Uvod u teoriju brojeva

Rezultati kolokvija održanog 30.6.2008.

Ime i prezime grupa Zad1 Zad2 Zad3 Zad4 Zad5 Zad6 2. kol. 1. kol. dod. Ukupno Ocjena
Dunja Beš A 10 10 5 10 9 9 53 57 0 110  
Pavle Crnković A 0 0 5 0 0 10 15 0 0 15  
Lana Cvrković D 9 10 0 10 10 7 46 52 15* 113 4
Jelena Đidara B 6 10 3 10 10 10 49 59 0 108  
Matilda Hraste B 0 10 2 10 10 10 42 59 15* 116 4
Julija Hrastić A 6 5 0 7 3 3 24 0 0 24  
Goran Kreminski C 8 10 0 10 10 10 48 46 20* 114 4
Želimir Laber B 10 2 0 8 6 7 33 24 10 67  
Jagoda Murković C 0 0 5 7 10 1 23 11 0 34  
Marija Nemčić C 0 10 0 10 10 9 39 56 20* 115 4
Jelena Poljak A 10 10 2 10 10 10 52 0 20* 72  
Iva Radočaj D 10 10 5 7 10 10 52 46 0 98  
Ivan Sakač B 8 10 0 7 6 8 39 0 0 39  
Ines Šimičić C 10 10 0 8 4 7 39 56 0 95  
Almir Škvorc B 10 6 0 8 6 0 30 21 0 51  
Ivan Goran Štajduhar A 10 4 0 8 10 10 42 50 15* 107 4
Frano Topić - 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1  
Alen Tosenberger A 10 10 0 10 10 10 50 50 20* 120 5
Roko Uglešić A 10 9 6 10 10 10 55 53 20* 128 5
Marko Zrna B 1 1 0 9 6 4 21 16 10 47  

Zadaće se mogu pogledati u ponedjeljak, 7.7.2008. u 15:15.

Rješenja zadataka:

grupa A
1. 5x2 + 3xy + 7y2
2. h(-103) = 5;   x2 + xy + 26y2, 2x2 ± xy + 13y2, 4x2 ± 3xy + 7y2
3. Ako su m i n relativno prosti, onda je s(mn) = ∏p|mn p = ∏p|m p · ∏p|n p = s(m)s(n), pa je funkcija s multiplikativna.
    Označimo zadanu sumu sa g(n). Funkcija g je multiplikativna, pa je g(n) = ∏p|n (μ(1)σ(1)+μ(p)σ(p)) = ∏p|n (-p) = (-1)ω(n) s(n).
4. 543/193 = [2,1,4,2,1,3,3];   korijen298 = [17,3,1,4,5,1,1,5,4,1,3,34]
5. (21,220,221), (85,204,221), (104,195,221), (140,171,221), (60,221,229), (221,1428,1445), (221,1872,1885), (221,24420,24421)
6. (145,12), (42049,3480)

grupa B
1. 2x2 - xy + 16y2
2. h(-107) = 3;   x2 + xy + 27y2, 3x2 ± xy + 9y2
3. Ako su m i n relativno prosti, onda je λ(mn) = (-1)ω(m)+ω(n) = (-1)ω(m) (-1)ω(n) = λ(m)λ(n), pa je funkcija λ multiplikativna.
    Označimo zadanu sumu sa g(n). Funkcija g je multiplikativna, pa je g(n) = ∏p|n (μ(1)λ(1)+μ(p)λ(p)) = ∏p|n (1+1) = 2ω(n).
4. 654/173 = [3,1,3,1,1,4,4];   korijen292 = [17,11,2,1,3,8,3,1,2,11,34]
5. (152,285,323), (36,323,325), (323,2736,2755), (323,3060,3077), (323,52164,52165)
6. (199,15), (79201,5970)

grupa C
1. 3x2 + xy + 9y2
2. h(-127) = 5;   x2 + xy + 32y2, 2x2 ± xy + 16y2, 4x2 ± xy + 8y2
3. Funkcija ω nije multiplikativna, jer je npr. ω(2 · 3) = 2, a ω(2) · ω(3) = 1 · 1 = 1.
    Označimo zadanu sumu sa g(n). Funkcija g je multiplikativna, pa je g(n) = ∏p|n (μ(1)τ(1)+μ(p)τ(p)) = ∏p|n (1-2) = (-1)ω(n).
4. 765/179 = [4,3,1,1,1,7,2];   korijen295 = [17,5,1,2,3,2,6,3,2,1,5,34]
5. (115,276,299), (180,299,349), (299,1932,1955), (299,3432,3445), (299,44700,44701)
6. (143,12), (40897,3432)

grupa D
1. 4x2 + 3xy + 7y2
2. h(-131) = 5;   x2 + xy + 33y2, 3x2 ± xy + 11y2, 5x2 ± 3xy + 7y2
3. Ako su m i n relativno prosti, onda je f(mn) = 2ω(m)+ω(n) = 2ω(m) 2ω(n) = f(m)f(n), pa je funkcija f multiplikativna.
    Označimo zadanu sumu sa g(n). Funkcija g je multiplikativna, jer je |μ(d)| = μ(d) · μ(d), pa je g(n) = ∏p|n (|μ(1)|+|μ(p)|) = ∏p|n (1+1) = 2ω(n).
4. 876/191 = [4,1,1,2,2,1,1,6];   korijen286 = [16,1,10,3,3,2,3,3,10,1,32]
5. (135,352,377), (145,348,377), (152,345,377), (260,273,377), (336,377,505), (377,2436,2465), (377,5460,5473), (377,71064,71065)
6. (168,13), (56447,4368)

Andrej Dujella