Nenad Antonić Parcijalne diferencijalne jednadžbe

Klasifikacija i kanonski oblik parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Karakteristike kvazilinearnih jednadžbi drugog reda

Za kvazilinearnu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda u dvije varijable

(1)  au_{xx} + 2bu_{xy} + cu_{yy} = d ,

gdje funkcije a, b, c i d ovise o x, y, u, u_{x} i u_{y}, želimo riješiti Cauchyjevu zadaću; to jest naći rješenje, funkciju u, za koju su zadane (kompatibilne) vrijednosti u, u_{x} i u_{y} na krivulji γ … x = f(s), y = g(s):

(2)  u = h(s) , u_{x} = φ(s) , u_{y} = ψ(s) .

Ukoliko je v funkcija zadana duž krivulje γ, onda njezina derivacija duž γ nužno zadovoljava:

(3)  \frac{dv}{ds} = \frac{d}{ds}v(f(s), g(s)) = v_{x}f′(s) + v_{y}g′(s) .

Stoga za rješenje u imamo sljedeći uvjet kompatibilnosti:

h′(s) = φ(s)f′(s) + ψ(s)g′(s) ,

što znači da jedna od pet funkcija f, g, h, φ i ψ ovisi o preostale četiri.

Na primjer, ako je zadana krivulja γ (dakle, zadane su funkcije f i g), duž nje možemo neovisno zadati u i normalnu derivaciju:

u = h(s) , \frac{−u_{x}g′ + u_{y}f′}{\sqrt{(f′)^{2} + (g′)^{2}}} = χ(s) .

Uvjet kompatibilnosti vrijedi i za više derivacije. Uvrstimo v := u_{x}, odnosno v := u_{y} u (3):

\frac{du_{x}}{ds} = u_{xx}f′(s) + u_{xy}g′(s) , \frac{du_{y}}{ds} = u_{xy}f′(s) + u_{yy}g′(s) .

Dakle, ako je u rješenje (1) uz uvjete (2), onda imamo tri linearne jednadžbe za druge derivacije funkcije u:

\{ \begin{matrix}au_{xx} & +2bu_{xy} & +cu_{yy} & = d \\ f′u_{xx} & +g′u_{xy} & & = φ′ \\ & f′u_{xy} & +g′u_{yy} & = ψ′ , \end{matrix}

duž γ.

Funkcije u_{xx}, u_{xy} i u_{yy} su jedinstveno odredene osim ako je

Δ := | \begin{matrix}f′ & g′ & 0 \\ 0 & f′ & g′ \\ a & 2b & c \end{matrix} | = a(g′)^{2} − 2bf′g′ + c(f′)^{2} = 0 .

Krivulja γ je karakteristična u točki ako je Δ = 0, a nekarakteristična ako je Δ ≠ 0. Krivulja je karakteristika ako je karakteristična u svakoj svojoj točki.

Cauchyjevi podaci duž nekarakteristične krivulje γ jedinstveno odreduju druge derivacije funkcije u duž γ; sukcesivno i za više derivacije (dobivamo istu determinantu za u_{xxx}, u_{xxy} i u_{xyy} kao i prije; itd.).

Ovaj postupak formalnim raspisivanjem reda potencija za rješenje vodi do rješenja ako su Cauchyjevi podaci analitičke funkcije.

Ako je γ karakteristična krivulja, sustav je inkonzistentan, osim ako podaci ne zadovoljavaju dopunske uvjete. Stoga je Cauchyjeva zadaća za Cauchyjeve podatke zadane na karakterističnoj krivulji općenito nerješiva.

21. listopada 1995.

Klasifikacija i kanonski oblik parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Uvjet karakterističnosti Δ = 0 možemo zapisati i u obliku:

a(dy)^{2} − 2bdxdy + c(dx)^{2} = 0 ,

što vodi na običnu diferencijalnu jednadžbu za karakteristike:

(4)  \frac{dy}{dx} = \frac{b ± \sqrt{b^{2} − ac}}{a} .

Ako je γ zadana implicitno jednadžbom Φ(x, y) = C, duž γ imamo Φ_{x}dx + Φ_{y}dy = 0, pa uvjet postaje:

aΦ_{x}^{2} + 2bΦ_{x}Φ_{y} + cΦ_{y}^{2} = 0 .

Ukoliko su a, b i c poznate funkcije u varijablama x i y, onda je (4) obična diferencijalna jednadžba koja odreduje γ. To je slučaj ako:

– razmatramo poznato rješenje u = u(x, y)

– jednadžba je linearna (a = a(x, y), b = b(x, y), c = c(x, y), d = −2D(x, y)u_{x} − 2E(x, y)u_{y} − F (x, y)u − G(x, y)). Polazna jednadžba je:

– eliptička ako je ac − b^{2} > 0 (nema realnih karakteristika)

– parabolička ako je ac − b^{2} = 0 (jedna familija realnih karakteristika)

– hiperbolička ako je ac − b^{2} < 0 (dvije familije realnih karakteristika).

U kvazilinearnom slučaju tip jednadžbe ovisi i o promatranom rješenju.

Zadaci.

1. Za (kvazilinearnu) jednadžbu minimalnih ploha:

(1 + u_{y}^{2})u_{xx} − 2u_{x}u_{y}u_{xy} + (1 + u_{y}^{2})u_{yy} = 0

naći

a) sve minimalne plohe nastale rotacijom oko z osi (tj. oblika u = f(\sqrt{x^{2} + y^{2}}))

b) diferencijalne jednadžbe za (imaginarne) karakteristične krivulje.

2. S pomoću razvoja u red potencija po y naći rješenje početne zadaće

\begin{aligned}u_{yy} & = u_{xx} + u \\ u(x, 0) & = e^{x} \\ u_{y}(x, 0) & = 0 . \end{aligned}

3. Neka je u rješenje kvazilinearne jednadžbe oblika

a(u_{x}, u_{y})u_{xx} + 2b(u_{x}, u_{y})u_{xy} + c(u_{x}, u_{y})u_{yy} = 0 .

