Mat. Broj (broj iznad slike u indeksu) Ime i Prezime

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 - prvi kolokvij 27. travnja 2009.

1. (3 boda) Definirajte pojmove: poluravnina, kvadrat, paralelnost pravca i ravnine.

2. (3 boda) Definirajte sukladnost trokuta. Iskažite teorem o sukladnosti K-S-K.

3. (4 boda) Dokažite: ako su dvije stranice trokuta sukladne, onda su im i nasuprotni kutevi sukladni.

4. (3 boda) Opišite konstrukciju okomice na zadanu dužinu pomoću ravnala i šestara.

5. (3 boda) Definirajte pojmove smjera i orijentacije vektora.

6. (3 boda) Neka je O središte kružnice upisane trokutu ABC te neka je O′ središte kružnice upisane trokutu A′B′C′. Dokažite: ako je △ABO ≅ △A′B′O′, onda je △ABC ≅ △A′B′C′.

7. (3 boda) Neka su i⃗, j⃗, k nekomplanarni vektori. Može li se vektor a⃗ = i⃗ + j⃗ − k⃗ prikazati kao linearna kombinacija vektora b⃗ = 2i⃗ − j⃗ + k⃗ i c⃗ = i⃗ − j⃗ − k⃗?

8. (3 boda) Zadan je paralelogram ABCD. Točka M dijeli stranicu \overline{AB} u omjeru \frac{1}{3}. Točka N dijeli stranicu \overline{DC} u omjeru \frac{1}{2}. Neka je T presjek pravaca AN i DM. Izrazite vektor \overrightarrow{AT} pomoću vektora \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD}.

9. (3 boda) Odredite kut α ako je S središte dane kružnice.

10. (3 boda) U trapez su upisane dvije kružnice tako da svaka od njih dodiruje obje dijagonale i po jednu od osnovica. Ako su duljine osnovica 12cm i 3cm, a radijus veće kružnice 4cm, odredite radijus manje kružnice.

11. (4 boda) Iz točke T izvan kružnice povučena su dva pravca koji sijeku kružnicu u točkama A i B, odnosno C i D. Dokažite da vrijedi |T A| · |T B| = |T C| · |T D|.

Mat. Broj (broj iznad slike u indeksu) Ime i Prezime

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 - prvi kolokvij 27. travnja 2009.

1. (3 boda) Definirajte pojmove: kružnica, paralelogram, komplanarnost vektora.

2. (3 boda) Definirajte sličnost trokuta. Iskažite teorem o sličnosti S-K-S.

3. (4 boda) Dokažite da je zbroj kuteva u trokutu jednak 180^{∘}.

4. (3 boda) Opišite konstrukciju simetrale zadane dužine pomoću ravnala i šestara.

5. (3 boda) Definirajte množenje vektora skalarom i navedite svojstva te operacije.

6. (3 boda) Neka je D polovište stranice \overline{AB} trokuta ABC, a D′ polovište stranice \overline{A′B′} trokuta A′B′C′. Dokažite: ako je △CDB ≅ △C′D′B′, onda je △ABC ≅ △A′B′C′.

7. (3 boda) Neka su i⃗, j⃗, k nekomplanarni vektori. Može li se vektor a⃗ = i⃗ − 2j⃗ − 4k⃗ prikazati kao linearna kombinacija vektora b⃗ = 2i⃗ − j⃗ + k⃗ i c⃗ = i⃗ − j⃗ − k⃗?

8. (3 boda) Zadan je paralelogram ABCD. Točka M dijeli stranicu \overline{AB} u omjeru \frac{1}{2}. Točka N dijeli stranicu \overline{DC} u omjeru \frac{1}{3}. Neka je T presjek pravaca AN i DM. Odredite u kojem omjeru točka T dijeli dužinu \overline{AN}.

9. (3 boda) Odredite kut β ako je S središte dane kružnice, a ∡SBF iznosi 10^{∘}.

10. (3 boda) U trapez su upisane dvije kružnice tako da svaka od njih dodiruje obje dijagonale i po jednu od osnovica. Ako su duljine osnovica 6cm i 4cm, a radijus manje kružnice 2cm, odredite radijus veće kružnice.

11. (4 boda) Iz točke T izvan kružnice povučena su dva pravca koji sijeku kružnicu u točkama A i B, odnosno C i D. Dokažite da vrijedi |T A| · |T B| = |T C| · |T D|.

Mat. Broj (broj iznad slike u indeksu) Ime i Prezime

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 - prvi kolokvij 27. travnja 2009.

1. (3 boda) Definirajte pojmove: konveksan skup, pravokutni trokut, paralelnost pravaca u prostoru.

