, y, ⋯), rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe, tako da je gornja relacija ispunjena. Pod rješenjem ne podrazumijevamo samo jednu funkciju (partikularno rješenje), nego ukupnost svih takvih funkcija.

Ukoliko u ovisi samo o jednoj varijabli, parcijalna diferencijalna jednadžba postaje obična diferencijalna jednadžba. Za razliku od običnih diferencijalnih jednadžbi, gdje se u iskazu općeg rješenja pojavljuju proizvoljne konstante, u iskazu općeg rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi pojavljuju se proizvoljne funkcije. Pogledajmo nekoliko primjera. Primjeri.

1. u_{y} = 0 [u = w(x)]

2. u_{xy} = 0 [u = w(x) + v(y)]

3. u_{xy} = f(x, y) [u(x, y) = ∫_{x_{0}}^{x} ∫_{y_{0}}^{y} f(ξ, η) dξ dη + w(x) + v(y)]

4. Parcijalna diferencijalna jednadžba u_{x} = u_{y} zamjenom ξ := x+y, η := x−y, ω(ξ, η) = u(x, y) prelazi u jednadžbu 2ω_{η} = 0, koja ima opće rješenje ω = w(ξ). Stoga je opće rješenje polazne jednadžbe u = w(x + y).

5. αu_{x} + βu_{y} = 0 [u = w(βx − αy)]

6. Parcijalna diferencijalna jednadžba za funkciju u u_{x}g_{y} − u_{y}g_{x} = 0 ,

pri čemu je g = g(x, y) bilo koja zadana funkcija, iskazuje da iščezava Jacobijeva determinanta

\frac{∂(u, g)}{∂(x, y)} = | \begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ g_{x} & g_{y} \end{matrix} | .

To znači da su funkcije u i g linearno ovisne, tj. da možemo zapisati u = w[g(x, y)], gdje je w proizvoljna funkcija jedne varijable.

7. u_{x}g_{y}(x, y, u) − u_{y}g_{x}(x, y, u) = 0 [u = W (g(x, y, u))]

8. α(u)u_{x} − β(u)u_{y} = 0 [u = W (α(u)u + β(u)u)]

9. u_{y} + uu_{x} = 0 [u = W (−x + uy)]

10. u_{xx} − u_{yy} = 0 [u(x, y) = w(x + y) + v(x − y)]

11. u_{xx} − \frac{1}{t^{2}} u_{yy} = 0 (t je parametar) [u(x, y) = w(x + ty) + v(x − ty)]

12. u_{xxyy} = 0 [u(x, y) = w(y) + xw_{1}(y) + v(x) + yv_{1}(x)]

13. u_{z} = 0 [u(x, y, z) = w(x, y)]

14. Razdvajanje varijabli: u(x, y) = φ(x) + ψ(y).

Primijenimo to na jednadžbu u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = 1. Dobivamo (φ′(x))^{2} + (ψ′(y))^{2} = 1, tj. i φ i ψ su konstante, dakle u(x, y) = αx + \sqrt{1 − α^{2}}y + β.

15. u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2} = 1 [u(x, y, z) = αx + βy + \sqrt{1 − α^{2} − β^{2}}z + γ]

16. f(x)u_{x}^{2} + g(y)u_{y}^{2} = a(x) + b(y) [u(x, y) = ∫_{x_{0}}^{x} \sqrt{\frac{a(ξ)+α}{f(ξ)}} dξ + ∫_{y_{0}}^{y} \sqrt{\frac{b(η)−α}{g(η)}} dη + β]

17. Vratimo se na primjer 2. Dva primjera rješenja su u = 6e^{x}+ln(1+cos^{2} y) i u = x^{4}−x+3ch^{3}y. Medutim, za proizvoljne konstante c_{1}, c_{2}, … rješenja su i u = 6c_{1}e^{x}+x^{4}−x+c_{2} ln(1+cos^{2})+3ch^{3}y i u = 6c_{1}e^{x} + c_{2}(x^{4} − x) + c_{3} ln(1 + cos^{2} y) + 3c_{4}ch^{3}y. Očigledno možemo napisati rješenje koje će sadržavati po volji velik konačan broj proizvoljnih konstanti.

21. listopada 1995.