Uvesti nove neovisne varijable ξ i η, te nove nepoznate funkcije φ preko:

ξ := u_{x}(x, y) , η := u_{y}(x, y) , φ := xu_{x} + yu_{y} − u .

Pokazati da φ kao funkcija od ξ i η zadovoljava x = φ_{ξ}, y = φ_{η} i linearnu jednadžbu

a(ξ, η)φ_{ηη} − 2b(ξ, η)φ_{ξη} + c(ξ, η)φ_{ξξ} = 0 .

4. Napisati jednadžbu za karakteristike:

a) (u_{x}e^{−u_{x}^{2}−u_{y}^{2}})_{x} + (u_{y}e^{−u_{x}^{2}−u_{y}^{2}})_{y} = 0.

b) (_{\frac{u_{x}}{\sqrt{1+u_{y}^{2}}}} )_{x} + (\frac{u_{y}}{\sqrt{1+u_{x}^{2}}} )_{y} = 0.

c) (_{\frac{u_{x}}{\sqrt{1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}} )_{x} + (\frac{u_{y}}{\sqrt{1+u_{x}^{2}}} )_{y} = 0.

Zamjena varijabli Opći oblik linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda u dvije varijable glasi

(5)  Lu + fu = g ,

gdje je L diferencijalni operator oblika (a, b, c, d i e su funkcije x i y):

L := a∂_{x}^{2} + 2b∂_{x}∂_{y} + c∂_{y}^{2} + d∂_{x} + e∂_{y} .

Umjesto koordinata x i y uvedimo krivolinijske koordinate

\begin{aligned}ξ & = φ(x, y) \\ η & = ψ(x, y) . \end{aligned}

Da bi to bila zamjena koordinata, funkcije φ i ψ moraju biti takve da Jacobijan: J(x, y) = φ_{x}ψ_{y} − ψ_{x}φ_{y} ne iščezava u području koje nas zanima.

Označimo sada s U(ξ, η) nepoznatu funkciju u novim varijablama; dakle, vrijedi u(x, y) = U(φ(x, y), ψ(x, y)). Izrazimo sada derivacije funkcije u s pomoću derivacija od U. Za prve derivacije imamo:

u_{x} = U_{ξ}φ_{x} + U_{η}ψ_{x} , u_{y} = U_{ξ}φ_{y} + U_{η}ψ_{y} ,

odnosno za druge:

\begin{aligned}u_{xx} & = U_{ξξ}φ_{x}^{2} + 2U_{ξη}φ_{x}ψ_{x} + U_{ηη}ψ_{x}^{2} + U_{ξ}φ_{xx} + U_{η}ψ_{xx} \\ u_{xy} & = U_{ξξ}φ_{x}φ_{y} + U_{ξη}(φ_{x}ψ_{y} + ψ_{x}φ_{y}) + U_{ηη}ψ_{x}ψ_{y} + U_{ξ}φ_{xy} + U_{η}ψ_{xy} \\ u_{yy} & = U_{ξξ}φ_{y}^{2} + 2U_{ξη}φ_{y}ψ_{y} + U_{ηη}ψ_{y}^{2} + U_{ξ}φ_{yy} + U_{η}ψ_{yy} . \end{aligned}

Jednadžba (5) stoga prelazi u

MU + F U = G ,

gdje je linearan operator M oblika

M := A∂_{ξ}^{2} + 2B∂_{ξ}∂_{η} + C∂_{η}^{2} + D∂_{ξ} + E∂_{η} .

Pri tome su funkcije

(6)  \begin{aligned}A(ξ, η) & = aφ_{x}^{2} + 2bφ_{x}φ_{y} + cφ_{y}^{2} \\ B(ξ, η) & = aφ_{x}ψ_{x} + b(φ_{x}ψ_{y} + ψ_{x}φ_{y}) + cφ_{y}ψ_{y} \\ C(ξ, η) & = aψ_{x}^{2} + 2bψ_{x}ψ_{y} + cψ_{y}^{2} , \end{aligned}

dok su

D(ξ, η) = Lφ , E(ξ, η) = Lψ .

Funkcije F i G su jednake funkcijama f i g, samo s transformiranim varijablama. Uočimo da se desne strane najprije računaju u varijablama x i y, a potom se izraz transformira u nove varijable.

Istaknimo važno svojstvo ove zamjene varijabli:

Δ = b^{2} − ac = \frac{B^{2} − AC}{|J|^{2}} .

Dakle, zamjenom varijabli je sačuvan tip jednadžbe.

Pokažimo sada kako postupati ako je jednadžba hiperbolička, parabolička ili eliptička. Postupak se razlikuje u svakom od tih slučajeva.

Hiperbolički slučaj (Δ > 0) Ako se sjetimo kako je dobivena D’Alembertova formula, u ovom slučaju bismo htjeli postići

A = C = 0, te, naravno, B ≠ 0. Dijeljenjem čitave jednadžbe s B, možemo je riješiti kao što smo riješili i valnu jednadžbu.

Stavljanjem A = C = 0 u (6) vidimo da funkcije φ i ψ zadovoljavaju istu diferencijalnu jednadžbu, pa je stoga dovoljno naći samo φ:

(7)  a(x, y)φ_{x}^{2} + 2b(x, y)φ_{x}φ_{y} + c(x, y)φ_{y}^{2} = 0 .

Ova nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda nije toliko složena koliko izgleda.

Neka je ξ_{0} ∈ R. Pogledajmo razinsku (nivo) krivulju φ(x, y) = ξ_{0} na bilo kojem grafu rješenja ξ = φ(x, y). U toj horizontalnoj ravnini je nagib tangente y′ = dy/dx, ako je φ_{y} ≠ 0 dan s y′ = −\frac{φ_{x}(x,y)}{φ_{y}(x,y)}. Medutim, iz (7) dijeljenjem s φ_{y}^{2} dobivamo

a\frac{φ_{x}^{2}}{φ_{y}^{2}} + 2b\frac{φ_{x}}{φ_{y}} + c = 0 ,

odnosno

a(y′)^{2} − 2by′ + c = 0 .

