Složeni kamatni račun


Postoje dva načina obračuna kamata:

  • dekurzivni obračun kamata i
  • anticipativni obračun kamata

Kamate mogu biti:

  • jednostavne i
  • složene

Složene kamate su one koje se obračunavaju za svako razdoblje ukamaćivanja od promjenjive glavnice.

Složene kamate su zapravo kamate na kamate, jer se promjenjiva glavnica dobije dodajući kamate početnoj glavnici. Ove se kamate primjenjuju kod dugoročnih financijskih operacija (duže od godinu dana) i mogu se obračunavati dekurzivno i anticipativno.


Dekurzivni obračun

Kod dekurzivnog obračuna, kamate se obračunavaju na kraju razdoblja ukamaćivanja
od glavnice s početka tog razdoblja.

Uvedimo oznake:

  • C_{0} - početna vrijednost glavnice
  • n - broj godina
  • C_{n} - konačna vrijednost glavnice
  • p(G) - godišnji dekurzivni kamatnjak, gdje je G godina
  • I - ukupne dekurzivne složene kamate na kraju n-te godine
  • I_{i} - dekurzivne složene kamate na kraju i-te godine

Kod ukupnih je kamata uobičajeno ne pisati oznaku za godinu, već se ona podrazumijeva iz konteksta.


Konačna vrijednost glavnice

Kolika će biti vrijednost uložene glavnice C_{0} nakon n godina uz godišnji kamatnjak p(G)? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan.

Računajući kamate i konačnu vrijednost za svaku godinu, dolazimo do konačne vrijednosti glavnice C_{0} nakon n godina:

C_{n}=C_{0}+(1+\frac{p(G)}{100})^n,

Uvedemo li oznaku

r=1+\frac{p(G)}{100}.

Konačna je vrijednost glavnice C_{0} nakon n- godina jednaka

C_{n}=C_{0}*r^n.

Veličina r zove se dekurzivni kamatni faktor. Uvrstimo li u izraz C_{n}=C_{0}*r^n, C_{0}=1, n, dobivamo

C_{1}=C_{0}*r=1*r=r.

Zaključujemo da je r, zapravo, vrijednost novčane jedinice nakon godinu dana, ukamaćene uz godišnji kamatnjak p(G). Veličinu r^n zovemo faktorom akumulacije. Kako se ukupne kamate uvijek jednake razlici konačne i početne vrijednosti glavnice dobivamo

I=C_{n}-C_{0}=C_{0}*r^n-C_{0}=C_{0}+(r^n-1).

Primjer

Početna vrijednost glavnice

Koliki iznos C_{0} moramo uložiti danas da bismo na kraju n-te godine, uz godišnji kamatnjak p(G), imali C_{n}? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan.

Iz prethodnog poglavlja lako se vidi da je početna vrijednost jednaka

C_{0}=\frac{C_{n}}{r^n},

pri čemu je

r=1+\frac{p(G)}{100}.

Općenito, ako se prvih n_{1} godina primjenjuje godišnji kamatnjak p_{1}(G) sljedećih n_{2} godina, godišnji kamatnjak p_{2}(G), i tako redom, do zadnjih n_{k} godina kad se primjenjuje p_{k}(G), tada je početna vrijednost glavnice jednaka

C_{0}=\frac{C_{n}}{r_{1}^{n_{1}}*r_{2}^{n_{2}}*...*r_{k}^{n_{k}}}

Primjer

Nominalni, relativni i konformni kamatnjak

Dosad smo u složenom kamatnom računu obračunavali godišnje kamate za neki broj godina, tj. bili su zadani godišnji kamatnjak i razdoblje ukamaćivanja od jedne godine. No, u praksi može biti propisan godišnji kamatnjak, a razdoblje ukamaćivanja dan, mjesec, kvartal ili polugodište. Dakle, razdoblje koje se odnosi na kamatnjak i razdoblje ukamaćivanja nisu isti.

Kod jednostavnog smo izračuna kamata ta vremenska razdoblja pretvarali u godine (npr. 1 mjesec = 1/12 godine) i izvodili izraze za mjesečne i dnevne kamate. Nešto slično, ali ipak malo složenije, definirat ćemo i u ovom poglavlju. U tu svrhu, uvodimo sljedeće pojmove.

Poznati kamatnjak za određeno vremensko razdoblje zove se nominalni ili zadani kamatnjak.

Uoči još jednom da pravimo razliku između vremenskog intervala koji se odnosi na nominalni kamatnjak i intervala u kojem se obračunavaju kamate! Na primjer, ako je zadan godišnji kamatnjak, a obračun je mjesečni, onda su u igri dva vremenska intervala: godina i mjesec.

