Elementarna matematika 1

Ovo su web stranice kolegija Elementarna matematika 1 koji slušaju studenti prve godine preddiplomskog sveučilišnog studija Matematika kao obavezni kolegij.

Kolegij se održava u zimskom semestru, a nastava se sastoji od tri sata predavanja i tri sata vježbi svakog tjedna.

Glavni cilj ovog kolegija je "premostiti" prazninu između nivoa srednjoškolske matematike i matematike koje se predaje na sveučilištu. Studenti će se upoznati s osnovama matematičkog jezika i mišljenja te sistematizirati i produbiti već stečeno znanje o skupovima (brojeva), relacijama i funkcijama. Poseban naglasak će biti stavljen na pojmove kongruencije i djeljivosti. Drugi cilj je detaljno ponoviti polinome (jedne i više varijabli) i racionalne funkcije te uvesti neke nove pojmove vezane uz njih. Polinomi će biti proučavani koristeći algebarski pristup.

Način polaganja

• 35% + 35% - dva kolokvija
• 20% - završna provjera znanja
• 10% - domaće zadaće

Kolokviji
U toku semestra održat će se dva kolokvija koja će se sastojati od računskih i teorijskih zadataka. Na kolokvijima student može ostvariti najviše 70 bodova (35 bodova na svakom).

Domaće zadaće
Studenti tokom semestra dobivaju domaće zadaće. Iz domaćih zadaća moguće je ukupno ostvariti najviše 10 bodova.

Završna provjera znanja
Uvjet za pristupanje završnoj provjeri znanja je barem 35 bodova na kolokvijima. Završna provjera je usmenog i/ili pismenog oblika i na njemu student mora pokazati minimalno razumijevanje gradiva prema procjeni nastavnika. Studenti koji ostvare taj uvjet na završnoj provjeri znanja dobivaju najviše 20 bodova.

Student je položio kolegij ako ukupno ima barem 50 bodova, od čega barem 35 bodova na kolokvijima, te ako na završnoj provjeri pokaže zadovoljavajuće razumijevanje gradiva. Ocjena se formira prema sljedećoj tablici:

Popravni kolokvij
Za studente koji sakupe manje od 35 bodova na kolokvijima bit će organiziran popravni kolokvij. Popravni kolokvij nosi 70 bodova i zamjenjuje bodove iz redovnih kolokvija. Za prolaz popravnog kolokvija je nužno ostvariti barem 35 bodova. Nakon položenog popravnog kolokvija, student treba pristupiti završnoj provjeri znanja po istim pravilima kao gore, a ocjena će biti zaključena prema gore navedenoj tablici.

Studenti koji su na redovnim kolokvijima i na domaćim zadaćama ostvarili dovoljno bodova, ali nisu pokazali zadovoljavajuće razumijevanje gradiva na završnoj provjeri znanja, imaju pravo na jednu popravnu završnu provjeru znanja.

Sadržaj kolegija

• Uvod. Kratki pregled povijesnog razvoja matematike i osnovnih matematičkih disciplina. Grčki alfabet.
• Oblici matematičkog mišljenja. Matematički pojam. Definicija pojma. Aksiom. Teorem i njegov obrat. Logički veznici i sudovi. Nužan i dovoljan uvjet. Obrat suda. Obrat po kontrapoziciji. Suprotni sud. Negacija implikacije. Osnovna pravila izvoda. Osnovne vrste dokaza.
• Skupovi. Pojam skupa. Podskup. Jednakost skupova. Univerzalni skup. Zadavanje skupova. Partitivni skup. Booleova algebra. Particija skupa. Kartezijev produkt skupova.
• Relacije. Pojam relacije. Parcijalni uređaj. Uređaj. Relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije. Kvocijentni skup.
• Osnovno o skupovima brojeva (oznake): prirodni, cijeli, racionalni, realni i kompleksni brojevi. Aksiom matematičke indukcije. Binomna formula.
• Primjeri relacija. Djeljivost. Kongruencije. Neke relacije u geometriji i njihova svojstva.
• Funkcije. Pojam funkcije. Domena, kodomena i slika funkcije. Praslika. Graf funkcije. Jednakost funkcija. Restrikcija i proširenje funkcije.
• Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Permutacija skupa. Kompozicija funkcija. Inverzna funkcija.
• Ekvipotentni skupovi. Pojam ekvipotentnih skupova. Kardinalni broj skupa. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi.
• Polinomi u jednoj varijabli. Kvadratna funkcija. Prsten polinoma. Teorem o nul-polinomu. Teorem o jednakosti polinoma. Djeljivost polinoma. Hornerova shema. Najveća zajednička mjera polinoma.
• Nultočke polinoma i algebarske jednadžbe (posebno trećeg i četvrtog stupnja). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Moivreove formule.
• Osnovni teorem algebre. Interpolacijski polinom. Cjelobrojni i racionalni korijeni algebarske jednadžbe. Kompleksni korijeni algebarske jednadžbe. Reducibilnost i ireducibilnost polinoma nad C i R. Vieteove formule
• Racionalne funkcije. Pojam racionalne funkcije. Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke.
• Polinomi dviju i više varijabli. Prsten polinoma dviju varijabli. Simetrični polinomi. Osnovni teorem o simetričnim polinomima dviju varijabli. Simetrične jednadžbe. Polinomi više varijabli.

Literatura

• B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska knjiga, Zagreb, 2003. (obavezna literatura)
• B. Pavković, B. Dakić: Polinomi, Školska knjiga, Zagreb, 1991.
• S. Kurepa: Uvod u matematiku, Tehnička knjiga, Zagreb, 1984.
• S. Lipschitz: Schaum's Outline of Set Theory and Related Topics, McGraw-Hill, New York, 1998.