Teorija brojeva

Rezultati kolokvija održanog 7.6.2010.

Ime i prezime grupa Zad1 Zad2 Zad3 Zad4 Zad5 Zad6 2. kol. 1.kol. dod. Ukupno Ocjena
Nikola Adžaga C 10 8 10 10 10 10 58 60   118  
Lea Alfier B 10 10 2 10 10 10 52 57 15 124 5
Ana Anušić B 10 10 10 10 10 10 60 59 20 139 5
Jelena Babić A 8 10 0 10 10 10 48 30 20 98 4
Dragana Baković D 8 4 2 10 10 10 44 31 20 95 3
Željka Barišić                   5 5  
Filip Barl C 10 10 8 10 10 10 58 60 15 133 5
Ivan Benić B 10 10 0 10 10 10 50 60 20 130 5
Lucija Borovec A 7 10 0 10 6 10 43 47 15 105 4
Mario Bošnjak C 8 9 0 8 9 4 38 48   86  
Domagoj Božić D 10 10 1 10 6 10 47     47  
Zoran Brajković C 10 10 9 10 10 10 59 58 15 132 5
Luka Brčić C 10 8 0 10 10 10 48 47 15 110 4
Bruno Brodarić A 10 10 3 10 10 7 50 60 15 125 5
Zlatko Brozinčević A 10 10 0 9 7 0 36     36  
Krešimir Burić D 10 10 0 10 10 10 50 40   90  
Željko Čačinović A 10 10 0 10 10 10 50 49 5 104  
Sofija Čubrić B 10 9 0 4 10 7 40 40   80  
Tomislav Čulig C 10 10 0 10 10 10 50 47 15 112 4
Albert Ćosić D 10 10 0 10 10 10 50 44 20 114 4
Sara Dadić B 10 9 1 10 10 10 50 56 20 126 5
Anto Dodik D 7 10 0 9 10 10 46   15 61 2
Ervin Duraković A 10 10 3 10 8 10 51 59 20 130 5
Antonio Dusper C 10 10 0 10 10 5 45 19 15 79 3
Lucija Eršek B 10 9 3 10 10 10 52 60 20 132 5
Maja Fabijanić A 10 10 0 9 7 6 42 43   85  
Ana Fuštin D 10 10 2 10 10 10 52 58 20 130 5
Andrea Galić C 10 10 4 10 10 10 54 57 20 131 5
Majda Glad B 10 10 2 10 10 10 52 37 15 104 4
Viktor Grantverger A 10 10 4 10 10 10 54 50 20 124 5
Ana Grbeš D 10 10 2 10 8 10 50 51 20 121 5
Andrea Grozdek B 10 9 2 5 6 7 39 45 5 89  
Marko Hajba B 10 10 2 10 10 10 52 49 20 121 5
Tihana Hamata C 10 10 5 10 10 10 55 56 20 131 5
Lana Haramija B 10 9 2 10 10 10 51 55 20 126 5
Marina Horvat A 10 10 0 10 10 10 50 57 20 127 5
Tea Hrnjić A 10 10 5 10 10 10 55 54 20 129 5
Helena Jerković C 10 10 0 10 9 10 49 59 20 128 5
Marino Jovanović C 10 10 0 10 10 10 50 57 20 127 5
Vanja Jović B 10 10 5 10 9 7 51 42 20 113 4
Nina Kamčev D 10 10 8 10 10 10 58 59 20 137 5
Veronika Kamenski B 10 10 0 10 10 4 44 21 10 75  
Nina Katić A 10 7 0 10 10 7 44 56 15 115 4
Božo Kelić C 10 10 0 10 8 10 48 35   83  
Nika Kenda B 10 10 10 10 10 10 60 56 20 136 5
Katarina Kešinović C 5 8 0 10 9 10 42 49 20 111 4
Ivana Kokor C 10 10 8 10 10 10 58 56 20 134 5
Kristina Komar D 10 10 3 10 9 10 52 48 15 115 4
Marija Kovačević B 10 9 2 10 10 10 51 54 20 125 5
Sanja Kovačević A 10 10 3 10 10 10 53 58 20 131 5
Ivan Kovačić C 6 10 0 10 10 8 44 41 20 105 4
Denis Kranjčec D 10 8 5 10 10 10 53 32 15 100 4
Ivan Krijan B 10 10 10 10 10 10 60 51 20 131 5
Gojko Krivokapić A 3 10 0 9 5 0 27 34   61  
Andrijana Kulišić B 10 10 0 10 10 10 50 58 20 128 5
Alan Kucel                 50 15 65 2
Ivana Kurolt C 10 10 0 10 9 10 49 37 15 101 4
Sanja Lovrić C 10 10 0 9 6 10 45     45  
Hrvoje Maltarić D 6 4 2 9 9 9 39 45 20 104 4
Grgo Mariani                        
Nikola Marinović                        
Božana Medić D 10 10 1 10 10 10 51 59 20 130 5
Kristina Micak A 10 10 0 10 7 10 47 45   92  
Mate Mihaljević D 10 10 0 10 10 7 47 46 20 113 4
Marija Mihetec A 8 10 0 10 10 6 44 44   88  
Petra Mijolović D 10 10 3 10 10 10 53 52 20 125 5
Mladena Miletić A 10 10 0 10 9 7 46 45   91  
Aleksandar Milković D 10 10 2 10 10 10 52 56 15 123 5
Kristina Milović A 10 10 5 10 9 10 54 58 20 132 5
Marin Mišur C 10 10 8 10 10 10 58 59 20 137 5
Josipa Nemčić B 10 5 3 10 10 6 44 48 20 112 4
Adam Nikšić D 10 10 0 10 9 10 49     49  
Ivan Pažin A 10 10 0 10 10 10 50 46 20 116 4
Josip Perković D 10 10 0 10 9 6 45 26   71  
Miroslav Petrušić A 10 10 5 10 10 10 55 55 20 130 5
Mirna Potočnjak                 43   43  
Mate Puljiz A 10 10 9 10 10 10 59 60 20 139 5
Barbara Rajčić A 10 6 4 10 7 9 46 60 20 126 5
Monika Ratkajec B 8 8 2 10 10 8 46 39 20 105 4
Luka Rimanić B 10 10 10 10 10 10 60 60 15 135 5
Vedrana Rogić                 42   42  
Mario Rogulj D 10 10 0 10 10 10 50 32   82  
Martina Rom                 30   30  
Margareta Rudman B 9 8 0 10 10 10 47 55 20 122 5
Matea Semren B 10 6 5 10 10 10 51 34 20 105 4
Marko Sikirić C 8 10 0 10 9 10 47 34   81  
Petar Sirković C 10 8 7 10 10 10 55 60 20 135 5
Tomislav Smetko C 10 10 0 0 0 0 20 21   41  
Andrija Šipek A 0 0 0 10 0 8 18     18  
Maja Škreblin C 10 10 0 10 10 10 50 60 20 130 5
Tena Špoljar D 10 10 0 10 10 10 50 22 15 87 3
Marija Šućur B 10 9 2 10 7 6 44 55 15 114 4
Marka Todorović D 10 10 1 10 10 10 51 49 20 120 5
Martina Ursa                        
Irma Valčić D 5 8 3 10 6 10 42 39 20 101 4
Ivan Varga D 10 10 0 10 10 10 50 55 20 125 5
Šime Viduka                        
Ivana Vukasović C 10 10 0 10 9 10 49 50 20 119 5
Lenka Vukšić D 10 10 10 10 10 10 60 60 20 140 5
Jakob Werner C 10 10 1 10 10 10 51 50 20 121 5
Tihana Zajc D 10 10 0 10 9 10 49 54 20 123 5
Ivana Zlodi B 8 8 1 10 7 10 44 45 20 109 4
Željka Žilnik A 10 10 1 10 10 10 51 54 20 125 5
Sanja Živić A 10 10 4 10 10 10 54 59 20 133 5
Luka Žunić B 10 10 10 9 9 10 58 60 15 133 5