Zapamti, u tom se slučaju svi potrebni elementi obračuna kamata moraju izraziti u vremenskom intervalu u kojem se obračunavaju kamate!

Neka je

  • d_{1} - duljina vremenskog intervala nominalng kamatnjaka
  • d - duljina vremenskog intervala ukamaćivanja

Neka je naprimjer d_{1}=1 godina, a d=1 mjesec. Tada veličina

m=\frac{d_{1}}{d}

kaže koliko se puta obavlja ukamaćivanje unutar vremenskog intervala nominalnog kamatnjaka. Ovdje moramo napomenuti da se d_{1} izražava u terminima od d.

U našem je primjeru m=\frac{1\ godina}{1\ mjesec}=\frac{12\ mjeseci}{1\ mjesec}=12

Relativni se kamatnjak dobije tako da se nominalni kamatnjak p(d_{1}) podijeli s m tj.

p_{R}(d)=\frac{p(d_{1})}{m}.

Konformni je kamatnjak onaj koji uz m ukamaćivanja, daje istu konačnu vrijednost
kao i nominalni kamatnjak uz jedno ukamaćivanje.

Konformni kamatnjak jednak je

p'(d)=100*((1+\frac{p(d_{1})}{100})^\frac{1}{m}-1).

Također neka je

r'=1+\frac{p'(d)}{100},

pa iz toga slijedi da je

r'=r^\frac{1}{m},

gdje je

r=1+\frac{p(d_{1})}{100}.

Primjer

Anticipativni obračun

Kod anticipativnog se obračuna kamate obračunavaju na početku razdoblja od glavnice s kraja tog razdoblja.

Uvedimo oznake:

  • C_{0} - početna vrijednost glavnice
  • n - broj godina
  • C_{n} - konačna vrijednost glavnice
  • q(G) - godišnji dekurzivni kamatnjak, gdje je G godina
  • \overline{I} - ukupne anticipativne složene kamate na početku razdoblja od n godina
  • \overline{I}_{i} - anticipativne složene kamate na početku i-te godine

Kod ukupnih je kamata uobičajeno ne pisati oznaku za godinu, već se ona podrazumijeva iz konteksta.

Prije nego što počnemo razmatrati ovaj obračun kamata, naglasimo da se u praksi uglavnom koristi dekurzivan obračuna kamata. Iz tog razloga, anticipativni način obračuna nećemo obrađivati tako iscrpno kao dekurzivni.


Konačna vrijednost glavnice

Kolika će biti vrijednost uložene glavnice C_{0} nakon n godina, uz godišnji, anticipativni kamatnjak q(G)? Obračun kamata je godišnji, složen i anticipativan.

Računajući kamate i konačnu vrijednost za svaku godinu, dolazimo do konačne vrijednosti glavnice C_{0} nakon n godina

C_{n}=C_{0}*(\frac{100}{100-q(G)})^n.

Uvedemo li oznaku

\rho=\frac{100}{100-q(G)},

konačna je vrijednost glavnice C_{0} nakon n godina jednaka

C_{n}=C_{0}*\rho^n.

Veličina \rho zove se anticipativni kamatni faktor. Uvrstimo li u izraz C_{n}=C_{0}*\rho^n, C_{0}=1, n=1, dobivamo

C_{1}=C_{0}*\rho=i*\rho=\rho.

Zaključujemo da je \rho, zapravo, vrijednost 1 novčane jedinice nakon godinu dana ukamaćivanja uz anticipativni godišnji kamatnjak q(G).

Kako su ukupne kamate uvijek jednake razlici konačne i početne vrijednosti glavnice, dobivamo

I=C_{n}-C_{0}=C_{0}*\rho^n-C_{0}=C_{0}*(\rho^n-1).

Primjer

Početna vrijednost glavnice

Koliki iznos C_{0} moramo uložiti danas da bismo na kraju n-te godine, uz godišnju kamatu q(G), imali C_{n}? Obračun kamata je godišnji, složen i anticipativan.

Iz prethodnog poglavlja lako se vidi da je početna vrijednost glavnice jednaka

C_{0}=\frac{C_{n}}{\rho^n}

pri čemu je \rho=\frac{100}{100-q(G)}.