Kako smo pretpostavili da je Δ > 0, to prethodnu kvadratnu jednadžbu možemo riješiti po y′, te dobivamo dvije obične diferencijalne jednadžbe:

(8)  y′ = \frac{b + \sqrt{Δ}}{a} i y′ = \frac{b − \sqrt{Δ}}{a} .

Rješavanjem ovih dviju jednadžbi dobivamo dvije familije krivulja, φ = const. i ψ = const. Jednadžba prelazi u kanonski oblik

U_{ξη} = D̃U_{ξ} + ẼU_{η} + F̃U + G̃ ,

gdje je D̃ := \frac{−D}{2B}, Ẽ := \frac{−E}{2B}, F̃ := \frac{−F}{2B}, a G̃ := \frac{G}{2B}.

Provjerimo da spomenute dvije familije (karakterističnih) krivulja zaista daju zamjenu koordinata, dakle, da je Jacobijan J različit od nule.

Najprije pogledajmo točke u kojima je φ_{y}ψ_{y} ≠ 0. Dijeljenjem Jacobijana J = φ_{x}ψ_{y} − ψ_{x}φ_{y} tim produktom dobivamo

\frac{J}{φ_{y}ψ_{y}} = \frac{φ_{x}}{φ_{y}} − \frac{ψ_{x}}{ψ_{y}} = −\frac{2\sqrt{b^{2} − ac}}{a} ≠ 0 ,

pa je J ≠ 0.

Ako je, na primjer, φ_{y} = 0, onda iz (7) slijedi da je i φ_{x} = 0, pa imamo trivijalno rješenje (7)—φ je konstanta, što nas ne zanima. Ako je a = 0, možemo zamijeniti x i y, i podijeliti s c; osim ako je i c nula, u kojem slučaju već imamo jednadžbu u kanonskom obliku. Uočimo da B = 0 povlači Δ = 0 (što se lako vidi uvrštavanjem (8) u (6)).

Zamjenom varijabli X = ξ + η, Y = ξ − η jednadžba se može svesti i na drugi kanonski oblik, u kojemu je glavni član oblika kao valna jednadžba.

Na kraju naglasimo da se gornje zamjene mogu izvršiti samo u nekom području u x, y ravnini.

Primjeri.

1. Klasificirati jednadžbu s konstantnim koeficijentima, gdje je b^{2} − ac > 0.

2. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

(1 + x^{2})u_{xx} − (1 + y^{2})u_{yy} + xu_{x} + yu_{y} = 0 .

Parabolički slučaj (Δ = 0) U ovom slučaju zahtjev A = 0 ili C = 0 definira istu familiju karakteristika koje zadovoljavaju

y′ = \frac{b}{a} .

Ako uzmemo C = 0, onda je rješenje η = ψ(x, y), dok familiju ξ = φ(x, y) možemo birati proizvoljno, samo da zadovoljava J ≠ 0 (što znači i A ≠ 0). Budući da Δ = 0 povlači B^{2}−AC = 0, to je tada i B = 0, pa je kanonski oblik jednadžbe

U_{ξξ} = D̄U_{ξ} + ĒU_{η} + F̄U + Ḡ ,

gdje su D̄ := −D/A, Ē := −E/A, F̄ := −F/A, a Ḡ := G/A.

Moguće je takoder uzeti A = 0 i C ≠ 0, kada se dobiva slična jednadžba samo s drugim derivacijama po η: U_{ηη}.

Eliptički slučaj (Δ < 0) U ovom slučaju (8) nema rješenja medu realnim funkcijama φ i ψ, pa je stoga A ≠ 0 i C ≠ 0.

Jedino nam preostaje eliminirati mješovite derivacije, dakle pokušati dobiti B = 0. Ako k tome zahtijevamo i A = C, dijeljenjem s A = C dobivamo Laplaceovu (Poissonovu) jednadžbu.

Dakle, moramo riješiti sljedeći sustav za funkcije φ i ψ:

\begin{aligned}a(φ_{x}^{2} − ψ_{x}^{2}) + 2b(φ_{x}φ_{y} − ψ_{x}ψ_{y}) + c(φ_{y}^{2} − ψ_{y}^{2}) & = 0 \\ aφ_{x}ψ_{x} + b(φ_{x}ψ_{y} + φ_{y}ψ_{y}) + cφ_{y}ψ_{y} & = 0 . \end{aligned}

Ovo je nelinearan vezan sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Medutim, izvjesna simetrija nam omogućuje da taj sustav pojednostavimo.

Pomnožimo drugu jednadžbu s 2i i dodajmo je prvoj. Dobivamo kompleksnu jednadžbu po ζ = ξ + iη, analognu jednadžbi (7):

aζ_{x}^{2} + 2bζ_{x}ζ_{y} + cζ_{y}^{2} = 0 ,

odnosno ekvivalentno

\frac{φ_{x} + iψ_{x}}{φ_{y} + iψ_{y}} = −\frac{b + i\sqrt{ac − b^{2}}}{a} .

Računanjem realnog i imaginarnog dijela dobivamo

φ_{x} = \frac{cψ_{y} + bψ_{x}}{\sqrt{ac − b^{2}}} i φ_{y} = −\frac{bψ_{y} + aψ_{x}}{\sqrt{ac − b^{2}}} .

To su Beltramijeve jednadžbe. Svako rješenje gornjeg sustava odreduje zamjenu varijabli kojom polazna jednadžba prelazi u jednadžbu s glavnim dijelom oblika

U_{ξξ} + U_{ηη} .

Ako iz Beltramijevih jednadžbi eliminiramo jednu od funkcija, na primjer φ, dobivamo jednadžbu drugog reda

[\frac{aψ_{x} + bψ_{y}}{\sqrt{ac − b^{2}}} ]_{x} + [\frac{cψ_{y} + bψ_{x}}{\sqrt{ac − b^{2}}} ]_{y} = 0 ,

koju nije ništa lakše riješiti nego li Beltramijeve jednadžbe.

Ako su funkcije a, b i c analitičke, rješenja Beltramijevih jednadžbi mogu se konstruirati rješavanjem (isp. (8))

y′ = \frac{b + i\sqrt{ac − b^{2}}}{a}

u kompleksnoj ravnini.