2. (3 boda) Definirajte sukladnost trokuta. Iskažite teorem o sukladnosti S-S-K^{>}.

3. (4 boda) Iskažite i dokažite Talesov teorem o proporcionalnosti.

4. (3 boda) Opišite konstrukciju simetrale zadanog kuta pomoću ravnala i šestara.

5. (3 boda) Neka su \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{CD} ekvivalentne orijentirane dužine. Dokažite da su tada orijentirane dužine \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD} također ekvivalentne.

6. (3 boda) Neka je D točka unutar trokuta ABC te D′ točka unutar trokuta A′B′C′ tako da je △ABD ≅ △A′B′D′ te △ADC ≅ △A′D′C′. Dokažite da je △ABC ≅ △A′B′C′.

7. (3 boda) Neka su i⃗, j⃗, k nekomplanarni vektori. Jesu li vektori a⃗ = i⃗ − j⃗ − k⃗, b⃗ = 2i⃗ − j⃗ + k⃗ i c⃗ = i⃗ + j⃗ − k⃗ komplanarni?

8. (3 boda) Zadan je paralelogram ABCD. Točka M dijeli stranicu \overline{AB} u omjeru \frac{1}{4}. Točka N dijeli stranicu \overline{DC} u omjeru \frac{1}{2}. Neka je T presjek pravaca AN i DM. Izrazite vektor \overrightarrow{AT} pomoću vektora \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD}.

9. (3 boda) Odredite kut γ ako je \overline{BD} promjer dane kružnice i S njeno središte.

10. (3 boda) U trapez su upisane dvije kružnice tako da svaka od njih dodiruje obje dijagonale i po jednu od osnovica. Ako su radijusi kružnica 1cm i 5cm, a duljina manje osnovice 2cm, odredite duljinu veće osnovice.

11. (4 boda) Iz točke T izvan kružnice povučena su dva pravca koji sijeku kružnicu u točkama A i B, odnosno C i D. Dokažite da vrijedi |T A| · |T B| = |T C| · |T D|.

Mat. Broj (broj iznad slike u indeksu) Ime i Prezime

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 - prvi kolokvij 27. travnja 2009.

1. (3 boda) Definirajte pojmove: dužina, jednakokračni trokut, kolinearnost vektora.

2. (3 boda) Definirajte sličnost trokuta. Iskažite teorem o sličnosti S-S-S.

3. (4 boda) Iskažite i dokažite teorem o obodnom i središnjem kutu.

4. (3 boda) Opišite kako biste pomoću ravnala i šestara podijelili zadanu dužinu na n jednakih dijelova.

5. (3 boda) Definirajte zbrajanje vektora i navedite svojstva te operacije.

6. (3 boda) Neka je ABC trokut te D točka na stranici \overline{AB}. Nadalje, neka je A′B′C′ trokut te D′ točka na stranici \overline{A′B′} tako da je △ADC ≅ △A′D′C′ te ∢DCB = ∢D′C′B′. Dokažite da je △ABC ≅ △A′B′C′.

7. (3 boda) Neka su i⃗, j⃗, k nekomplanarni vektori. Jesu li vektori a⃗ = i⃗ − j⃗ − k⃗, b⃗ = 2i⃗ − j⃗ + k⃗ i c⃗ = i⃗ − 2j⃗ − 4k⃗ komplanarni?

8. (3 boda)Zadan je paralelogram ABCD. Točka M dijeli stranicu \overline{AB} u omjeru \frac{1}{2}. Točka N dijeli stranicu \overline{DC} u omjeru \frac{1}{4}. Neka je T presjek pravaca AN i DM. Odredite u kojem omjeru točka T dijeli dužinu \overline{AN}.

9. (3 boda) Odredite kut δ ako je S središte dane kružnice.

10. (3 boda) U trapez su upisane dvije kružnice tako da svaka od njih dodiruje obje dijagonale i po jednu od osnovica. Ako su radijusi kružnica 2cm i 3cm, a duljina veće osnovice 9cm, odredite duljinu manje osnovice.

11. (4 boda) Iz točke T izvan kružnice povučena su dva pravca koji sijeku kružnicu u točkama A i B, odnosno C i D. Dokažite da vrijedi |T A| · |T B| = |T C| · |T D|.

Mat. Broj (broj iznad slike u indeksu) Ime i Prezime

Na ovom papiru rješavam zadatke: A. 1-5 B. 6-8 C. 9-11

(izaberite jednu mogućnost i zaokružite slovo!)

1,6,9  2,7,10  3,8,11  4  5