English

Andrej Dujella:

Diofantske jednadžbe

Poslijediplomski kolegij     (2006/2007)

Opis kolegija

U ovom kolegiju obradit će se neke od najvažnijih metoda za rješavanje diofantskih jednadžbi.

Opisat će se detaljno rezultati i algoritmi vezani uz rješavanje klasičnih diofantskih jednadžbi, kao što su pellovske jednadžbe i ternarne kvadratne forme. Na njima će se ilustrirati opći principi za rješavanje diofantskih jednadžbi: primjena rezultata iz diofantskih aproksimacija, algebarske teorije brojeva i p-adske analize.

Prikazat će se moderne metode koje dolaze iz diofantskih aproksimacija (linearne forme u logaritmima algebarskih brojeva, hipergeometrijska metoda za aproksimaciju algebarskih brojeva), pomoću kojih je moguće dobiti gornje ograde za veličinu rješenja različitih diofantskih jednadžbi. Obradit će se najpoznatije metode za redukciju gornjih ograda za veličinu rješenja, kao što su Baker-Davenportova metoda zasnovana na verižnim razlomcima, te redukcija pomoću LLL-algoritma. Na primjerima će se ilustrirati kako se obrađene metode mogu primijeniti za potpuno rješenje različitih diofantskih problema. Primjeri će uključivati Thueove jednadžbe, eliptičke jednadžbe, sustave pellovskih jednadžbi, te jednadžbe s rekurzivnim nizovima.

Od studenata se očekuje poznavanje osnovnih pojmova i činjenica iz teorije brojeva, na nivou dodiplomskog kolegija Uvod u teoriju brojeva.

Literatura

  1. N. P. Smart: The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

  2. S. Alaca, K. S. Williams: Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

  3. W. S. Anglin: The Queen of Mathematics. An Introduction to Number Theory, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995.

  4. H. Cohen: Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer Verlag, Berlin, 2007.

  5. H. Cohen: Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer Verlag, Berlin, 2007.

  6. I. Gaal: Diophantine Equations and Power Integral Bases, Birkhauser, Boston, 2002.

  7. W. J. LeVeque: Topics in Number Theory. Volumes I and II, Dover, New York, 2002.

  8. L. J. Mordell: Diophantine Equations, Academic Press, London, 1969.

  9. T. Nagell: Introduction to Number Theory, Chelsea, New York, 1981.

  10. I. Niven, H. S. Zuckerman, H. L. Montgomery: An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, New York, 1991.

  11. A. Pethö: Algebraische Algorithmen, Vieweg, Braunschweig, 1999.

  12. W. M. Schmidt: Diophantine Approximation and Diophantine Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

  13. T. H. Shorey, R. Tijdeman: Exponential Diophantine Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 1986.

  14. J. H. Silverman, J. Tate: Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag, New York, 1992.

  15. V. G. Sprindžuk: Classical Diophantine Equations, Springer, Berlin, 1993.

  16. J. Steuding: Diophantine Analysis, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2005.

  17. B. M. M. de Weger: Algorithms for Diophantine Equations, Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam, 1989.

  18. U. Zannier: Some applications of Diophantine Approximation to Diophantine Equations, Forum Editrice, Udine, 2003.

Bilješke s predavanja
(u pdf formatu)

Seminarske teme

Prva domaća zadaća - rok za predaju je 20.12.2006.

Druga domaća zadaća - rok za predaju je 17.1.2007.

Treća domaća zadaća - rok za predaju je 31.1.2007.

Četvrta domaća zadaća - rok za predaju je 21.3.2007.

Peta domaća zadaća - rok za predaju je 25.4.2007.

Šesta (zadnja) domaća zadaća - rok za predaju je 6.6.2007.

Neki (korisni) linkovi

Seminar za teoriju brojeva i algebru
Uvod u teoriju brojeva - dodiplomski izborni kolegij
Kriptografija - dodiplomski izborni kolegij
Eliptičke krivulje i njihova primjena u kriptografiji - studentski seminar (2002/2003)
Software packages of interest to number theory
PARI/GP home page
MAGMA Calculator
Pell Equation solver (Michael Zuker)
Quadratic Diophantine equation solver (Dario Alpern)
Thue equations (Clemens Heuberger)
Diophantine m-tuples page (Andrej Dujella)
Hilbert's Tenth Problem page (Maxim Vsemirnov, Yuri Matiyasevich)
Number Theory Web
Number theory groups and seminars
Popis dostupne literature iz teorije brojeva
Henri Cohen: "Explicit methods for solving Diophantine equations", Arizona Winter School, 11-15.5.2006
Instructional conference "Solvability of Diophantine equations", Leiden, 7-11.5.2007.
Andrej Dujella home page