Nenad Antonić 5

Medutim, opće rješenje Beltramijevih jednadžbi nije nužno potrebno kako bi se jednadžba prevela u kanonski oblik.

Na primjer, za konstantne koeficijente, opće rješenje Beltramijevih jednadžbi je linearno po x i y:

φ = αx + βy i ψ = γx + δy .

Možemo uzeti ξ = \frac{b}{\sqrt{ac−b^{2}}} x − \frac{a}{\sqrt{ac−b^{2}}} y i η = x, što vodi na kanonski oblik

U_{ξξ} + U_{ηη} = \frac{db − ea}{a\sqrt{ac − b^{2}}} U_{ξ} + \frac{d}{a}U_{η} + \frac{f}{a} U = \frac{g}{a} .

(Dijeljenje s a je moguće, jer Δ < 0 povlači a ≠ 0.)

Derivacije prvog reda možemo eliminirati transformacijom U ↦ W oblika

U(ξ, η) = W (ξ, eta)e^{−[ \frac{db−ea}{a\sqrt{ac−b^{2}}} ξ+ \frac{d}{2a} η]} .

Lakim računom slijedi da W zadovoljava jednadžbu

W_{ξξ} + W_{ηη} + [\frac{f}{a} + \frac{2dbe − e^{2}a − dc^{2}}{4a\sqrt{ac − b^{2}}} ] W = \frac{g}{a}e^{[ \frac{db−ea}{a\sqrt{ac−b^{2}}} ξ+ \frac{d}{2a} η]} .

Zadaci.

1. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

x^{2}u_{xx} − y^{2}u_{yy} − 2yu_{y} = 0 .

2. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xx} − 2 sin xu_{xy} − cos^{2} xu_{yy} − cos xu_{y} = 0

i naći joj opće rješenje.

3. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xx} + 2u_{xy} − 3u_{yy} = 0

i riješiti Cauchyjevu zadaću: u(x, 0) = 3x^{2}, u_{y}(x, 0) = 0.

4. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

sin^{2} xu_{xx} − 2y sin xu_{xy} + y^{2}u_{yy} = 0 .

5. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

y^{2}u_{xx} + 2xyu_{xy} + 2x^{2}u_{yy} + yu_{y} = 0 .

6. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

yu_{xx} + u_{yy} = 0 .

7. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xx} + 2 sin xu_{xy} − (cos^{2} x − sin^{2} x)u_{yy} + cos xu_{y} = 0 .

8. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

xu_{xx} − yu_{yy} + \frac{1}{2}(u_{x} − u_{y}) = 0 ,

te naći opće rješenje.

Klasifikacija i kanonski oblik parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

9. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

4y^{2}u_{xx} − e^{2x}u_{yy} − 4y^{2}u_{x} = 0 .

10. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

(1 + x^{2})u_{xx} + (1 + y^{2})u_{yy} + xu_{x} + yu_{y} = 0 .

11. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

4y^{2}u_{xx} + 2(1 − y^{2})u_{xy} − u_{yy} − \frac{2y}{1 + y^{2}} (2u_{x} − u_{y}) = 0 ,

te riješiti Cauchyjevu zadaću: u(x, 0) = x, u_{y}(x, 0) = 0.

12. Odrediti tip jednadžbe (uz diskusiju za α ∈ R):

(α + x)u_{xx} + 2xyu_{xy} − y^{2}u_{yy} = 0 .

13. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

x^{2}u_{xx} − y^{2}u_{yy} = 0 .

14. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

xu_{xx} + 2xu_{xy} + (x − 1)u_{yy} = 0 .

15. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xx} + 2 cos xu_{xy} − sin^{2} xu_{yy} − sin xu_{y} = 0 ,

te riješiti Cauchyjevu zadaću: u(x, sin x) = x + cos x, u_{y}(x, sin x) = sin x.

16. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

e^{y}u_{xy} − u_{yy} + u_{y} = 0 ,

te riješiti Cauchyjevu zadaću: u(x, 0) = −\frac{x^{2}}{2} , u_{y}(x, 0) = − sin x.

17. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

x^{2}u_{xx} − 2xyu_{xy} − 3y^{2}u_{yy} = 0 ,

te riješiti Cauchyjevu zadaću: u(·, 1) = φ_{0}, u(·, 1) = φ_{1}.

18. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xx} + yu_{yy} + \frac{1}{2}u_{y} = 0 .

Neka su γ_{1} i γ_{2} karakteristike koje prolaze točkama (0, 0) i (1, 0) i sijeku se u nekoj točki (x_{c}, y_{c}) u donjoj poluravnini.

Riješiti jednadžbu ako je početni uvjet

u(x, y) = \{ \begin{matrix}φ_{1}(x) , & na γ_{1}, za 0 < x < x_{c} \\ φ_{2}(x) , & na γ_{2}, za x_{c} < x < 1 . \end{matrix}

19. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

3u_{xx} − 5u_{xy} − 2u_{yy} + 3u_{x} + u_{y} = 2 ,

te naći opće rješenje.

Nenad Antonić 7

Klasifikacija i kanonski oblik parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

20. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

(1 + x^{2})^{2}u_{xx} + u_{yy} + 2x(1 + x^{2})u_{x} = 0 .

21. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xy} + yu_{x} + xu_{y} + xyu = 0 ,

te naći opće rješenje.

22. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

yu_{xy} + u_{x} − yu_{y} − u = (1 − x)(1 + ln y) ,

te naći opće rješenje.

23. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

2u_{xx} + 6u_{xy} + 4u_{yy} + u_{x} + u_{y} = 0 ,

te naći opće rješenje.

24. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

3u_{xx} + 10u_{xy} + 3u_{yy} + u_{x} + u_{y} + \frac{1}{16}u − 16xe^{− \frac{x+y}{16}} = 0 ,

te naći opće rješenje.

25. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

x^{2}(y − 1)u_{xx} − x(y^{2} − 1)u_{xy} + y(y − 1)u_{yy} + xyu_{x} − u_{y} = 0 ,

te naći opće rješenje.

26. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xx} + 2u_{xy} + 2u_{yy} + 4u_{yz} + 5u_{zz} + u_{x} + u_{y} = 0 .