Primjer

Nominalni, relativni i konformni kamatnjak

Kod anticipativnog, kao i kod dekurzivnog obračuna kamata, ako se vremensko razdoblje nominalnog kamatnjaka ne podudara s vremenskim razdobljem ukamaćivanja, tražimo relativni ili konformni kamatnjak. U tu se svrhu najprije određuje koliko se puta provodi ukamaćivanje unutar vremenskog intervala nominalnog kamatnjaka, pa je taj broj, kao i dekurzivnog obračuna, jednak

m=\frac{d_{1}}{d},

gdje je

  • d_{1} - Duljina vremenskog intervala nominalng kamatnjaka,
  • d - duljina vremenskog intervala ukamaćivanja.

Relativni se kamatnjak dobiva se slično kao i u slučaju dekurzivnog obračuna kamata.

Relativni se kamatnjak dobije tako da se nominalni kamatnjak q(d_{1}) podijeli s m tj.

q_{R}(d)=\frac{q(d_{1})}{m}.

Konformni kamatnjak jednak je

q'(d)=100*(1-(1-\frac{q(d_{1})}{100})^\frac{1}{m}).

Također neka je

\rho'=\frac{100}{100-q'(d)},

pa iz toga slijedi da je

\rho'=\rho^\frac{1}{m},

gdje je

\rho=\frac{100}{100-q(d_{1})}.

Primjer

Konačna vrijednost prenumerando i postnumerando periodičnih uplata (isplata)

Ako se uplata (ili isplata) obavlja na početku vremenskog razdoblja, govorimo o tzv. prenumerando uplati (isplati).


Ako se uplata (isplata) obavlja na kraju vremenskog razdoblja, govorimo o tzv. postnumerando uplati (isplati).

Konačnu ćemo vrijednost takvih uplata (isplata) izvesti uz sljedeće pretpostavke:

  1. uplate (isplate) su međusobno jednake,
  2. uplate (isplate) se obavljaju u jednakim vremenskim intervalima,
  3. razdoblje između dviju uplata (isplata) jednako je razdoblju ukamaćivanja,
  4. kamatnjak je nepromjenjiv tijekom cijelog vremena,
  5. ukamaćivanje je složeno i dekurzivno.

Uvedimo oznake:

  • R - godišnja jednaka uplata (isplata)
  • n - broj godina ukamaćivanja
  • p(G) - godišnji dekurzivni kamatnjak, gdje je G godina
  • S_{n} - konačna vrijednost n prenumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine
  • S'_{n} - konačna vrijednost n postnumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine

Naš je problem sljedeći: uz poznate uplate (isplate) R, broj godina n i dekurzivni kamatnjak p(G), treba izvesti izraze za S_{n} i S'_{n}.

Konačna vrijednost n prenumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine je

S_{n}= R*r*\frac{r^n-1}{r-1},

pri čemu je r=1+\frac{p(G)}{100}.

Godišnja jednaka uplata (isplata) je

R= S_{n}*\frac{r-1}{r*(r^n-1)}.

Broj godina jednak je

n=\frac{\log{(\frac{S_{n}*(r-1)}{R*r}+1)}}{\log {r}}.


Konačna vrijednost n postnumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine je

S'_{n}= R*\frac{r^n-1}{r-1}.

Godišnja jednaka uplata (isplata) je

R= S'_{n}*\frac{r-1}{r^n-1}.

Broj godina jednak je

n=\frac{\log{(\frac{S'_{n}*(r-1)}{R}+1)}}{\log{r}}.

Primjeri

Početna vrijednost prenumerando i postnumerando periodičnih uplata (isplata)

Početnu ćemo vrijednost takvih uplata (isplata) izvesti uz iste pretpostavke (1)-(5) kojima smo se koristili i u prethodnoj točki, a uvodimo i nove oznake:

  • A_{n} - početna vrijednost n postnumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine
  • A'_{n} - početna vrijednost n prenumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine

Početna vrijednost n postnumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine je

A_{n}= R*\frac{r^n-1}{r^n(r-1)},

pri čemu je r=1+\frac{p(G)}{100}.

Godišnja jednaka uplata (isplata) je

R= A_{n}*\frac{R^n(r-1)}{r*(r^n-1)}.

Broj godina jednak je

n=\frac{\log{\frac{R}{R-(r-1)*A_{n}}}}{\log{r}}.


Početna vrijednost n prenumerando uplata (isplata) na kraju n-te godine je

A'_{n}= R*\frac{r^n-1}{r^{n-1}(r-1)},

pri čemu je r=1+\frac{p(G)}{100}.

Godišnja jednaka uplata (isplata) je

R= A'_{n}*\frac{R^{n-1}(r^n-1)}{r*(r^n-1)}.

Broj godina jednak je

n=\frac{\log{\frac{R*r}{R*r-(r-1)*A'_{n}}}}{\log{r}}.

Primjeri
Povratak na početnu stranicu