Zadaće se mogu pogledati u petak, 11.6.2010. u 11 sati u kabinetu 207 (T. Pejković).

Rješenja zadataka:

grupa A
1. x2 + xy + 26y2
2. h(-112) = 4;   4x2 + 7y2, 4x2 + 4xy + 8y2, 2x2 + 14y2, x2 + 28y2
3. Funkcija f nije multiplikativna, jer je npr. f(3 · 4) = 20, a f(3) · f(4) = 2 · 6 = 12.
    Neka je n = ∏i pia[i] faktorizacija broja n u proste faktore (ovaj i svi ostali produkti idu po i = 1,...,r). Lako je vidjeti da je τ(n) = ∏i (a[i] + 1), τ(n2) = ∏i (2 a[i] + 1), Kako je 2 (2 a[i] + 1) ≥ 3 (a[i] +1), množenjem ovih nejednakosti za i = 1,...,r dobivamo 2r τ(n2) ≥ 3r τ(n). Jednakost vrijedi samo ako su svi a[i] = 1, tj. ako je n kvadratno slobodan. U tom slučaju iz zadane jednadžbe slijedi da je r = 1, odnosno n je prost broj. Dakle, rješenje jednadžbe su svi prosti brojevi n.
4. 320/789 = [0,2,2,6,1,3,2,2];   korijen165 = [12,1,5,2,5,1,24]
5. (75,100,125), (125,300,325), (35,120,125), (125,1560,1565), (125,7812,7813), (44,117,125)
6. (149,10), (44401,2980)