27. Odrediti tip i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

u_{xx} − 4u_{xy} + 2u_{xz} + 4u_{yy} + u_{zz} = 0 .

28. Klasificirati i svesti na kanonski oblik jednadžbu

y \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + (x + y)\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} + x\frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0 .

Naći karakteristike i opće rješenje u područjima gdje jednadžba ne mijenja tip. (Područje je otvoren i povezan skup.)

29. Klasificirati i svesti na kanonski oblik jednadžbu

xy \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0 .

Naći karakteristike i skicirati ih u područjima gdje postoje.

30. Klasificirati i svesti na kanonski oblik jednadžbu

y \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + (x + y^{2})\frac{∂^{2}u}{∂xy} + xy \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0 .

Naći karakteristike i skicirati ih u područjima gdje postoje.

Klasifikacija i kanonski oblik parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Jednadžbe s konstantnim koeficijentima u više varijabli Postupak dijagonalizacije kvadratnih formi je opisan u S. Kurepa: Konačno dimenzionalni

vektorski prostori i primjene (III–5.8). Matrica transformacije nam daje odgovarajuću linearnu zamjenu varijabli koja danu jednadžbu drugog reda prevodi u kanonski oblik.

Opišimo postupak na primjeru.

Primjer. Klasificirati i svesti na kanonski oblik jednadžbu:

∂_{1}^{2}u − 4∂_{1}∂_{2}u − 5∂_{2}^{2}u = 0 .

Pripadna kvadratna forma je a(ξ) = ξ · Aξ = ξ_{1}^{2} − 4ξ_{1}ξ_{2} − 5ξ_{2}^{2}, gdje je A = [ \begin{matrix}1 & −2 \\ −2 & −5 \end{matrix} ] simetrična matrica. Dijagonalizirajmo je Lagrangeevim postupkom:

ξ_{1}^{2} − 4ξ_{1}ξ_{2} − 5ξ_{2}^{2} = ξ_{1}(ξ_{1} − 2ξ_{2}) − 2ξ_{1}ξ_{2} − 5ξ_{2}^{2}
= (ξ′_{1})^{2} + 2ξ_{2}ξ′_{1} − 2ξ_{2}ξ′_{1} − 4ξ_{2}^{2} − 5ξ_{2}^{2}
= (ξ′_{1})^{2} − 9ξ_{2}^{2} .

Uvodimo nove varijable:

[ \begin{matrix}ξ′_{1} \\ ξ′_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ] ,

što općenito možemo zapisati u obliku ξ′ = Sξ, odnosno ξ = Tξ′, za T = S^{−1}; posebno, naše matrice su

S = [ \begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] i T = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] .

Znamo da je skalarna vrijednost forme očuvana zamjenom varijabli, pa imamo:

a(ξ) = ξ · Aξ = Tξ′ · ATξ′ = ξ′ · T^{⊤}ATξ′ = ξ′ · A′ξ′ ,

odakle je matrica forme u novim varijablama A′ = T^{⊤}AT = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −9 \end{matrix} ] zaista dijagonalna. Namjesto varijabli x uvodimo y := T^{⊤}x:

\begin{aligned}y_{1} & = x_{1} \\ y_{2} & = 2x_{1} + x_{2} , \end{aligned}

što vodi na kanonski oblik jednadžbe:

U_{y_{1}y_{1}} − 9U_{y_{2}y_{2}} = 0 .

U ovom je slučaju polazna jednadžba hiperbolička (dobili smo hiperboličku jednadžbu u drugom kanonskom obliku).

Zadaci.

Klasificirati i svesti na kanonski oblik sljedeće jednadžbe:

1. u_{xx} + 2u_{xy} − 2u_{xz} + 2u_{yy} + 6u_{zz} = 0.

2. 4u_{xx} − 4u_{xy} − 2u_{yz} + u_{y} + u_{z} = 0.

3. u_{xy} − u_{xz} + u_{x} + u_{y} − u_{z} = 0.

4. u_{xy} − u_{xt} + u_{zz} − 2u_{zt} + 2u_{tt} = 0.

5. u_{xy} + u_{xz} + u_{xt} + u_{zt} = 0.

6. u_{x_{1}x_{1}} + 2 ∑_{k=2}^{n} u_{x_{k}x_{k}} − 2 ∑_{k=1}^{n−1} u_{x_{k}x_{k+1}} = 0.

7. u_{x_{1}x_{1}} − 2 ∑_{k=2}^{n}(−1)^{k}u_{x_{k−1}x_{k}} = 0.

8. ∑_{k=1}^{n} ku_{x_{k}x_{k}} + 2 ∑_{l<k} lu_{x_{l}x_{k}} = 0.

9. ∑_{k=1}^{n} u_{x_{k}x_{k}} + ∑_{l<k} u_{x_{l}x_{k}} = 0.

10. ∑_{l<k} u_{x_{l}x_{k}} = 0.

Karakteristike polulinearnih sustava parcijalnih diferencijalnih jednadžbi Obična diferencijalna jednadžba višeg reda može se uvijek svesti na ekvivalentan sustav jed-

nadžbi prvog reda, i obrnuto. Za parcijalne diferencijalne jednadžbe svaku jednadžbu višeg reda možemo svesti na ekvivalentan sustav jednadžbi prvog reda u više nepoznanica.

Na primjer, za Laplaceovu jednadžbu △w = 0, uvodenjem v := w_{x} i u := w_{y}, iz Schwarzove simetrije w_{yx} − w_{xy} = 0 i jednadžbe dobivamo Cauchy-Riemannov sustav jednadžbi:

\{ \begin{matrix}u_{x} − v_{y} & = 0 \\ v_{x} + u_{y} & = 0 , \end{matrix}

Općenito, obrat ne vrijedi. Pogledajmo nelinearan sustav za dvije nepoznate funkcije u i v u dvije varijable x i y:

(9)  \{ \begin{matrix}F (x, y, u, v, u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}) & = 0 \\ G(x, y, u, v, u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}) & = 0 . \end{matrix}

Deriviranjem tih jednadžbi po x i po y dobivamo ukupno šest jednadžbi, ali u dvanaest argumenata u, u_{x}, u_{y}, u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}; v, v_{x}, v_{y}, v_{xx}, v_{xy}, v_{yy}, iz kojih općenito nije moguće eliminirati ni prvih niti drugih šest argumenata.

