Elementarne funkcije

Polinomi

p(
          x) =  (Subscript[a, n]) (x^n) +  (Subscript[a, n - 1]) 
            (x^(n - 1)) + … + (Subscript[a, 1]) x + (Subscript[a, 0]),  za (Subscript[a, 0]), …, 
      (Subscript[a, n]) ∈ ℝ,   (Subscript[a, n]) ≠ 0

Domena:  ℝ

Racionalne funkcije

f(x)=((p (x))/(q (x))),    gdje su p i q polinomi.

Domena:  ℝ\{x | q(x)=0}

Apsolutna vrijednost i signum

|x|={({{x,       x ≥ 0}, {-x,     x < 0}})                                     sgn  x = {({{1,   x > 0}, {0,   x = 0}, {-1,   x < 0}})

Eksponencijalne funkcije

f(x)=(a^x),   a > 0,  a ≠ 1

Domena:  ℝ,   slika:  \(TraditionalForm\`\(ℝ\^+\) = {x ∈ ℝ\  | \ x > 0}\).
Funkcija strogo raste za a > 0, a strogo pada za 0 < a < 1.
Svojstva:     (a^(x + y)) = (a^x)·(a^y),    ((((a^x)))^y) = (a^(x·y))
Važna baza:  \(TraditionalForm\`e = 
        2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676 ... \)

Logaritamske funkcije

f(
          x) = (Subscript[log,  a])(x),    a > 0,   a ≠ 
        1
Za  a = 10  piše se  f(x) = log x,  a za  a = e  oznaka je  \(TraditionalForm\`\(f\)(x) = ln\ x\).

Domena:  \(TraditionalForm\`\(ℝ\^+\) = {x ∈ ℝ\  | \ x > 0}\),   slika:  ℝ.
Funkcija strogo raste za a > 1, a strogo pada za 0 < a < 1.
Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj:  (Subscript[log,  a])(
          (a^x)) = x,  ∀ x ∈ ℝ;   (a^((Subscript[log,  a])(x))) = 
        x,  ∀ x > 0
Svojstva:  (Subscript[log,  a])(
          x·y)  =  (Subscript[log,  a])(
            x) + (Subscript[log,  a])(y),  (Subscript[log,  a])(
          (x^y))  =  y·(Subscript[log,  a])(x),  \(\(log\_\(\(\ \)\(a\)\)\)(
              x)\  = \ \(\(log\_\(\(\ \)\(b\)\)\)(x)\)\/\(\(log\_\(\(\ \)\(b\)\)\)(a)\)\)

Opća potencija i korijeni

f(x) = 
      (x^a),    a ∈ ℝ

Opću potenciju možemo definirati pomoću eksponencijalne i logaritamske funkcije:  (x^a) = (e^(a·ln(
                  x))). Uz tu definiciju domena je \(TraditionalForm\`\(ℝ\^+\)\), ali se za neke vrijednosti od a može proširiti na cijeli ℝ (npr. za \(TraditionalForm\`a ∈ ℕ\)). Funkcija strogo raste za a > 0, a strogo pada za a < 0. Za a = 0 funkcija je konstantna.
Pomoću opće potencije možemo definirati korijene:  (x^(1/n)) = (x^(1/n)),  n∈ℕ. Za neparne n funkciju proširujemo na cijeli ℝ po neparnosti (tj. tako da vrijedi ((-x)^(1/n)) = -(x^(1/n))).

Oprez!    (Sqrt[(x^2)]) = |x|

Trigonometrijske funkcije

Sinus:  f(x) = sin x

Domena:  ℝ;  slika:  [-1, 1]. Funkcija je periodična temeljnog perioda 2π i neparna.

Kosinus:  f(x) = cos x

Domena:  ℝ;  slika:  [-1, 1]. Funkcija je periodična temeljnog perioda 2π i parna.