grupa B
1. 5x2 - 4xy + 27y2
2. h(-120) = 4;   5x2 + 6y2, 3x2 + 10y2, 2x2 + 15y2, x2 + 30y2
3. Budući je NZD(d,d+2) = NZD(d,2), lako se vidi da je funkcija d→NZD(d,d+2) multiplikativna, pa je i funkcija f multiplikativna.
    n = 1 je jedno rješenje. Neka je 1 < n = ∏i pia[i] faktorizacija broja n u proste faktore (ovaj produkt ide po i = 1,...,r, gdje je r = ω(n)). Neka je p1 < ... < pr. Tada je očito p1 ≥ 2, p2 ≥ 3, ... , prr + 1 (s jednakošću samo za p1 = 2, p2 = 3), pa je φ(n) = n (1 - 1/p1) ... (1 - 1/pr) ≥ n (1 - 1/2) ... (1 - 1/(r+1)) = n · 1/2 · 2/3 · ... · r/(r+1) = n/(r+1). Zato je φ(n)(ω(n) + 1) ≥ n za sve n, a jednakost vrijedi ako n ima najviše dva djelitelja, točnije 2 i 3. Dakle, zadana jednadžba nema rješenja.
4. 440/835 = [0,1,1,8,1,3,2];   korijen173 = [13,6,1,1,6,26]
5. (69,92,115), (115,276,299), (115,1320,1325), (115,6612,6613), (115,252,277)
6. (224,15), (100351,6720)

grupa C
1. 3x2 - xy + 42y2
2. h(-132) = 4;   6x2 + 6xy + 7y2, 3x2 + 11y2, 2x2 + 2xy + 17y2, x2 + 33y2
3. Funkcija f nije multiplikativna, jer je npr. f(3 · 4) = 14, a f(3) · f(4) = 4 · 4 = 16.
    Neka je 1 < n = ∏i pia[i] faktorizacija broja n u proste faktore (ovaj i svi ostali produkti idu po i = 1,...,r). Iz τ(n) = ∏i (a[i] + 1) ≥ ∏i 2 = 2ω(n) slijedi τ(n) ≥ 2ω(n), pri čemu jednakost vrijedi samo kad su svi a[i] = 1. Dakle, sva rješenja dane jednadžbe su: n = 1 i n = produkt različitih prostih brojeva (tj. kvadratno slobodan).
4. 370/657 = [0,1,1,3,2,5,2,3];   korijen178 = [13,2,1,12,1,2,26]
5. (66,88,110), (110,264,286), (110,600,610), (110,3024,3026), (96,110,146)
6. (91,6), (16561,1092)

grupa D
1. 9x2 + 3xy + 11y2
2. h(-136) = 4; 5x2 ± 2xy + 7y2, 2x2 + 17y2, x2 + 34y2
3. Budući je za djelitelj d od n uvijek NZD(d,n-d) = d, vidimo da je f multiplikativna funkcija. Štoviše, f(n) = σ(n).
    Ako n nije prost broj ili kvadrat prostog broja, neka je p najmanji prosti djelitelj od n. Tada su 1, p, n/p, n različiti djelitelji od n, pa je σ(n) ≥ 1 + p + n/p + n ≥ 1 + 2 √n + n = (√n + 1)2. Lako je vidjeti da je za svaki prirodan broj n, uvijek τ(n) ≤ 2 √n. Naime, dovoljno je primjetiti da djelitelji od n uvijek dolaze u parovima d, n/d i da je manji od njih nije veći od √n. Stoga za np, p2 vrijedi σ(n) - τ(n) ≥ n + 1, pa zadana jednadžba može imati rješenja samo za n = p ili n = p2. Kako je p + 1 ≠ p + 2 i p2 + p + 1 = p2 + 3 samo za p = 2, jedino rješenje zadane jednadžbe je n = 4.
4. 430/851 = [0,1,1,46,1,3,2];   korijen183 = [13,1,1,8,1,1,26]
5. (102,136,170), (102,864,870), (102,2600,2602), (48,90,102), (102,280,298)
6. (29,2), (1681,116), (97469,6726)

Andrej Dujella