U teoriji sustava prvog reda važno mjesto zauzima Cauchyjeva zadaća:

Naći rješenje sustava (9) koje zadovoljava i početne uvjete:

(10)  u(f, g) = u_{0} , v(f, g) = v_{0} ,

na zadanoj krivulji γ … x = f(t), y = g(t).

Postupajući slično kao i za jednu jednadžbu, uočavamo da je nužan uvjet (taj će se uvjet kasnije pokazati i dovoljnim) da bi postojalo rješenje Cauchyjeve zadaće zahtjev da je sustav koji se sastoji od (9) i jednadžbi:

\begin{aligned}u_{x}f′ + u_{y}g′ & = u′_{0} \\ v_{x}f′ + v_{y}g′ & = v′_{0} , \end{aligned}

rješiv po u_{x}, u_{y}, v_{x} i v_{y}. To povlači neisčezavanje pripadnog Jacobijana. Ukoliko je taj Jacobijan nula, imamo jednadžbu karakteristike:

(11)  | \begin{matrix}f′ & 0 & g′ & 0 \\ 0 & f′ & 0 & g′ \\ F_{u_{x}} & F_{v_{x}} & F_{u_{y}} & F_{v_{y}} \\ G_{u_{x}} & G_{v_{x}} & G_{u_{y}} & G_{v_{y}} \end{matrix} | = 0 ,

odnosno u raspisanom obliku:

\frac{∂(F, G)}{∂(u_{y}, v_{y})}(f′)^{2} − (\frac{∂(F, G)}{∂(u_{x}, v_{y})} + \frac{∂(F, G)}{∂(u_{y}, v_{x})}) f′g′ + \frac{∂(F, G)}{∂(u_{x}, v_{x})}(g′)^{2} = 0 .

Za polulinearan sustav, koji se uvodenjem vektora u i matrica A i B može zapisati u obliku:

(12)  Au_{x} + Bu_{y} = h ,

gdje matrice ovise samo o x i y, dok desna strana h može ovisiti i o u; jednadžbu karakteristika (12) možemo zapisati i u obliku (ova formula ne ovisi o dimenziji kvadratnih matrica A i B)

0 = | \begin{matrix}\frac{dx}{dt}I & \frac{dy}{dt} I \\ A & B \end{matrix} | = det (\frac{dx}{dt}B − \frac{dy}{dt} A) ,

koji vodi na diferencijalnu jednadžbu za karakteristike oblika

(13)  a (\frac{dy}{dx})^{2} + 2b\frac{dy}{dx} + c = 0 .

U gornjoj su jednadžbi funkcije a, b i c definirane na očigledan način:

a := det A , 2b := − (| \begin{matrix}b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} \end{matrix} | + | \begin{matrix}a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} \end{matrix} |) , c := det B .

Ukoliko definiramo diskriminantu kvadratne jednadžbe Δ := b^{2} − ac, dobivamo općenito dvije obične diferencijalne jednadžbe za karakteristike (kao i ranije):

\frac{dy}{dx} = \frac{−b ± \sqrt{Δ}}{a} .

Sustav je hiperbolički za Δ > 0, parabolički za Δ = 0, a za Δ < 0 sustav je eliptički. Na primjer, Cauchy-Riemannov sustav je eliptički, dok je sustav oblika

(14)  \{ \begin{matrix}u_{x} & = f(x, y, u, v) \\ v_{y} & = g(x, y, u, v) \end{matrix}

hiperbolički.

Kao i jednadžba drugog reda, tako se i sustav oblika (12) može transformirati u jedan od tri kanonska oblika, ovisno o tipu. Medutim, za sustav nije dovoljno provesti samo zamjenu neovisnih varijabli, nego je potrebno linearno transformirati i nepoznate funkcije; točnije, uvodimo novu funkciju U := Su, pri čemu matrica S ovisi samo o varijablama x (odnosno, zamjenom, o ξ), a ne i o u. Opišimo postupak u sva tri slučaja.

Hiperbolički slučaj (Δ > 0) Kao i ranije, uvodimo zamjenu varijabli ξ = ξ(x), takvu da jednadžba za karakteristike

(13) poprimi jednostavniji oblik: 2b\frac{dy}{dx} = 0, odnosno nakon dijeljenja s 2b ≠ 0: \frac{dy}{dx} = 0. Dakle, tražimo zamjenu varijabli tako da transformirana jednadžba zadovoljava b ≠ 0, a = det A = 0 i c = det B = 0. Uvjet da je determinanta nula možemo iskazati i preko činjenice da su retci matrice proporcionalni, odnosno da postoje množitelji ρ i σ (koji ovise o x) takvi da je (uzimamo jedan od mogućih slučajeva):

[a_{21} a_{22}] = ρ[a_{11} a_{12}] i [b_{21} b_{22}] = σ[b_{11} b_{12}] .

Sustav se sada može zapisati u obliku:

[ \begin{matrix}1 & 1 \\ ρ & σ \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a_{11}u_{x} + a_{12}v_{x} \\ b_{11}u_{y} + b_{12}v_{y} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}h_{1} \\ h_{2} \end{matrix} ] .

Zamjena U = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ b_{11} & b_{12} \end{matrix} ] u, pri kojoj je U_{x} = [ \begin{matrix}a_{11}u_{x} + a_{12}v_{x} \\ b_{11}u_{y} + b_{12}v_{y} \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}(a_{11})_{x}u + (a_{12})_{x}v \\ (b_{11})_{x}u + (b_{12})_{x}v \end{matrix} ], prevodi

sustav u:

\{ \begin{matrix}U_{x} + V_{y} & = H_{1} \\ ρU_{x} + σV_{y} & = H_{2} , \end{matrix}

pri čemu su H_{1} i H_{2} poznate funkcije x i U.

