Rjeavanje jednadbi i nejednadbi

Jednadbe

Naredba  Solve  rjeava zadanu jednadbu.

?Solve

Pokuajmo rijeiti nekoliko jednadbi napravljenih na vjebama.

Zad 1

Solve[
      (7/((x^2) - 1)) + 
          (8/((x^2) - 2 x + 1)) == ((37 - 9 x)/((x^3) - (x^2) - x + 1))]

Zad 2

Ova jednadba ovisi o realnim parametrima a i b.

Solve[ x (a - x) + (((b - x))^2) == a + (b^2) - 4]

Treba naznačiti da elimo rjeenje po varijabli x.

Solve[ x (a - x) + (((b - x))^2) == a + (b^2) - 4, x]

Rjeenje koje smo dobili točno je samo za a - 2  b ≠ 0.

DZ 9

Solve[Abs[x + Abs[x/2 + Abs[x/3 - 1]]] == 1]

Usprkos upozorenju Mathematica je točno rijeila jednadbu s apsolutnim vrijednostima. Promotrimo nekoliko primjera iracionalnih jednadbi (s korijenima).

Zad 7

Solve[(Sqrt[4 x + 5]) == (Sqrt[2 x - 1]) + (Sqrt[x - 1])]

Zad 8

Solve[(Sqrt[1 - (Sqrt[(x^4) - (x^2)])]) == x - 1]

Zad 12

Solve[((a + x)^(1/3)) + ((a - x)^(1/3)) == ((2  a)^(1/3)), x]

Zad 13

Solve[(Sqrt[x - 2 + (Sqrt[2  x - 5])]) + (Sqrt[x + 2 + 3 (Sqrt[ 2  x - 5])]) == 7 (Sqrt[ 2])]

Zad 14

Moemo rjeavati i sustave iracionalnih jednadbi.

Solve[{(Sqrt[((x - y)/(x + y))]) + (Sqrt[((x + y)/(x - y))]) == 
          (10/3), x y - 2  x - 2  y - 2 == 0}]

Mathematica rjeenja trai u skupu kompleksnih brojeva ℂ. Na vjebama smo traili samo realna rjeenja.

Zad 15

Sljedeću eksponencijalnu jednadbu Mathematica ne zna rijeiti.

Solve[ (9^x) - (15^x) - 2 (25^x) == 0]

Moemo dobiti samo priblino rjeenje.

FindRoot[(9^x) - (15^x) - 2*(25^x) == 0, {x, 0}]

Zad 18

Za neke eksponencijalne jednadbe ipak moemo dobiti egzaktno rjeenje.

Solve[(2^((x^2) - x - 2)) == (3^((x^2) - 2  x - 3))]

FullSimplify[%]

Rjeenje je točno, usprkos upozorenju.

Zad

to je s logaritamskim jednadbama?

Solve[Log[x - 4] + Log[x + 3] == Log[5  x + 4], x]

Uvrtavanjem  x = -2  u jednadbu dobivamo log(-6). Logaritamska funkcija moe se proiriti na kompleksne brojeve. U tom slučaju definirani su i logaritmi negativnih brojeva.

Log[-6]

Nejednadbe

Da bi mogli rjeavati nejednadbe treba učitati paket.

<< Algebra`InequalitySolve`

DZ 7

S racionalnim nejednadbama nema problema.

InequalitySolve[(( ((x^2) - 3 x - 4) (2 x + 5))/(x - (x^2))) ≥ 0, x]

Znak  | |  označava disjunkciju ('ili'). Rjeenje je unija skupova definiranih uvjetima x ≤ -(5/2), -1 ≤ x < 0  i  1 < x ≤ 4.

Zad 5

Mogu se rjeavati i nejednadbe s apsolutnim vrijednostima.

InequalitySolve[Abs[(x^3) - (x^2)] < Abs[(x^2) + x], x]

Za iracionalne nejednadbe dobivamo upozorenja, ali svako od sljedećih rjeenja je točno.

Zad 9

InequalitySolve[(Sqrt[4 - (x^2)]) > 2 - 2  x, x]

Zad 10

InequalitySolve[(Sqrt[(x^2) - 4  x + 3]) > 2 - x, x]

DZ 12

InequalitySolve[(Sqrt[x + 3]) < (Sqrt[2 - x]) - (Sqrt[x]), x]

Ovo znači da nejednadba nema rjeenja.

Zad 21

Zadnji primjer je logaritamska nejednadba.

InequalitySolve[(1/(1 - Log[10, x])) + (1/(1 + Log[10, x])) > 2, 
      x]

Ovaj puta zaista smo dobili krivo rjeenje. Promotrimo graf funkcije na lijevoj strani.

Plot[
      (1/(1 - Log[10, x])) + (1/(1 + Log[10, x])), {x, 0, 2}]

Vidimo da za  0 < x < (1/10) dobivamo negativne vrijednosti. Na primjer, ako uvrstimo x = (1/100) vrijednost na lijevoj strani nije veća od 2.

FullSimplify[
      (1/(1 - Log[10, x])) + (1/(1 + Log[10, x])) /. 
        x -> 1/100]