Ovo su web stranice kolegija Numerička matematika koji slušaju studenti druge godine preddiplomskog sveučilišnog studija Matematika kao obavezni kolegij.
Kolegij se održava u ljetnom semestru, a nastava se sastoji od tri sata predavanja i dva sata vježbi svakog tjedna.
Glavni cilj ovog kolegija upoznavanje studenata s osnovama numeričke matematike. Uvodni dio kolegija vezan je uz metode linearne algebre. Nakon toga slijede klasični problemi aproksimacije funkcija (interpolacija) te numeričko integriranje. Na kraju je dan kratak pregled metoda za rješavanje nelinearnih jednadžbi.
Način polaganja
Elementi ocjenjivanja- kolokvij
- pisani ispit
- eventualni usmeni ispit
Kolokvij
Kolokvij se sastoji od pitanja iz teorije i zadataka iz prvog dijela gradiva te nosi 50 (ili više) bodova.
Student koji na kolokviju ostvari najmanje 10 bodova, te prijavi ispit u prvom ispitnom terminu u ljetnom ispitnom roku, može pisati drugi kolokvij (tj. umjesto pisanog ispita rješavati pitanja iz teorije i zadataka iz drugog dijela gradiva). Oba kolokvija zajedno nose 100 (ili više) bodova i zamjenjuju pisani ispit.
Na ostalim ispitnim terminima student polaže pisani ispit iz cijelog gradiva.
Pisani ispit
Pisani ispit sastoji od pitanja iz teorije i zadataka iz cjelokupnog gradiva kolegija te vrijedi 100 (ili više) bodova. Student koji umjesto pisanog ispita piše drugi kolokvij može dobiti 50 (ili više) bodova.
Eventualni usmeni ispit
Studenti koji nisu zadovoljni prolaznom ocjenom dobivenom na temelju kolokvija ili pisanog ispita, ili ih na usmeni ispit pozove nastavnik, izlaze na usmeni ispit. Na usmenom ispitu ispituje se gradivo iz cijelog kolegija i moguće je ostvariti najviše još 25 bodova. Student može svojim neznanjem na usmenom ispitu dobiti i negativne bodove, te time i neprolaznu ocjenu iz kolegija.
Konačna ocjena
Za polaganje kolegija potrebno je ostvariti najmanje 45 bodova na pisanom ispitu, odnosno 45 bodova iz oba kolokvija zajedno. Prije utvrđivanja konačne ocjene, bodovima na pisanom ispitu (ili na oba kolokvija) dodaje se rezultat s eventualnog usmenog ispita te se formira ocjena prema sljedećoj tablici:
| 45 - 59 bodova | dovoljan (2) |
| 60 - 74 bodova | dobar (3) |
| 75 - 89 bodova | vrlo dobar (4) |
| 90 - 100 bodova | izvrstan (5) |
Sadržaj kolegija
- Uvod. Problemi numeričke matematike. Primjeri. Izvori grešaka (greške modela, mjerenja, metode, zaokruživanja). Uvjetovanost problema. Stabilnost algoritma i ocjena greške. Pregled nužnih predznanja iz matematičke analize (Taylorov polinom) i linearne algebre (matrice, norme vektora i matrica).
- Rješavanje linearnih sustava. Uvod. Rješavanje linearnih sustava Gaussovim eliminacijama. LR faktorizacija. Osnovni Gaussov algoritam. Veza s LR faktorizacijom. Struktura faktora ako matrica sustava ima strukturu. Primjeri nestabilnosti. Parcijalno i potpuno pivotiranje. Korištenje reziduala. Pozitivno definitne matrice. Faktorizacija Choleskog.
- Aproksimacija i interpolacija. Uvod u aproksimaciju. Interpolacija. Lagrangeov interpolacijski polinom. Ocjena pogreške. Podijeljene i konačne razlike. Newtonov oblik interpolacijskog polinoma. Hermitska interpolacija. Optimalni izbor čvorova interpolacije. Čebiševljevi polinomi. Primjer Runge. Numeričko deriviranje. Po dijelovima polinomna interpolacija. Linearni splajn, kubni splajn, ocjena pogreške.
- Metoda najmanjih kvadrata. Diskretna metoda najmanjih kvadrata. Normalne jednadžbe i karakterizacija rješenja. QR faktorizacija. Householderovi reflektori. Givensove rotacije. Primjena QR faktorizacije u diskretnoj metodi najmanjih kvadrata. Neprekidni problem najmanjih kvadrata i integralni skalarni produkti. Prednost ortogonalnih funkcija.
- Ortogonalni polinomi i generalizirana Hornerova shema. Hornerova shema. Ortogonalni polinomi, osnovna svojstva, tročlana rekurzija. Računanje linearne kombinacije ortogonalnih funkcija. Računanje Fourierovog reda.
- Numeričko integriranje. Opći oblik integracijskih formula. Osnovne Newton–Cotesove formule i ocjena pogreške. Integracijske formule iz interpolacijskog polinoma, svojstva težina. Gaussove formule, svojstva čvorova i težina, ocjena pogreške. Konvergencija Gaussovih formula.
- Rješavanje nelineranih jednadžbi. Metoda bisekcije. Analiza konvergencije. Newtonova metoda, lokalna i globalna konvergencija, brzina konvergencije. Metoda sekante. Metoda fiksne točke (kontrakcije), konvergencija, primjena na konstrukciju metoda višeg reda za rješavanje jednadžbi. Primjeri.
- Uvod u optimizaciju bez ograničenja. Problem minimizacije. Metoda zlatnog reza. Smjer silaska. Korak silaska. Gradijentna metoda. Newtonova metoda. Usporedba metoda na primjeru minimizacije kvadratnog funkcionala.
Literatura
- Z. Drmač i dr., Numerička analiza: osnovni udžbenik, skripta PMF–Matematičkog odjela, 2003.
- W. Cheney, D. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition, Thomson Brooks/Cole, Belmont, CA, 2008.
- W. Gautschi, Numerical Analysis, Second Edition, Springer (Birkhauser), New York, 2012.
- I. C. F. Ipsen, Numerical Matrix Analysis — Linear Systems and Least Squares Problems, SIAM, Philadelphia, 2009.
Dodatna literatura
- K. E. Atkinson, An introduction to numerical analysis, 2nd edition, John Wiley & Sons. 1989.
- N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second Edition, SIAM, Philadelphia, 2002.
- E. Suli, D. Mayers, Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003.
- L. N. Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997.