Za tako dobiven sustav je A = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ ρ & 0 \end{matrix} ] i B = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & σ \end{matrix} ], pa je | \begin{matrix}b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} \end{matrix} |+| \begin{matrix}a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} \end{matrix} | = σ −ρ.

Ukoliko je σ ≠ ρ, sustav se može riješiti po U_{x} i V_{x}, pri čemu je polazan sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi sveden na kanonski oblik (14).

Ako je determinanta zamjene, det S, jednaka nuli, onda je V = τU za neki množitelj τ, pa je sustav ili kontradiktoran ili neodreden; te nemamo zaključak. Primjer. Klasificirati i svesti na kanonski oblik sljedeći sustav

\{ \begin{matrix}u_{x} − v_{y} & = 0 \\ v_{x} − u_{y} & = 0 . \end{matrix}

Eliptički slučaj (Δ < 0) U ovom slučaju imamo dvije familije konjugirano kompleksnih karakteristika: ξ ± η = const.

Da bismo ostali u realnom području uzimamo ξ i η, realni i imaginarni dio, kao nove varijable. Tom zamjenom varijabli postižemo da je

(15)  det A = det B ≠ 0 ,

a b = 0. Množenjem čitave jednadžbe s lijeva matricom A^{−1}, uz oznaku B′ := A^{−1}B i h′ = A^{−1}h, sustav prelazi u sljedeći:

(16)  u_{x} + B′u_{y} = h′ .

Uz dodatnu pretpostavku da je b′_{12} ≠ 0 provodimo linearnu zamjenu nepoznatih funkcija kao i u hiperboličkom slučaju:

U = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ −b′_{11} & b′_{12} \end{matrix} ] u ,

čime sustav prelazi u

\{ \begin{matrix}U_{x} − V_{y} & = h′_{1} \\ −\frac{b′_{11}}{b′_{12}} U_{x} − \frac{1}{b′_{12}} V_{x} + b′_{21}U_{y} + b′_{22} (−\frac{b′_{11}}{b′_{12}} U_{y} − \frac{1}{b′_{12}} V_{y}) & = h′_{2} + ℓ , \end{matrix}

gdje ℓ označuje linearne članove u U i V. Supstitucijom U_{x} iz prve jednadžbe u drugu, uz očigledne oznake, dobivamo:

(17)  \{ \begin{matrix}U_{x} − V_{y} & = h′′_{1} \\ V_{x} + b′_{21}U_{y} + b′_{22}V_{y} & = h′′_{2} . \end{matrix}

Matrica A = I, dok je B = [ \begin{matrix}0 & −1 \\ b′′_{21} & b′′_{22} \end{matrix} ]. Medutim, uvjet (15) daje b′′_{21} = 1, dok iz | \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & b′′_{21} \end{matrix} | +

| \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & b′′_{21} \end{matrix} | = 0 slijedi da je b′′_{22} = 0.

Time smo polazni sustav sveli na kanonski oblik

\{ \begin{matrix}U_{x} − V_{x} & = H_{1}(x, y, U, V) \\ U_{y} + V_{y} & = H_{2}(x, y, U, V) . \end{matrix}

Lako se vidi da se u slučaju b′_{12} = 0 može uzeti b′_{22} ≠ 0 zamjenom redoslijeda jednadžbi. Ukoliko je b′_{12} = b′_{22} = 0, dobivamo kontradikciju s (15).

Parabolički slučaj (Δ = 0) U ovom je slučaju, recimo, det B = b = 0, a det A ≠ 0. Sustav jednadžbi se stoga može svesti

na oblik (16), a kako oba člana b′_{12} i b′_{22} nisu nula, i na oblik (17).

Sada lako zaključujemo da ako je b′_{21} = b′_{22} = 0, onda sustav (17) ima jednostavan oblik:

\{ \begin{matrix}U_{x} − V_{y} & = h′′_{1} \\ V_{x} & = h′′_{2} . \end{matrix}

U slučaju b′_{21} = b′_{22} = 0 dobivamo b′_{11} = b′_{22} = 0, odakle slijedi da sustav poprima oblik:

\{ \begin{matrix}U_{x} & = h′′_{1} \\ V_{x} & = h′′_{2} . \end{matrix}

U oba slučaja, uz uvodenje množitelja α sustav se može zapisati u obliku

\{ \begin{matrix}U_{x} − αV_{y} & = H_{1} \\ V_{x} & = H_{2} . \end{matrix}

Primjer. Klasificirati sustav:

\{ \begin{matrix}u_{y} − v_{x} & = 0 \\ (c^{2} − u^{2})u_{x} − uv(u_{y} + v_{x}) + (c^{2} − v^{2})v_{y} & = 0 \end{matrix} .

Klasifikacija i kanonski oblik parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Zadaci.

Klasificirati i svesti na kanonski oblik sustave: 1.

\{ \begin{matrix}2u_{t} + (2t − 1)u_{x} − (2t + 1)v_{x} & = 0 \\ 2v_{t} − (2t + 1)u_{x} + (2t − 1)v_{x} & = 0 \end{matrix} .

2.

\{ \begin{matrix}u_{t} + (1 + x)v_{x} + u & = 0 \\ v_{t} + (1 + x)u_{x} − v & = 0 \end{matrix} .

3.

\{ \begin{matrix}u_{t} + v_{x} + xu & = 0 \\ (1 + x^{2})v_{t} + u_{x} − v & = 0 \end{matrix} .

4. Naći uvjete hiperboličnosti za sustav

\{ \begin{matrix}u_{t} + αu_{x} + βv_{x} & = 0 \\ v_{t} + γu_{x} + δv_{x} & = 0 \end{matrix} .

5. a) Naći uvjete eliptičnosti za jednadžbu Čapljigina (ρ = ρ(\sqrt{φ_{x}^{2} + φ_{y}^{2}})):

(ρφ_{x})_{x} + (ρφ_{y})_{y} = 0 .

b) Naći uvjete eliptičnosti sljedećeg sustava i usporediti s rezultatom za jednadžbu Čapljigina:

\{ \begin{matrix}u_{y} − v_{x} & = 0 \\ (ρu)_{x} + (ρv)_{y} & = 0 \end{matrix} ,

pri čemu je ρ = (1 − u^{2} − v^{2})^{σ} (σ ∈ R).