Tangens:  f(x)=tg x=((sin x)/(cos x))                                          Kotangens:  f(x)=ctg x=((cos x)/(sin x))

Funkcije su periodične temeljnog perioda π i neparne. 
Tangens: domena  \(TraditionalForm\`\(\(ℝ\{π\/2 + 
              k\ π\  | \ 
            k ∈ ℤ}\)\(\ \)\)\),  slika  ℝ.  Kotangens: domena  \(TraditionalForm\`\(\(ℝ\{k\ π\  | \ 
            k ∈ ℤ}\)\(\ \)\)\),  slika  ℝ.

Koriste se i funkcije sekans  sc x  =  (1/(cos x)) i kosekans  csc x  =  (1/(sin x)).

Osnovne relacije za trigonometrijske funkcije:   (sin^2) x + (cos^2) x = 1,  
sin(x ± y) = 
        sin x cos y  ± cos x sin y,  cos(x ± y) = 
        cos x cos y  ∓ sin x sin y,
sin 2  x = 2  sin x cos x,  cos 2  x = (cos^2) x - (sin^2) x, sin  (x/2) = (Sqrt[(1 - cos x)/2]), cos  (x/2) = (Sqrt[(1 + cos x)/2]),
sin x + sin y = 
        2  sin(((x + y)/2)) cos(((x - y)/2)),  sin x - sin y = 
        2  cos(((x + y)/2)) sin(((x - y)/2)),
cos x + cos y = 
        2  cos(((x + y)/2)) cos(((x - y)/2)),  cos x - 
          cos y = -2 sin(((x + y)/2)) sin(((x - y)/2)),
sin x sin y = (1/2)[
          cos(x - y) - cos(x + y)],  cos x cos y = (1/2)[
          cos(x - y) + cos(x + y)], 
sin x cos y = (1/2)[
          sin(x - y) + sin(x + y)].
U Bronštejnu na str. 231-234 navedene su još mnoge slične formule.

Arkus funkcije

Arkus sinus: f(x) = arc sin x                          Arkus kosinus: f(x) = arc cos x

Domena: [-1, 1];  slika: \(TraditionalForm\`\([\(-\(π\/2\)\), π\/2]\)\).                     Domena: [-1, 1];  slika: [0, π].
Funkcija je rastuća i neparna.                              Funkcija je padajuća.

Arkus tangens:  f(x) = arc tg x

Domena:  ℝ;  slika:  \(TraditionalForm\`⟨\(-\(π\/2\)\), π\/2⟩\). Funkcija je rastuća i neparna.

Arkus kotangens:  f(x) = arc ctg x

Domena:  ℝ;  slika:  \(TraditionalForm\`⟨0, π⟩\). Funkcija je padajuća.

Arkus funkcije su inverzne trigonometrijskim funkcijama:
\(TraditionalForm\`arc\ \(sin(\ 
            sin\ x\ )\) = 
        x, \ ∀ \(\(x\)\(∈\)\([\(-\(π\/2\)\), π\/2]\)\(\ \)\)\);  arc cos( 
            cos x ) = 
        x,    ∀ x∈[0, π] ;  \(TraditionalForm\`arc\ \(tg(\ tg\ x\ )\) = 
        x, \ \ ∀ x ∈ ⟨\(-\(π\/2\)\), π\/2⟩\)
\(TraditionalForm\`arc\ \(ctg(\ 
            ctg\ x\ )\) = 
        x, \ \ ∀ x ∈ ⟨0, π⟩\);  sin( arc sin x ) = 
        x,   ∀ x ∈ [-1, 1];  cos( arc cos x ) = 
        x,   ∀ x ∈ [-1, 1]
tg( arc tg x ) = 
        x,   ∀ x ∈ ℝ;  ctg( arc ctg x ) = 
        x,   ∀ x ∈ ℝ
Adicione i ostale formule za arkus funkcije nalaze se u Bronštejnu na str. 240-242.