2502. Ako su a, b, i n pozitivni cijeli brojevi, pokaži da se (a^2 + b^2)^n može
prikazati kao suma kvadrata dva cijela broja.
2503. Nađi sva realna rješenja jednadžbe
(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.
2504. U nekom gradu ima 10 restorana i n kazališta. Jedna grupa turista provela
je nekoliko dana u tom gradu i tokom svog boravka posjećivali su restorane i kazališta.
Na kraju svog boravka ustanovili su da su svaki restoran posjetila 4 turista i u svakom
kazalištu bilo je po 6 turista. Ako je svaki turist posjetio točno 5 restorana i 3
kazališta, nađi koliko ima kazališta u gradu ako je poznato da ih ima manje od 8.
2505. Neka su a i b dva prirodna broja koji u svom dekadskom prikazu imaju n
znamenaka. Prvih
m > = 2 znamenaka brojeva a i b su jednake. Dokaži da je
a^(1/n) - b^(1/n) < 1/n.
2506. Dan je konveksan četverokut ABCD. Trokuti BAM, CBN, DCP i ADQ su
pravokutni jednakokračni, s vanjske strane četverokuta, s pravim kutovima u
točkama M,
N, P i Q. Točke E, F, G i H su polovišta dužina MN, NP, PQ i QM. Dokažite da je
četverokut EFGH kvadrat.
2507. Dvije koncentrične kružnice u ravnini imaju polumjere 13 i 8. Neka je AB
promjer veće kružnice i BC tetiva veće kružnice koja je tangencijalna na manju
kružnicu u točki D. Izračunaj duljinu dužine AD.
2508. Pokaži da za svaki trokut vrijedi jednakost
R/r = (ctg (A/2) + ctg (B/2))/2sin C
gdje su A, B i C kutovi trokuta, a R i r su redom polumjeri opisane i upisane
kružnice.
2509. U krugu su povučena dva međusobno okomita promjera AE i BF. Na luku EF
izabrana je točka C. Dužine CA i CB sijeku promjere BF i AE redom u točkama P i
Q.
Pokaži da je površina četverokuta ABCD jednaka kvadratu duljine polumjera kruga.
2510. Neka su ABC i A'B'C' dva trokuta, takva da za njihove stranice vrijedi: a
< a', b < b' i c < c', gdje je a = |BC|, a' = |B'C'|, itd.
(a) Dokaži da, ako je trokut A'B'C' netupokutan, onda za njihove površine vrijedi P <
P'.
(b) Pokaži primjerom da nejednakost iz (a) ne mora vrijediti ako je trokut A'B'C'
tupokutan.
(c) Dokaži da, ako je trokut A'B'C' netupokutan, onda za polumjere opisane i upisane
kružnice vrijedi R <= r'.
(d) Primjerom pokaži da nejednakost iz (c) ne mora vrijediti ako je trokut ABC tupokutan.
2511. Pokaži da je
cos(sin x) > sin(cos x)
za svaki realan broj x.
2512. Konstruiraj trokut ABC ako je zadano c = |AB|, a - b = |BC| - |AC| i
razlika kutova A - B. Diskusija!
2513. Ako je A_0A_1...A_{3n-1} pravilan 3n-terokut, dokaži jednakost
|A_0A_{n+1}| = |A_0A_{n-1}| + |A_0A_1|.
2514. Niz prirodnih brojeva zadan je rekurzivno: a_0 = x, a_1 = y, a_n = a_{n-2}
+ a_{n-1}, (n >= 2).
Odredi sve vrijednosti za x i y za koje je niz ograničen.
2515. Niz prirodnih brojeva poredan je u niz
0 1 2 3 4 ... 1995 1996 1997
Ispod svaka dva broja napiše se njihova suma, i dobiva se niz
1 3 5 7 ... 3991 3993
Postupak se nastavlja tako dugo dok se ne dobije samo jedan broj. Pokaži da je taj broj
djeljiv s 1997.