2502. Ako su a, b, i n pozitivni cijeli brojevi, pokaži da se (a^2 + b^2)^n može prikazati kao suma kvadrata dva cijela broja.

2503. Nađi sva realna rješenja jednadžbe

(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.

2504. U nekom gradu ima 10 restorana i n kazališta. Jedna grupa turista provela je nekoliko dana u tom gradu i tokom svog boravka posjećivali su restorane i kazališta. Na kraju svog boravka ustanovili su da su svaki restoran posjetila 4 turista i u svakom kazalištu bilo je po 6 turista. Ako je svaki turist posjetio točno 5 restorana i 3 kazališta, nađi koliko ima kazališta u gradu ako je poznato da ih ima manje od 8.

2505. Neka su a i b dva prirodna broja koji u svom dekadskom prikazu imaju n znamenaka. Prvih
m > = 2 znamenaka brojeva a i b su jednake. Dokaži da je

a^(1/n) - b^(1/n) < 1/n.

2506. Dan je konveksan četverokut ABCD. Trokuti BAM, CBN, DCP i ADQ su pravokutni jednakokračni, s vanjske strane četverokuta, s pravim kutovima u točkama M, N, P i Q. Točke E, F, G i H su polovišta dužina MN, NP, PQ i QM. Dokažite da je četverokut EFGH kvadrat.

2507. Dvije koncentrične kružnice u ravnini imaju polumjere 13 i 8. Neka je AB promjer veće kružnice i BC tetiva veće kružnice koja je tangencijalna na manju kružnicu u točki D. Izračunaj duljinu dužine AD.

2508. Pokaži da za svaki trokut vrijedi jednakost

R/r = (ctg (A/2) + ctg (B/2))/2sin C

gdje su A, B i C kutovi trokuta, a R i r su redom polumjeri opisane i upisane kružnice.

2509. U krugu su povučena dva međusobno okomita promjera AE i BF. Na luku EF izabrana je točka C. Dužine CA i CB sijeku promjere BF i AE redom u točkama P i Q. Pokaži da je površina četverokuta ABCD jednaka kvadratu duljine polumjera kruga.

2510. Neka su ABC i A'B'C' dva trokuta, takva da za njihove stranice vrijedi: a < a', b < b' i c < c', gdje je a = |BC|, a' = |B'C'|, itd.
(a) Dokaži da, ako je trokut A'B'C' netupokutan, onda za njihove površine vrijedi P < P'.
(b) Pokaži primjerom da nejednakost iz (a) ne mora vrijediti ako je trokut A'B'C' tupokutan.
(c) Dokaži da, ako je trokut A'B'C' netupokutan, onda za polumjere opisane i upisane kružnice vrijedi R <= r'.
(d) Primjerom pokaži da nejednakost iz (c) ne mora vrijediti ako je trokut ABC tupokutan.

2511. Pokaži da je

cos(sin x) > sin(cos x)

za svaki realan broj x.

2512. Konstruiraj trokut ABC ako je zadano c = |AB|, a - b = |BC| - |AC| i razlika kutova A - B. Diskusija!

2513. Ako je A_0A_1...A_{3n-1} pravilan 3n-terokut, dokaži jednakost

|A_0A_{n+1}| = |A_0A_{n-1}| + |A_0A_1|.

2514. Niz prirodnih brojeva zadan je rekurzivno: a_0 = x, a_1 = y, a_n = a_{n-2} + a_{n-1}, (n >= 2).

Odredi sve vrijednosti za x i y za koje je niz ograničen.

2515. Niz prirodnih brojeva poredan je u niz
0 1 2 3 4 ... 1995 1996 1997
Ispod svaka dva broja napiše se njihova suma, i dobiva se niz
1 3 5 7 ... 3991 3993
Postupak se nastavlja tako dugo dok se ne dobije samo jedan broj. Pokaži da je taj broj djeljiv s 1997. 

Povratak na početnu stranicu