6. Klasificirati i svesti na kanonski oblik Bersov sustav (σ = σ(x, y)):

\{ \begin{matrix}u_{x} & = σv_{y} \\ u_{y} & = −σv_{x} \end{matrix} .

7. a) Klasificirati i svesti na kanonski oblik sustav (λ i μ su funkcije x i y):

\{ \begin{matrix}u_{y} − λu_{x} & = h_{1}(x, y, u, v) \\ v_{y} − μv_{x} & = h_{2}(x, y, u, v) \end{matrix} .

b) Svesti sustav iz prvog zadatka na ekvivalentnu jednadžbu drugog reda.

8. Električni vodič (položen duž osi x) ima otpor R (po jedinici duljine), indukciju L, kapacitet C i specifičnu disperziju G. Potencijal u(x, t) i jačina struje v(x, t) zadovoljavaju sustav jednadžbi:

\{ \begin{matrix}u_{x} + Lv_{t} + Rv & = 0 \\ Cu_{t} + v_{x} + Gu & = 0 \end{matrix} .

Kojeg je tipa taj sustav? Svesti ga na kanonski oblik.

Naći opće rješenje sljedećih sustava: 9.

\{ \begin{matrix}(x − 1)u_{t} − (x + 1)v_{t} + u_{x} & = 0 \\ (x + 1)u_{t} − (x − 1)v_{t} − v_{x} & = 0 \end{matrix} .

10.

\{ \begin{matrix}u_{x} + v_{y} & = 2(u_{x} − v_{y}) − 3(v_{x} − u_{y}) \\ v_{x} + u_{y} & = 3(u_{x} − v_{y}) + 2(v_{x} − u_{y}) \end{matrix} .

Nelinearne jednadžbe prvog reda Na kraju, pogledajmo koje poteškoće nastaju u slučaju nelinearnih jednadžbi. To je i razlog

zašto nismo detaljnije proučavali općenite nelinearne jednadžbe.

Za običnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda, uz oznaku p := \frac{dy}{dx}, opći je oblik

(18)  F (x, y, p) = 0 .

Jednadžbu možemo geometrijski prikazati s pomoću polja smjerova: svakoj točki (x, y) ravnine pridružimo pravac (ili, eventualno, nekoliko pravaca) čiji su nagibi p = \frac{dy}{dx} takvi da zadovoljavaju (18).

Integralne krivulje u svakoj točki (x, y) ravnine imaju za tangentu toj točki pridružen pravac. Pojedina integralna krivulja, koja predstavlja rješenje polazne jednadžbe, zove se integralom te jednadžbe.

Parcijalna diferencijalna jednadžba za funkciju u(x, y) (u dvije varijable) se uz Mongeove oznake p := u_{x} i q := u_{y} može zapisati u obliku:

(19)  F (x, y, u, p, q) = 0 .

Prirodno se nameće ideja da se svakoj točki T_{0} = (x_{0}, y_{0}, u_{0}) prostora pridruži jednoparametarska familija parova (p_{0}, q_{0}) koji zadovoljavaju (19). Time svakoj točki pridružujemo familiju ravnina

(20)  u = u_{0} + p_{0}(x − x_{0}) + q_{0}(y − y_{0}) .

Poteškoća je u tome što pojedinoj točki nije pridružena jedna (ili nekoliko) ravnina, nego čitava jednoparametarska familija, koja općenito odreduje Mongeov stožac u točki T_{0}. Integralne plohe jednadžbe su plohe koje su u svakoj svojoj točki tangencijalne na pripadni Mongeov stožac.

Da bismo analitički prikazali Mongeov stožac, moramo primijeniti općenit postupak koji se sastoji u tome da opću jednadžbu familije ravnina deriviramo po parametru. Uzmimo da p_{0} i q_{0} koji zadovoljavaju F (x_{0}, y_{0}, u_{0}, p_{0}, q_{0}) = 0 ovise o parametru λ. Deriviranjem (19) i (20) po λ, zajedno s (20), dobivamo sustav

(21)  \{ \begin{matrix}p_{0}(x − x_{0}) + q_{0}(y − y_{0}) − u + u_{0} & = 0 \\ \frac{dp_{0}}{dλ} (x − x_{0}) + \frac{dq_{0}}{dλ} (y − y_{0}) & = 0 \\ F_{p_{0}} \frac{dp_{0}}{dλ} + F_{q_{0}} \frac{dq_{0}}{dλ} & = 0 . \end{matrix}

Klasično je uobičajeno označiti P_{0} := F_{p_{0}} i Q_{0} := F_{q_{0}}. Posljednje dvije jednadžbe u (21) daju

\frac{x − x_{0}}{y − y_{0}} = \frac{P_{0}}{Q_{0}} ,

odakle slijedi:

p_{0}(x − x_{0}) + q_{0}(y − y_{0}) = \frac{p_{0}P_{0} + q_{0}Q_{0}}{P_{0}} (x − x_{0}) = \frac{p_{0}P_{0} + q_{0}Q_{0}}{Q_{0}} (y − y_{0}) .

Izjednačivši lijevu stranu s u − u_{0} dobivamojednadžbu Mongeovog stošca, ili, još bolje, vidimo da izvodnice stošca zadovoljavaju jednadžbu:

\frac{x − x_{0}}{P_{0}} = \frac{y − y_{0}}{Q_{0}} = \frac{u − u_{0}}{p_{0}P_{0} + q_{0}Q_{0}}

(uočimo da pritom p_{0} i q_{0} zadovoljavaju (19), te da točke P_{0} i Q_{0} ovise o x_{0}, y_{0}, u_{0}, p_{0} i q_{0}).

Zaključimo: Nelinearnoj parcijalnoj diferencijalnoj jednadžbi je u svakoj točki (x, y, u) prostora pridružen dobro definiran stožac (Mongeov stožac), sa svojstvom da je integralna ploha rješenja te jednadžbe tangencijalna u svakoj točki na pripadni Mongeov stožac. Za linearne jednadžbe taj stožac degenerira u pravac.