Matematika (Geolozi) 1. kolokvij

21.1.2002.

1. Neka vektor X = [ x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ] ima proizvoljan broj komponenti.

Odredi matricu A i njen inverz ako je poznat umnožak

AX = [ \begin{matrix}x_{3} \\ x_{1} − x_{2} − x_{4} \\ \frac{1}{2}x_{4} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{matrix} ] .

2. Izračunaj determinantu sljedeće matrice:

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ −2 & 0 & 1 & −5 & 0 \\ −3 & 0 & −4 & 0 & −3 \end{matrix} )

3. Riješi sustav jednadžbi:

x_{1}  +x_{3} +4x_{4} +8x_{5} = 4
x_{1} −x_{2} +x_{3} +2x_{4} +5x_{5} = 4
−2x_{1} +2x_{2} −x_{3}  = −9
x_{2} +\frac{1}{2}x_{3} +3x_{4} +7x_{5} = \frac{1}{2}

4. U paralelogramu ABCD zadane su točke E i F tako da točka E dijeli stranicu DC u omjeru 2 : 3, a točka F je polovište stranice BC. Nadi kut izmedu vektora \overrightarrow{EA} i \overrightarrow{EF} ako je šiljasti kut u paralelogramu jednak 60^{o}, \overline{AB} = 5 i \overline{BC} = 2.

5. a) Nadi presjek pravaca p_{1} i p_{2} :

p_{1} … \frac{x − 6}{1} = \frac{y − 1}{−2} = \frac{z − 3}{1}

p_{2} … \frac{x + 5}{4} = \frac{y − 1}{3} = \frac{z + 2}{1}.

b) Neka ravnina Π_{1} sadrži pravce p_{1} i p_{2}. Nadi jednadžbu ravnine Π_{2}, paralelne ravnini Π_{1}, uz uvjet d(Π_{1}, Π_{2}) = 5.

Boris Milašinović