Matematika (Geolozi) 22.2.2002.

1. Matematičkom indukcijom dokažite da za y = sin^{2} x vrjedi:

y^{(n)} = 2^{n−1} sin [2x + (n − 1)\frac{π}{2} ]

2. U ovisnosti o parametru λ riješi sustav jednadžbi:

\begin{aligned}x_{1} & + & 3x_{2} & − & x_{3} & − & 5x_{4} & + & x_{5} & = & −2 \\ 2x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & − & 5x_{4} & − & 2x_{5} & = & 2 \\ 3x_{1} & − & 9x_{2} & + & x_{3} & + & 3x_{4} & + & 9x_{5} & = & 2 \\ 5x_{1} & − & 8x_{2} & + & 2x_{3} & − & 2x_{4} & + & 7x_{5} & = & λ \end{aligned}

3. Izračunajte:

lim_{n→∞} [n(2^{n+1} + 4^{n})\frac{\sqrt{1 + 1/n} − \sqrt{1 − 1/n}}{2^{n} + 4^{n+2}}]

4. Odredite područje konvergencije reda

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{(2n − 1)^{2n}(x − 1)^{n}}{(3n − 2)^{2n}}

5.

f(x) = x^{2} ^{3} \sqrt{(x + 1)^{2}}

Skicirajte graf funkcije, odredite domenu, nultočke, ekstreme, točke infleksije, intervale pada/rasta, asimptote.

Napomena: Dozvoljeno je korištenje logaritamskih tablica i kalkulatora.

REZULTATI: ponedjeljak 25.2.2002 u 10h

Boris Milašinović